Teorema de representación de Riesz

Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert

El teorema de representación de Riesz , a veces llamado teorema de representación de Riesz-Fréchet en honor a Frigyes Riesz y Maurice René Fréchet , establece una conexión importante entre un espacio de Hilbert y su espacio dual continuo . Si el cuerpo subyacente son los números reales , los dos son isométricamente isomorfos ; si el cuerpo subyacente son los números complejos , los dos son isométricamente antiisomorfos . El (anti) isomorfismo es un isomorfismo natural particular .

Preliminares y notación

Sea un espacio de Hilbert sobre un cuerpo donde son los números reales o los números complejos Si (resp. si ) entonces se llama un espacio de Hilbert complejo (resp. un espacio de Hilbert real ). Cada espacio de Hilbert real se puede extender para ser un subconjunto denso de un único espacio de Hilbert complejo (hasta la isometría biyectiva ), llamado su complejización , por lo que a menudo se supone automáticamente que los espacios de Hilbert son complejos. Los espacios de Hilbert reales y complejos tienen en común muchas, pero de ninguna manera todas, las propiedades y resultados/teoremas. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle H}$

Este artículo está dirigido tanto a matemáticos como a físicos y describirá el teorema para ambos. Tanto en matemáticas como en física, si se supone que un espacio de Hilbert es real (es decir, si ), esto normalmente se aclarará. A menudo, en matemáticas, y especialmente en física, a menos que se indique lo contrario, se suele suponer automáticamente que "espacio de Hilbert" significa "espacio de Hilbert complejo". Dependiendo del autor, en matemáticas, "espacio de Hilbert" normalmente significa (1) un espacio de Hilbert complejo o (2) un espacio de Hilbert real o complejo. ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$

Mapas lineales y antilineales

Por definición, una función antilineal (también llamada función conjugada-lineal ) es una función entre espacios vectoriales que es aditiva : y antilineal (también llamada conjugada-lineal o conjugada-homogénea ): donde es el conjugado del número complejo , dado por . ${\displaystyle f:H\to Y}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ $${\displaystyle f(cx)={\overline {c}}f(x)\quad {\text{ for all }}x\in H{\text{ and all scalar }}c\in \mathbb {F} ,}$$ ${\displaystyle {\overline {c}}}$ ${\displaystyle c=a+bi}$ ${\displaystyle {\overline {c}}=a-bi}$

Por el contrario, un mapa es lineal si es aditivo y homogéneo : ${\displaystyle f:H\to Y}$ $${\displaystyle f(cx)=cf(x)\quad {\text{ for all }}x\in H\quad {\text{ and all scalars }}c\in \mathbb {F} .}$$

Toda función constante es siempre lineal y antilineal. Si entonces las definiciones de funciones lineales y funciones antilineales son completamente idénticas. Una función lineal de un espacio de Hilbert a un espacio de Banach (o más generalmente, de cualquier espacio de Banach a cualquier espacio vectorial topológico ) es continua si y sólo si está acotada ; lo mismo es cierto para las funciones antilineales. La inversa de cualquier biyección antilineal (o lineal) es nuevamente una biyección antilineal (o lineal). La composición de dos funciones antilineales es una función lineal . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$

Espacios continuos duales y antiduales

Un funcional en es una función cuyo codominio es el campo escalar subyacente. Denotado por (resp. por el conjunto de todos los funcionales lineales continuos (resp. antilineales continuos) en el que se llama el espacio dual (continuo) (resp. el espacio antidual (continuo) ) de ^[1] Si entonces los funcionales lineales en son los mismos que los funcionales antilineales y, en consecuencia, lo mismo es cierto para tales mapas continuos: es decir, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*})}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}={\overline {H}}^{*}.}$

Correspondencia uno a uno entre funcionales lineales y antilineales

Dado cualquier funcional el conjugado de es el funcional ${\displaystyle f~:~H\to \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\overline {f}}:\,&H&&\to \,&&\mathbb {F} \\&h&&\mapsto \,&&{\overline {f(h)}}.\\\end{alignedat}}}$$

Esta tarea es más útil cuando porque si entonces y la tarea se reduce al mapa identidad . ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f={\overline {f}}}$ ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$

La asignación define una correspondencia biyectiva antilineal del conjunto de ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$

todos los funcionales (resp. todos los funcionales lineales, todos los funcionales lineales continuos ) en ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle H,}$

En el set de

todos los funcionales (resp. todos los funcionales antilineales , todos los funcionales antilineales continuos ) en ${\displaystyle {\overline {H}}^{*}}$ ${\displaystyle H.}$

Notaciones matemáticas y físicas y definiciones del producto interno

El espacio de Hilbert tiene un producto interno asociado valorado en el campo escalar subyacente de que es lineal en una coordenada y antilineal en la otra (como se especifica a continuación). Si es un espacio de Hilbert complejo ( ), entonces hay una diferencia crucial entre las notaciones que prevalecen en matemáticas frente a la física, con respecto a cuál de las dos variables es lineal. Sin embargo, para los espacios de Hilbert reales ( ), el producto interno es una función simétrica que es lineal en cada coordenada ( bilineal ), por lo que no puede haber tal confusión. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\times H\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$

En matemáticas , el producto interno de un espacio de Hilbert suele denotarse con o mientras que en física , se suele utilizar la notación bra-ket o . En este artículo, estas dos notaciones estarán relacionadas por la igualdad: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle _{H}}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle _{H}}$

$${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle :=\left\langle y\mid x\right\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$Estos tienen las siguientes propiedades:

1. La función es lineal en su primera coordenada ; equivalentemente, la función es lineal en su segunda coordenada . Es decir, para fijo la función con es una función lineal en Esta función lineal es continua, por lo que ${\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle y\in H,}$ ${\displaystyle \left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot \,,y\,\right\rangle :H\to \mathbb {F} }$ ${\textstyle h\mapsto \left\langle \,y\mid h\,\right\rangle =\left\langle \,h,y\,\right\rangle }$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle \in H^{*}.}$
2. La función es antilineal en su segunda coordenada ; equivalentemente, la función es antilineal en su primera coordenada . Es decir, para fijo la función con es una función antilineal en Esta función antilineal es continua, por lo que ${\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle y\in H,}$ ${\displaystyle \left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle :H\to \mathbb {F} }$ ${\textstyle h\mapsto \left\langle \,h\mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,h\,\right\rangle }$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle \in {\overline {H}}^{*}.}$

