La dinámica aritmética [1] es un campo que fusiona dos áreas de las matemáticas, los sistemas dinámicos y la teoría de números . Parte de la inspiración proviene de la dinámica compleja , el estudio de la iteración de autoaplicaciones del plano complejo u otras variedades algebraicas complejas . La dinámica aritmética es el estudio de las propiedades teóricas de los números de los puntos enteros , racionales , p -ádicos o algebraicos bajo la aplicación repetida de un polinomio o una función racional . Un objetivo fundamental es describir las propiedades aritméticas en términos de estructuras geométricas subyacentes.
La dinámica aritmética global es el estudio de los análogos de la geometría diofántica clásica en el contexto de sistemas dinámicos discretos, mientras que la dinámica aritmética local , también llamada dinámica p-ádica o no arquimediana, es un análogo de la dinámica compleja en la que se reemplazan los números complejos C por un campo p -ádico como Q p o C p y estudia el comportamiento caótico y los conjuntos de Fatou y Julia .
La siguiente tabla describe una correspondencia aproximada entre las ecuaciones diofánticas, especialmente las variedades abelianas , y los sistemas dinámicos:
Sea S un conjunto y sea F : S → S una función de S sobre sí misma. La iteración de F sobre sí misma n veces se denota
Un punto P ∈ S es periódico si F ( n ) ( P ) = P para algún n ≥ 1 .
El punto es preperiódico si F ( k ) ( P ) es periódico para algún k ≥ 1 .
La órbita (hacia adelante) de P es el conjunto
Por lo tanto, P es preperiódica si y sólo si su órbita O F ( P ) es finita.
Sea F ( x ) una función racional de grado al menos dos con coeficientes en Q . Un teorema de Douglas Northcott [2] dice que F tiene sólo un número finito de puntos preperiódicos Q -racionales, es decir, F tiene sólo un número finito de puntos preperiódicos en P 1 ( Q ) . La conjetura de acotación uniforme para puntos preperiódicos [3] de Patrick Morton y Joseph Silverman dice que el número de puntos preperiódicos de F en P 1 ( Q ) está acotado por una constante que depende sólo del grado de F .
De manera más general, sea F : P N → P N un morfismo de grado al menos dos definido sobre un cuerpo de números K . El teorema de Northcott dice que F tiene sólo un número finito de puntos preperiódicos en P N ( K ) , y la conjetura general de acotación uniforme dice que el número de puntos preperiódicos en P N ( K ) puede estar acotado únicamente en términos de N , el grado de F y el grado de K sobre Q .
La conjetura de acotación uniforme no se conoce ni siquiera para polinomios cuadráticos F c ( x ) = x 2 + c sobre los números racionales Q . Se sabe en este caso que F c ( x ) no puede tener puntos periódicos de período cuatro, [4] cinco, [5] o seis, [6] aunque el resultado para el período seis depende de la validez de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer . Bjorn Poonen ha conjeturado que F c ( x ) no puede tener puntos periódicos racionales de ningún período estrictamente mayor que tres. [7]
La órbita de una función racional puede contener una cantidad infinita de números enteros. Por ejemplo, si F ( x ) es un polinomio con coeficientes enteros y si a es un número entero, entonces está claro que toda la órbita O F ( a ) está formada por números enteros. De manera similar, si F ( x ) es una función racional y algún iterador F ( n ) ( x ) es un polinomio con coeficientes enteros, entonces cada n -ésima entrada en la órbita es un número entero. Un ejemplo de este fenómeno es la función F ( x ) = x −d , cuyo segundo iterador es un polinomio. Resulta que esta es la única forma en que una órbita puede contener una cantidad infinita de números enteros.
Existen conjeturas generales debidas a Shouwu Zhang [10] y otros concernientes a subvariedades que contienen infinitos puntos periódicos o que intersecan una órbita en infinitos puntos. Estas son análogas dinámicas de, respectivamente, la conjetura de Manin–Mumford , demostrada por Michel Raynaud , y la conjetura de Mordell–Lang , demostrada por Gerd Faltings . Las siguientes conjeturas ilustran la teoría general en el caso de que la subvariedad sea una curva.
El campo de la dinámica p-ádica (o no arquimediana) es el estudio de cuestiones dinámicas clásicas sobre un cuerpo K que está completo con respecto a un valor absoluto no arquimediano. Ejemplos de tales campos son el cuerpo de racionales p -ádicos Q p y la completitud de su clausura algebraica C p . La métrica sobre K y la definición estándar de equicontinuidad conducen a la definición usual de los conjuntos de Fatou y Julia de una función racional F ( x ) ∈ K ( x ) . Hay muchas similitudes entre las teorías complejas y no arquimedianas, pero también muchas diferencias. Una diferencia sorprendente es que en el entorno no arquimediano, el conjunto de Fatou siempre es no vacío, pero el conjunto de Julia puede estar vacío. Esto es lo opuesto de lo que es cierto sobre los números complejos. La dinámica no arquimediana se ha extendido al espacio de Berkovich , [11] que es un espacio compacto conectado que contiene el cuerpo no localmente compacto totalmente desconectado C p .
Existen generalizaciones naturales de la dinámica aritmética en las que Q y Q p se sustituyen por cuerpos numéricos y sus compleciones p -ádicas. Otra generalización natural es sustituir las autoaplicaciones de P 1 o P N por autoaplicaciones (morfismos) V → V de otras variedades afines o proyectivas .
Hay muchos otros problemas de naturaleza teórica de números que aparecen en el contexto de los sistemas dinámicos, entre ellos:
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