En los cálculos, uno debe utilizar consistentemente la notación matemática , que es (lineal, antilineal); o la notación física , que es (antilineal | lineal). ${\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }$

Norma canónica y producto interno en el espacio dual y antidual

Si entonces es un número real no negativo y el mapa ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \langle \,x\mid x\,\rangle =\langle \,x,x\,\rangle }$ $${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {\langle x\mid x\rangle }}}$$

define una norma canónica que convierte en un espacio normado . ^[1] Como ocurre con todos los espacios normados, el espacio dual (continuo) conlleva una norma canónica, llamada norma dual , que se define por ^[1] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$ $${\displaystyle \|f\|_{H^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in H^{*}.}$$

La norma canónica en el espacio antidual (continuo) denotado por se define utilizando esta misma ecuación: ^[1] ${\displaystyle {\overline {H}}^{*},}$ ${\displaystyle \|f\|_{{\overline {H}}^{*}},}$ $${\displaystyle \|f\|_{{\overline {H}}^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {H}}^{*}.}$$

Esta norma canónica en satisface la ley del paralelogramo , lo que significa que la identidad de polarización se puede utilizar para definir un producto interno canónico en el que este artículo denotará mediante las notaciones donde este producto interno se convierte en un espacio de Hilbert. Ahora hay dos formas de definir una norma en la norma inducida por este producto interno (es decir, la norma definida por ) y la norma dual habitual (definida como el supremo sobre la bola unitaria cerrada). Estas normas son las mismas; explícitamente, esto significa que lo siguiente se cumple para cada ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle H^{*},}$ $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{H^{*}}:=\left\langle g\mid f\right\rangle _{H^{*}},}$$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle H^{*}:}$ ${\displaystyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{H^{*}}}}}$ ${\displaystyle f\in H^{*}:}$ $${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|=\|f\|_{H^{*}}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{H^{*}}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{H^{*}}}}.}$$

Como se describirá más adelante, el teorema de representación de Riesz se puede utilizar para dar una definición equivalente de la norma canónica y del producto interno canónico en ${\displaystyle H^{*}.}$

Las mismas ecuaciones que se utilizaron anteriormente también se pueden utilizar para definir una norma y un producto interno en el espacio antidual de ^[1] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*}.}$

Isometría canónica entre lo dual y lo antidual

El conjugado complejo de un funcional que se definió anteriormente satisface para todos y cada uno Esto dice exactamente que la biyección antilineal canónica definida por así como su inversa son isometrías antilineales y, en consecuencia, también homeomorfismos . Los productos internos en el espacio dual y el espacio antidual denotados respectivamente por y están relacionados por y ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle \|f\|_{H^{*}}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {H}}^{*}}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{H^{*}}~=~\|g\|_{{\overline {H}}^{*}}}$$ ${\displaystyle f\in H^{*}}$ ${\displaystyle g\in {\overline {H}}^{*}.}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Cong} :\;&&H^{*}&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&{\overline {f}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {H}}^{*}\to H^{*}}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*},}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{H^{*}}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {H}}^{*}},}$ $${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{H^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{H^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in H^{*}}$$ $${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {H}}^{*}.}$$

Si entonces y este mapa canónico se reduce al mapa identidad. ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle H^{*}={\overline {H}}^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}}$

Teorema de representación de Riesz

Dos vectores y son ortogonales si lo que sucede si y solo si para todos los escalares ^[2] El complemento ortogonal de un subconjunto es que es siempre un subespacio vectorial cerrado de El teorema de proyección de Hilbert garantiza que para cualquier subconjunto convexo cerrado no vacío de un espacio de Hilbert existe un vector único tal que es decir, es el punto mínimo global (único) de la función definida por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0,}$ ${\displaystyle \|y\|\leq \|y+sx\|}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle X\subseteq H}$ $${\displaystyle X^{\bot }:=\{\,y\in H:\langle y,x\rangle =0{\text{ for all }}x\in X\,\},}$$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle m\in C}$ ${\displaystyle \|m\|=\inf _{c\in C}\|c\|;}$ ${\displaystyle m\in C}$ ${\displaystyle C\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle c\mapsto \|c\|.}$

Declaración

Teorema de representación de Riesz  — Seaunespacio de Hilbertcuyoproducto internoes lineal en suprimerargumento yantilinealen su segundo argumento y seala notación física correspondiente. Para cada funcional lineal continuoexiste un único vectorllamado ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle :=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \varphi \in H^{*},}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in H,}$Representación de Riesz de ${\displaystyle \varphi ,}$tal que^[3] $${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle =\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle \quad {\text{ for all }}x\in H.}$$

Es importante destacar que para los espacios de Hilbert complejos , siempre se ubica en la coordenada antilineal del producto interno. ^{[nota 1]} ${\displaystyle f_{\varphi }}$

Además, la longitud del vector de representación es igual a la norma del funcional: y es el único vector con También es el único elemento de norma mínima en ; es decir, es el único elemento de satisfacer Además, cualquier valor distinto de cero se puede escribir como $${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|_{H}=\|\varphi \|_{H^{*}},}$$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in \left(\ker \varphi \right)^{\bot }}$ ${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}.}$ ${\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|.}$ ${\displaystyle q\in (\ker \varphi )^{\bot }}$ ${\displaystyle q=\left(\|q\|^{2}/\,{\overline {\varphi (q)}}\right)\ f_{\varphi }.}$

Corolario  —  La función canónica de en su dual ${\displaystyle H}$ ^[1] es la isometría del operador antilineal inyectiva ^{[nota 2] [1]} El teorema de representación de Riesz establece que esta función es sobreyectiva (y por lo tanto biyectiva ) cuando es completa y que su inversa es el isomorfismo antilineal isométrico biyectivo En consecuencia, cada funcional lineal continuo en el espacio de Hilbert se puede escribir de forma única en la forma ^[1] donde para cada La asignación también se puede ver como una isometría lineal biyectiva en el espacio antidual de ^[1] que es el espacio vectorial conjugado complejo del espacio dual continuo ${\displaystyle H^{*}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \,,y\rangle =\langle y|\,\cdot \,\rangle \\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi ^{-1}:\;&&H^{*}&&\;\to \;&H\\[0.3ex]&&\varphi &&\;\mapsto \;&f_{\varphi }\\\end{alignedat}}.}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle y\,|\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \|\langle y\,|\cdot \rangle \|_{H^{*}}=\|y\|_{H}}$ ${\displaystyle y\in H.}$ ${\displaystyle y\mapsto \langle y,\cdot \rangle =\langle \cdot \,|\,y\rangle }$ ${\displaystyle H\to {\overline {H}}^{*}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H^{*}.}$

Los productos internos de y están relacionados por y de manera similar, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$ $${\displaystyle \left\langle \Phi h,\Phi k\right\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle h,k\rangle }}_{H}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H}$$ $${\displaystyle \left\langle \Phi ^{-1}\varphi ,\Phi ^{-1}\psi \right\rangle _{H}={\overline {\langle \varphi ,\psi \rangle }}_{H^{*}}=\left\langle \psi ,\varphi \right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ for all }}\varphi ,\psi \in H^{*}.}$$

El conjunto satisface y entonces puede interpretarse como el hiperplano afín ^{[nota 3]} que es paralelo al subespacio vectorial y contiene ${\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)}$ ${\displaystyle C=f_{\varphi }+\ker \varphi }$ ${\displaystyle C-f_{\varphi }=\ker \varphi }$ ${\displaystyle f_{\varphi }\neq 0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \ker \varphi }$ ${\displaystyle f_{\varphi }.}$

Para la notación física para el funcional es bra donde explícitamente esto significa que complementa la notación ket definida por En el tratamiento matemático de la mecánica cuántica , el teorema puede verse como una justificación para la notación popular bra–ket . El teorema dice que cada bra tiene un ket correspondiente y este último es único. ${\displaystyle y\in H,}$ ${\displaystyle \Phi (y)\in H^{*}}$ ${\displaystyle \langle y|,}$ ${\displaystyle \langle y|:=\Phi (y),}$ ${\displaystyle |y\rangle }$ ${\displaystyle |y\rangle :=y.}$ ${\displaystyle \langle \psi \,|}$ ${\displaystyle |\,\psi \rangle ,}$

Históricamente, el teorema se atribuye a menudo simultáneamente a Riesz y Fréchet en 1907 (ver referencias).

Observaciones

Si entonces Entonces en particular, es siempre real y además, si y sólo si si y sólo si ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ $${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=\left\langle f_{\varphi },f_{\varphi }\right\rangle =\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\|\varphi \|^{2}.}$$ ${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)\geq 0}$ ${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }=0}$ ${\displaystyle \varphi =0.}$

Funcionales lineales como hiperplanos afines

Un funcional lineal continuo no trivial se interpreta a menudo geométricamente identificándolo con el hiperplano afín (el núcleo también se visualiza a menudo junto con aunque saber es suficiente para reconstruirlo porque si entonces y en caso contrario ). En particular, la norma de debería ser de alguna manera interpretable como la "norma del hiperplano ". Cuando entonces el teorema de representación de Riesz proporciona tal interpretación de en términos del hiperplano afín ^{[nota 3]} de la siguiente manera: usando la notación del enunciado del teorema, de se sigue que y por lo tanto implica y por lo tanto Esto también se puede ver aplicando el teorema de proyección de Hilbert a y concluyendo que el punto mínimo global del mapa definido por es Las fórmulas proporcionan la interpretación prometida de la norma del funcional lineal completamente en términos de su hiperplano afín asociado (porque con esta fórmula, conocer solo el conjunto es suficiente para describir la norma de su funcional lineal asociado ). La definición de la fórmula del ínfimo también se cumplirá cuando Cuando se toma el supremo (como se supone típicamente), entonces el supremo del conjunto vacío es pero si el supremo se toma en los reales no negativos (que es la imagen /rango de la norma cuando ) entonces este supremo es en cambio en cuyo caso la fórmula del supremo también se cumplirá cuando (aunque la igualdad atípica suele ser inesperada y por lo tanto corre el riesgo de causar confusión). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \ker \varphi =\varphi ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ker \varphi }$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle \ker \varphi =H}$ ${\displaystyle \ker \varphi =A-A}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi \neq 0}$ ${\displaystyle \|\varphi \|}$ ${\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \|\varphi \|^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)=\|\varphi \|^{2}\varphi ^{-1}(1)=\|\varphi \|^{2}A}$ ${\displaystyle \|\varphi \|=\left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|}$ ${\displaystyle \|\varphi \|=\inf _{a\in A}\|\varphi \|^{2}\|a\|}$ ${\displaystyle \|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle a\mapsto \|a\|}$ ${\displaystyle {\frac {f_{\varphi }}{\|\varphi \|^{2}}}\in A.}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}=\sup _{a\in A}{\frac {1}{\|a\|}}}$$ ${\displaystyle \|\varphi \|}$ ${\displaystyle A=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0,}$ $${\displaystyle \|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in \varphi ^{-1}(1)}\|a\|}}}$$ ${\displaystyle \varphi =0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sup \varnothing =-\infty }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle \dim H>0}$ ${\displaystyle \sup \varnothing =0,}$ ${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{a\in \varphi ^{-1}(1)}{\frac {1}{\|a\|}}}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \sup \varnothing =0}$

Construcciones del vector representativo

Utilizando la notación del teorema anterior, se describen ahora varias formas de construir a partir de . Si entonces ; en otras palabras, ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }:=0}$ $${\displaystyle f_{0}=0.}$$

De ahora en adelante se asume que este caso especial es conocido, por lo que algunas de las construcciones que se dan a continuación comienzan suponiendo ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi \neq 0.}$

Complemento ortogonal del núcleo

Si entonces por cualquier ${\displaystyle \varphi \neq 0}$ ${\displaystyle 0\neq u\in (\ker \varphi )^{\bot },}$ $${\displaystyle f_{\varphi }:={\frac {{\overline {\varphi (u)}}u}{\|u\|^{2}}}.}$$

Si es un vector unitario (que significa ) entonces (esto es cierto incluso si porque en este caso ). Si es un vector unitario que satisface la condición anterior, entonces lo mismo es cierto para que también es un vector unitario en Sin embargo, ambos vectores dan como resultado lo mismo ${\displaystyle u\in (\ker \varphi )^{\bot }}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ $${\displaystyle f_{\varphi }:={\overline {\varphi (u)}}u}$$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }={\overline {\varphi (u)}}u={\overline {0}}u=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle -u,}$ ${\displaystyle (\ker \varphi )^{\bot }.}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi (-u)}}(-u)={\overline {\varphi (u)}}u=f_{\varphi }}$ ${\displaystyle f_{\varphi }.}$

Proyección ortogonal sobre el núcleo

Si es tal que y si es la proyección ortogonal de sobre entonces ^{[prueba 1]} ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$ ${\displaystyle x_{K}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ker \varphi }$ $${\displaystyle f_{\varphi }={\frac {\|\varphi \|^{2}}{\varphi (x)}}\left(x-x_{K}\right).}$$

Base ortonormal

Dada una base ortonormal de y una función lineal continua, el vector se puede construir de forma única mediante donde todos, excepto como máximo una cantidad contable, serán iguales a y donde el valor de no depende en realidad de la elección de la base ortonormal (es decir, usar cualquier otra base ortonormal para dará como resultado el mismo vector). Si se escribe como entonces y ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi \in H^{*},}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in H}$ $${\displaystyle f_{\varphi }=\sum _{i\in I}{\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}e_{i}}$$ ${\displaystyle \varphi \left(e_{i}\right)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle y\in H}$ ${\displaystyle y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}}$ $${\displaystyle \varphi (y)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right)a_{i}=\langle f_{\varphi }|y\rangle }$$ $${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right){\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}=\sum _{i\in I}\left|\varphi \left(e_{i}\right)\right|^{2}=\|\varphi \|^{2}.}$$

Si la base ortonormal es una secuencia entonces esto se convierte en y si se escribe como entonces ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i\in I}=\left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}$ $${\displaystyle f_{\varphi }={\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}e_{1}+{\overline {\varphi \left(e_{2}\right)}}e_{2}+\cdots }$$ ${\displaystyle y\in H}$ ${\displaystyle y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots }$ $${\displaystyle \varphi (y)=\varphi \left(e_{1}\right)a_{1}+\varphi \left(e_{2}\right)a_{2}+\cdots =\langle f_{\varphi }|y\rangle .}$$

Ejemplo en dimensiones finitas utilizando transformaciones matriciales

Consideremos el caso especial de (donde es un entero) con el producto interno estándar donde se representan como matrices columna y con respecto a la base ortonormal estándar en (aquí, está en su coordenada ^ésima y en todas partes; como es habitual, ahora se asociará con la base dual ) y donde denota la transpuesta conjugada de Sea cualquier funcional lineal y sean los escalares únicos tales que donde se puede demostrar que para todos Entonces la representación de Riesz de es el vector Para ver por qué, identifique cada vector en con la matriz columna de modo que se identifique con Como es habitual, identifique también el funcional lineal con su matriz de transformación , que es la matriz fila de modo que y la función es la asignación donde el lado derecho es la multiplicación de matrices . Entonces para todo lo cual muestra que satisface la condición definitoria de la representación de Riesz de La isometría antilineal biyectiva definida en el corolario del teorema de representación de Riesz es la asignación que envía al funcional lineal en definido por donde bajo la identificación de vectores en con matrices columna y vector en con matrices fila, es solo la asignación Como se describe en el corolario, la inversa de es la isometría antilineal que se acaba de mostrar arriba que es: donde en términos de matrices, es la asignación Por lo tanto, en términos de matrices, cada uno de y es solo la operación de transposición conjugada (aunque entre diferentes espacios de matrices: si se identifica con el espacio de todas las matrices columna (respectivamente, fila) entonces se identifica con el espacio de todas las matrices fila (respectivamente, columnas). ${\displaystyle H=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0}$ $${\displaystyle \langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}\qquad {\text{ for all }}\;w,z\in H}$$ ${\displaystyle w{\text{ and }}z}$ ${\displaystyle {\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\vec {z}}:={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }:=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right]}$ ${\displaystyle {\vec {z}}.}$ ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \varphi \left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}\qquad {\text{ for all }}\;w:=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,}$$ ${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi \left(e_{i}\right)}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle f_{\varphi }~:=~{\overline {\varphi _{1}}}e_{1}+\cdots +{\overline {\varphi _{n}}}e_{n}~=~\left({\overline {\varphi _{1}}},\ldots ,{\overline {\varphi _{n}}}\right)\in H.}$$ ${\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle {\vec {f_{\varphi }}}:={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}\\\vdots \\{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\end{bmatrix}}.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\vec {\varphi }}:=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]}$ ${\displaystyle {\vec {f_{\varphi }}}:={\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\vec {w}}\mapsto {\vec {\varphi }}\,{\vec {w}},}$ ${\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,}$ $${\displaystyle \varphi (w)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]{\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}={\overline {\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}={\overline {\,{\vec {f_{\varphi }}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}=\left\langle \,\,f_{\varphi }\,\mid \,w\,\right\rangle ,}$$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle \Phi :H\to H^{*}}$ ${\displaystyle z=\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)\in H}$ ${\displaystyle \Phi (z)\in H^{*}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)~\mapsto ~\langle \,z\,\mid \,w\,\rangle ={\overline {z_{1}}}w_{1}+\cdots +{\overline {z_{n}}}w_{n},}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\vec {z}}={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right].}$$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}:H^{*}\to H}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto f_{\varphi },}$ $${\displaystyle \varphi ~\mapsto ~f_{\varphi }~:=~\left({\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}},\ldots ,{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\right);}$$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ $${\displaystyle {\vec {\varphi }}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \Phi :H\to H^{*}}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}:H^{*}\to H}$ ${\displaystyle {\vec {v}}\mapsto {\overline {\,{\vec {v}}\,}}^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$

En este ejemplo se utilizó el producto interno estándar, que es el mapa , pero si se utiliza un producto interno diferente, como por ejemplo donde es cualquier matriz positiva definida hermítica , o si se utiliza una base ortonormal diferente, entonces las matrices de transformación y, por lo tanto, también las fórmulas anteriores, serán diferentes. ${\displaystyle \langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}},}$ ${\displaystyle \langle z\mid w\rangle _{M}:={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }\,M\,{\vec {w}}\,}$ ${\displaystyle M}$

Relación con el espacio real de Hilbert asociado

Supongamos que es un espacio de Hilbert complejo con producto interno. Cuando el espacio de Hilbert se reinterpreta como un espacio de Hilbert real, entonces se denotará por donde el producto interno (real) en es la parte real del producto interno de ; es decir: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle .}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \langle x,y\rangle .}$$

La norma en inducida por es igual a la norma original en y el espacio dual continuo de es el conjunto de todos los funcionales lineales acotados de valor real en (ver el artículo sobre la identidad de polarización para detalles adicionales sobre esta relación). Sea y denote las partes real e imaginaria de un funcional lineal de modo que La fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real es donde para todo Se sigue que y que si y solo si También se puede demostrar que donde y son las normas de operador usuales . En particular, un funcional lineal está acotado si y solo si su parte real está acotada. ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}:=\operatorname {im} \psi }$ ${\displaystyle \psi ,}$ ${\displaystyle \psi =\operatorname {re} \psi +i\operatorname {im} \psi =\psi _{\mathbb {R} }+i\psi _{i}.}$ $${\displaystyle \psi (h)=\psi _{\mathbb {R} }(h)-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)\quad {\text{ for }}h\in H,}$$ ${\displaystyle \psi _{i}(h)=-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)}$ ${\displaystyle h\in H.}$ ${\displaystyle \ker \psi _{\mathbb {R} }=\psi ^{-1}(i\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \psi =0}$ ${\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }=0.}$ ${\displaystyle \|\psi \|=\left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\psi _{i}\right\|}$ ${\displaystyle \left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{\mathbb {R} }(h)\right|}$ ${\displaystyle \left\|\psi _{i}\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{i}(h)\right|}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }}$

Representando una parte funcional y su parte real

La representación de Riesz de una función lineal continua en un espacio de Hilbert complejo es igual a la representación de Riesz de su parte real en su espacio de Hilbert real asociado. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {re} \varphi }$

Explícitamente, sea y como arriba, sea la representación de Riesz de obtenida en por lo que es el único vector que satisface para todos La parte real de es una función lineal real continua en y por lo que el teorema de representación de Riesz puede aplicarse a y el espacio de Hilbert real asociado para producir su representación de Riesz, que se denotará por Es decir, es el único vector en que satisface para todos La conclusión es Esto se deduce del teorema principal porque y si entonces y en consecuencia, si entonces lo que demuestra que Además, ser un número real implica que En otras palabras, en el teorema y las construcciones anteriores, si se reemplaza con su contraparte del espacio de Hilbert real y si se reemplaza con entonces Esto significa que el vector obtenido al usar y la función lineal real es igual al vector obtenido al usar el espacio de Hilbert complejo de origen y la función lineal compleja original (con valores de norma idénticos también). ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (H,\langle ,\cdot ,\cdot \rangle ),}$ ${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in H.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \varphi }$ ${\displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)}$ ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\in H.}$ ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}=f_{\varphi }.}$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }=\varphi ^{-1}(i\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle x\in H}$ $${\displaystyle \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {re} \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle =\operatorname {re} \varphi (x)=\varphi _{\mathbb {R} }(x)}$$ ${\displaystyle m\in \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \left\langle f_{\varphi }\mid m\right\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in (\ker \varphi _{\mathbb {R} })^{\perp _{\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(f_{\varphi })=\operatorname {re} \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {re} \varphi }$ ${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\operatorname {re} \varphi }.}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {re} \varphi }$ ${\displaystyle \left(H,\left\langle ,\cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \varphi }$

Además, si entonces es perpendicular a con respecto a donde el núcleo de es un subespacio propio del núcleo de su parte real Supongamos ahora que Entonces porque y es un subconjunto propio de El subespacio vectorial tiene codimensión real en mientras que tiene codimensión real en y Es decir, es perpendicular a con respecto a ${\displaystyle \varphi \neq 0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }.}$ ${\displaystyle \varphi \neq 0.}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\not \in \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\left(f_{\varphi }\right)=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle \ker \varphi }$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }.}$ ${\displaystyle \ker \varphi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \left\langle f_{\varphi },\ker \varphi _{\mathbb {R} }\right\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$ ${\displaystyle f_{\varphi }}$ ${\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }.}$

Inyecciones canónicas en lo dual y anti-dual

Mapa lineal inducido en antidual

El mapa definido al colocar en la coordenada lineal del producto interno y dejar que la variable varíe sobre la coordenada antilineal da como resultado una función antilineal : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle h\in H}$ $${\displaystyle \langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle :H\to \mathbb {F} \quad {\text{ defined by }}\quad h\mapsto \langle \,h\mid y\,\rangle =\langle \,y,h\,\rangle .}$$

Este mapa es un elemento de que es el espacio antidual continuo de El mapa canónico de en su antidual ^[1] es el operador lineal que también es una isometría inyectiva . ^[1] El teorema fundamental de los espacios de Hilbert , que está relacionado con el teorema de representación de Riesz, establece que este mapa es sobreyectivo (y por lo tanto biyectivo ). En consecuencia, cada funcional antilineal en puede escribirse (únicamente) en esta forma. ^[1] ${\displaystyle {\overline {H}}^{*},}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}:\;&&H&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle \\[0.3ex]\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle H}$

Si es la isometría biyectiva antilineal canónica que se definió anteriormente, entonces se cumple la siguiente igualdad : ${\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}}$ ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$ $${\displaystyle \operatorname {Cong} ~\circ ~\operatorname {In} _{H}^{H^{*}}~=~\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}.}$$

Extendiendo la notación bra-ket a bras y kets

Sea un espacio de Hilbert y como antes, sea Sea que es una isometría antilineal biyectiva que satisface ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)}$ ${\displaystyle \langle y\,|\,x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}.}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\left\langle \,g\mid \cdot \,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\cdot ,g\,\right\rangle _{H}\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle (\Phi h)g=\langle h\mid g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H.}$$

Sujetadores

Dado un vector sea la funcional lineal continua ; es decir, de modo que esta funcional esté definida por Este mapa fue denotado por anteriormente en este artículo. ${\displaystyle h\in H,}$ ${\displaystyle \langle h\,|}$ ${\displaystyle \Phi h}$ $${\displaystyle \langle h\,|~:=~\Phi h}$$ ${\displaystyle \langle h\,|}$ ${\displaystyle g\mapsto \left\langle \,h\mid g\,\right\rangle _{H}.}$ ${\displaystyle \left\langle h\mid \cdot \,\right\rangle }$

La asignación es simplemente el isomorfismo antilineal isométrico , por lo que se cumple para todos y cada uno de los escalares. El resultado de introducir algunos datos en el funcional es el escalar , que puede denotarse por ^{[nota 6]} ${\displaystyle h\mapsto \langle h|}$ ${\displaystyle \Phi ~:~H\to H^{*},}$ ${\displaystyle ~\langle cg+h\,|~=~{\overline {c}}\langle g\mid ~+~\langle h\,|~}$ ${\displaystyle g,h\in H}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle g\in H}$ ${\displaystyle \langle h\,|}$ ${\displaystyle \langle h\,|\,g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H},}$ ${\displaystyle \langle h\mid g\rangle .}$

Sujetador de un funcional lineal

Dado un funcional lineal continuo , denotemos el vector ; es decir, ${\displaystyle \psi \in H^{*},}$ ${\displaystyle \langle \psi \mid }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}\psi \in H}$ $${\displaystyle \langle \psi \mid ~:=~\Phi ^{-1}\psi .}$$

La asignación es simplemente el isomorfismo antilineal isométrico , por lo que se cumple para todos los escalares. ${\displaystyle \psi \mapsto \langle \psi \mid }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}~:~H^{*}\to H,}$ ${\displaystyle ~\langle c\psi +\phi \mid ~=~{\overline {c}}\langle \psi \mid ~+~\langle \phi \mid ~}$ ${\displaystyle \phi ,\psi \in H^{*}}$ ${\displaystyle c.}$

La condición definitoria del vector es la igualdad técnicamente correcta pero antiestética , por lo que se utiliza la notación en lugar de Con esta notación, la condición definitoria se convierte en ${\displaystyle \langle \psi |\in H}$ $${\displaystyle \left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H,}$$ ${\displaystyle \left\langle \psi \mid g\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}=\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H}.}$ $${\displaystyle \left\langle \psi \mid g\right\rangle ~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H.}$$

kets (kets)

Para cualquier vector dado se utiliza la notación para denotar ; es decir, ${\displaystyle g\in H,}$ ${\displaystyle |\,g\rangle }$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle \mid g\rangle :=g.}$$

La asignación es solo el mapa de identidad , por lo que se cumple para todos los escalares. ${\displaystyle g\mapsto |\,g\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{H}:H\to H,}$ ${\displaystyle ~\mid cg+h\rangle ~=~c\mid g\rangle ~+~\mid h\rangle ~}$ ${\displaystyle g,h\in H}$ ${\displaystyle c.}$

La notación y se utiliza en lugar de y respectivamente. Como era de esperar, y en realidad es solo el escalar ${\displaystyle \langle h\mid g\rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi \mid g\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle h\mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle \mid g\rangle ,h\right\rangle _{H}}$ ${\displaystyle \left\langle \psi \mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H},}$ ${\displaystyle ~\langle \psi \mid g\rangle =\psi g~}$ ${\displaystyle ~\langle h\mid g\rangle ~}$ ${\displaystyle ~\langle h\mid g\rangle _{H}~=~\langle g,h\rangle _{H}.}$

Adjuntos y transpuestos

Sea un operador lineal continuo entre espacios de Hilbert y Como antes, sea y ${\displaystyle A:H\to Z}$ ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)}$ ${\displaystyle \left(Z,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Z}\right).}$ ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}}$ ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle _{Z}:=\langle x,y\rangle _{Z}.}$

Denotamos por las isometrías antilineales biyectivas habituales que satisfacen: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi _{H}:\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\langle \,g\mid \cdot \,\rangle _{H}\\\end{alignedat}}\quad {\text{ and }}\quad {\begin{alignedat}{4}\Phi _{Z}:\;&&Z&&\;\to \;&Z^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,y\mid \cdot \,\rangle _{Z}\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle \left(\Phi _{H}g\right)h=\langle g\mid h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H\qquad {\text{ and }}\qquad \left(\Phi _{Z}y\right)z=\langle y\mid z\rangle _{Z}\quad {\text{ for all }}y,z\in Z.}$$

Definición del adjunto

Para cada mapa escalar ^{[nota 7]} definido por ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle h\mapsto \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle Ah,z\rangle _{Z}}$$

es una función lineal continua en y por lo tanto por el teorema de representación de Riesz, existe un vector único en denotado por tal que o equivalentemente, tal que ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle A^{*}z,}$ ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid \cdot \,\right\rangle _{H},}$ $${\displaystyle \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h\in H.}$$

La asignación induce entonces una función llamada adjunta cuya condición definitoria es El adjunto es necesariamente un operador lineal continuo (equivalentemente, acotado ) . ${\displaystyle z\mapsto A^{*}z}$ ${\displaystyle A^{*}:Z\to H}$ ${\displaystyle A:H\to Z}$ $${\displaystyle \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h\in H{\text{ and all }}z\in Z.}$$ ${\displaystyle A^{*}:Z\to H}$

Si es de dimensión finita con el producto interno estándar y si es la matriz de transformación de con respecto a la base ortonormal estándar, entonces la transpuesta conjugada de es la matriz de transformación del adjunto. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\overline {M^{\operatorname {T} }}}}$ ${\displaystyle A^{*}.}$

Los adjuntos son transposiciones

También es posible definir la transpuesta o adjunta algebraica de que es la función definida enviando una función lineal continua a donde la composición es siempre una función lineal continua en y satisface (esto es cierto de manera más general, cuando y son simplemente espacios normados ). ^[5] Así, por ejemplo, si entonces envía la función lineal continua (definida en por ) a la función lineal continua (definida en por ); ^{[nota 7]} usando la notación bra-ket, esto se puede escribir como donde la yuxtaposición de con en el lado derecho denota composición de funciones: ${\displaystyle A:H\to Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}}$ ${\displaystyle \psi \in Z^{*}}$ $${\displaystyle {}^{t}A(\psi ):=\psi \circ A,}$$ ${\displaystyle \psi \circ A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|A\|=\left\|{}^{t}A\right\|}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle {}^{t}A}$ ${\displaystyle \langle z\mid \cdot \rangle _{Z}\in Z^{*}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g\mapsto \langle z\mid g\rangle _{Z}}$ ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\in H^{*}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\mapsto \langle z\mid A(h)\rangle _{Z}}$ ${\displaystyle {}^{t}A\langle z\mid ~=~\langle z\mid A}$ ${\displaystyle \langle z\mid }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H\xrightarrow {A} Z\xrightarrow {\langle z\mid } \mathbb {C} .}$

El adjunto en realidad es solo la transpuesta ^[2] cuando se utiliza el teorema de representación de Riesz para identificar con y con ${\displaystyle A^{*}:Z\to H}$ ${\displaystyle {}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{*}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}.}$

Explícitamente, la relación entre el adjunto y la transpuesta es:

que puede reescribirse como: $${\displaystyle A^{*}~=~\Phi _{H}^{-1}~\circ ~{}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\quad {\text{ and }}\quad {}^{t}A~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}~\circ ~\Phi _{Z}^{-1}.}$$

Prueba

Para demostrar que se soluciona la definición de implica así que queda demostrar que Si entonces como se desea. ${\displaystyle {}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*},}$ ${\displaystyle z\in Z.}$ ${\displaystyle {}^{t}A}$ $${\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi _{Z}\right)z={}^{t}A\left(\Phi _{Z}z\right)=\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A}$$ ${\displaystyle \left(\Phi _{Z}z\right)\circ A=\Phi _{H}\left(A^{*}z\right).}$ ${\displaystyle h\in H}$ $${\displaystyle \left(\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A\right)h=\left(\Phi _{Z}z\right)(Ah)=\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid h\rangle _{H}=\left(\Phi _{H}(A^{*}z)\right)h,}$$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Alternativamente, el valor de los lados izquierdo y derecho de ( Adjunto-transpuesta ) en cualquier dado puede reescribirse en términos de los productos internos como: de modo que se cumple si y solo si se cumple; pero la igualdad a la derecha se cumple por definición de La condición definitoria de también puede escribirse si se usa la notación corchete. ${\displaystyle z\in Z}$ $${\displaystyle \left({}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\right)z=\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\quad {\text{ and }}\quad \left(\Phi _{H}~\circ ~A^{*}\right)z=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}}$$ ${\displaystyle {}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}}$ ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}}$ ${\displaystyle A^{*}z.}$ ${\displaystyle A^{*}z}$ $${\displaystyle \langle z\mid A~=~\langle A^{*}z\mid }$$

Descripciones de operadores autoadjuntos, normales y unitarios

Supongamos y sea Let un operador lineal continuo (es decir, acotado). ${\displaystyle Z=H}$ ${\displaystyle \Phi :=\Phi _{H}=\Phi _{Z}.}$ ${\displaystyle A:H\to H}$

El hecho de que sea autoadjunto , normal o unitario depende completamente de si satisface o no ciertas condiciones definitorias relacionadas con su adjunto, que se demostró mediante ( Adjunto-transpuesta ) que es esencialmente solo la transpuesta Debido a que la transpuesta de es una función entre funcionales lineales continuos, estas condiciones definitorias se pueden volver a expresar completamente en términos de funcionales lineales, como se describirá en detalle en el resto de la subsección. Los funcionales lineales involucrados son los funcionales lineales continuos más simples posibles en que se pueden definir completamente en términos del producto interno en y algún vector dado Específicamente, estos son y ^{[nota 7]} donde ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle h\in H.}$ ${\displaystyle \left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle h\mid A(\cdot )\rangle }$ $${\displaystyle \left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle =\Phi (Ah)=(\Phi \circ A)h\quad {\text{ and }}\quad \langle h\mid A(\cdot )\rangle =\left({}^{t}A\circ \Phi \right)h.}$$

Operadores autoadjuntos

Un operador lineal continuo se llama autoadjunto si es igual a su propio adjunto; es decir, si Usando ( Adjunto-transposición ), esto sucede si y solo si: donde esta igualdad se puede reescribir en las siguientes dos formas equivalentes: ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A=A^{*}.}$ $${\displaystyle \Phi \circ A={}^{t}A\circ \Phi }$$ $${\displaystyle A=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi \quad {\text{ or }}\quad {}^{t}A=\Phi \circ A\circ \Phi ^{-1}.}$$

Al desentrañar la notación y las definiciones se obtiene la siguiente caracterización de los operadores autoadjuntos en términos de los funcionales lineales continuos antes mencionados: es autoadjunto si y solo si para todo el funcional lineal ^{[nota 7]} es igual al funcional lineal ; es decir, si y solo si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z\in H,}$ ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle }$ ${\displaystyle \langle Az\mid \cdot \,\rangle }$

donde si se utiliza la notación corchete, esto es $${\displaystyle \langle z\mid A~=~\langle Az\mid \quad {\text{ for all }}z\in H.}$$

Operadores normales

Un operador lineal continuo se llama normal si lo que sucede si y solo si para todos ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A,}$ ${\displaystyle z,h\in H,}$ $${\displaystyle \left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle .}$$

Usando ( Adjunto-transpuesto ) y desenredando la notación y las definiciones se produce ^{[prueba 2]} la siguiente caracterización de operadores normales en términos de productos internos de funcionales lineales continuos: es un operador normal si y solo si ${\displaystyle A}$

donde el lado izquierdo también es igual a El lado izquierdo de esta caracterización involucra solo funciones lineales de la forma mientras que el lado derecho involucra solo funciones lineales de la forma (definidas como arriba ^{[nota 7]} ). Entonces, en lenguaje sencillo, la caracterización ( Funcionales de normalidad ) dice que un operador es normal cuando el producto interno de dos funciones lineales cualesquiera de la primera forma es igual al producto interno de su segunda forma (usando los mismos vectores para ambas formas). En otras palabras, si sucede que la asignación de funciones lineales está bien definida (y cuando es inyectiva o autoadjunta, lo es) (o alternativamente, si está bien definida) donde se extiende sobre entonces es un operador normal si y solo si esta asignación preserva el producto interno en ${\displaystyle {\overline {\langle Ah\mid Az\rangle }}_{H}=\langle Az\mid Ah\rangle _{H}.}$ ${\displaystyle \langle Ah\mid \cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \langle h\mid A(\cdot )\rangle }$ ${\displaystyle z,h\in H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ah\mid \cdot \,\rangle ~\mapsto ~\langle h|A(\cdot )\rangle }$ ${\displaystyle \langle h|A(\cdot )\rangle ~\mapsto ~\langle Ah\mid \cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H^{*}.}$

El hecho de que todo operador lineal autoadjunto y acotado sea normal se deduce fácilmente por sustitución directa de en cualquier lado de Este mismo hecho también se deduce inmediatamente de la sustitución directa de las igualdades ( Funcionales de autoadjunción ) en cualquier lado de ( Funcionales de normalidad ). ${\displaystyle A^{*}=A}$ ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}.}$

Alternativamente, para un espacio de Hilbert complejo, el operador lineal continuo es un operador normal si y solo si para cada ^[2] lo cual sucede si y solo si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|Az\|=\left\|A^{*}z\right\|}$ ${\displaystyle z\in H,}$ $${\displaystyle \|Az\|_{H}=\|\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle \|_{H^{*}}\quad {\text{ for every }}z\in H.}$$

Operadores unitarios

Se dice que un operador lineal acotado invertible es unitario si su inverso es su adjunto: Al usar ( Adjunto-transposición ), se ve que esto es equivalente a Desenredando la notación y las definiciones, se deduce que es unitario si y solo si ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A^{-1}=A^{*}.}$ ${\displaystyle \Phi \circ A^{-1}={}^{t}A\circ \Phi .}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \langle A^{-1}z\mid \cdot \,\rangle =\langle z\mid A(\cdot )\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.}$$

El hecho de que un operador lineal invertible acotado sea unitario si y solo si (o equivalentemente, ) produce otra caracterización (bien conocida): una función lineal acotada invertible es unitaria si y solo si ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A^{*}A=\operatorname {Id} _{H}}$ ${\displaystyle {}^{t}A\circ \Phi \circ A=\Phi }$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \langle Az\mid A(\cdot )\,\rangle =\langle z\mid \cdot \,\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.}$$

Debido a que es invertible (y, por lo tanto, en particular, una biyección), esto también es cierto para la transpuesta. Este hecho también permite que el vector en las caracterizaciones anteriores se reemplace con o produciendo así muchas más igualdades. De manera similar, se puede reemplazar con o ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle {}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.}$ ${\displaystyle z\in H}$ ${\displaystyle Az}$ ${\displaystyle A^{-1}z,}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle A(\cdot )}$ ${\displaystyle A^{-1}(\cdot ).}$

Véase también

• Teoría de Choquet  – Área de análisis funcional y análisis convexo
• Operador de covarianza  – Operador en teoría de probabilidad
• Teorema fundamental de los espacios de Hilbert
• Coeficiente matricial  – Funciones sobre grupos especiales relacionados con sus representaciones matriciales

Citas

1. Trèves 2006, págs. 112-123.
2. Rudin 1991, págs. 306–312.
3. Roman 2008, pág. 351 Teorema 13.32
4. Rudin 1991, págs. 307−309.
5. Rudin 1991, págs. 92-115.

Notas

1. Si entonces el producto interno será simétrico, por lo que no importa en qué coordenada del producto interno se coloque el elemento porque el resultado será el mismo mapa. Pero si entonces, excepto por el mapa constante, los funcionales antilineales en son completamente distintos de los funcionales lineales en, lo que hace que la coordenada en la que se coloca sea muy importante. Para que un valor distinto de cero induzca un funcional lineal (en lugar de un funcional antilineal ), debe colocarse en la coordenada antilineal del producto interno. Si se coloca incorrectamente en la coordenada lineal en lugar de la coordenada antilineal, el mapa resultante será el mapa antilineal, que no es un funcional lineal en y, por lo tanto, no será un elemento del espacio dual continuo. ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in H}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle h\mapsto \langle y,h\rangle =\langle h\mid y\rangle ,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}.}$
2. Esto significa que para todos los vectores (1) es inyectiva . (2) Las normas de y son las mismas: (3) es una función aditiva , lo que significa que para todos (4) es homogénea conjugada : para todos los escalares (5) es homogénea real : para todos los números reales ${\displaystyle y\in H:}$ ${\displaystyle \Phi :H\to H^{*}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi (y)}$ ${\displaystyle \|\Phi (y)\|=\|y\|.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (x+y)=\Phi (x)+\Phi (y)}$ ${\displaystyle x,y\in H.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (sy)={\overline {s}}\Phi (y)}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (ry)=r\Phi (y)}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} .}$
3. Esta nota al pie explica cómo definir - utilizando solo las operaciones de - la adición y la multiplicación escalar de hiperplanos afines de modo que estas operaciones correspondan a la adición y la multiplicación escalar de funcionales lineales. Sea cualquier espacio vectorial y sea denotar su espacio dual algebraico . Sea y sea y denotar las operaciones (únicas) del espacio vectorial sobre que hacen que la biyección definida por en un isomorfismo del espacio vectorial . Nótese que si y solo si así es la identidad aditiva de (porque esto es cierto de en y es un isomorfismo del espacio vectorial). Para cada sea si y sea en caso contrario; si entonces así esta definición es consistente con la definición usual del núcleo de un funcional lineal. Digamos que son paralelos si donde si y no están vacíos entonces esto sucede si y solo si los funcionales lineales y son múltiplos escalares distintos de cero entre sí. Las operaciones del espacio vectorial sobre el espacio vectorial de hiperplanos afines se describen ahora de una manera que involucra solo las operaciones del espacio vectorial sobre ; Esto da como resultado una interpretación de las operaciones del espacio vectorial en el espacio dual algebraico que está completamente en términos de hiperplanos afines. Arreglar hiperplanos Si es un escalar entonces Describir la operación en términos de solo los conjuntos y es más complicado porque por definición, Si (respectivamente, si ) entonces es igual a (resp. es igual a ) así que supongamos que y Los hiperplanos y son paralelos si y solo si existe algún escalar (necesariamente distinto de 0) tal que en cuyo caso esto puede subdividirse opcionalmente en dos casos: si (lo que sucede si y solo si los funcionales lineales y son negativos de cada uno) entonces mientras que si entonces Finalmente, supongamos ahora que Entonces es el único hiperplano afín que contiene tanto a como como subconjuntos; explícitamente, y Para ver por qué esta fórmula para debería cumplirse, considere y donde y (o alternativamente, ). Entonces por definición, y Ahora es un subespacio afín de codimensión ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{\varphi ^{-1}(1):\varphi \in H^{\#}\right\}}$ ${\displaystyle \,{\hat {\cdot }}\,}$ ${\displaystyle \,{\hat {+}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle I:H^{\#}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}(1)=\varnothing }$ ${\displaystyle \varphi =0,}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \left({\mathcal {A}},{\hat {+}},{\hat {\cdot }}\right)}$ ${\displaystyle I^{-1}(\varnothing )=0}$ ${\displaystyle H^{\#}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \ker A=H}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle \ker A=A-A}$ ${\displaystyle A=I(\varphi )=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \ker A=\ker \varphi }$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \ker A=\ker B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I^{-1}(A)}$ ${\displaystyle I^{-1}(B)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{\#}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s{\hat {\cdot }}A=\left\{h\in H:sh\in A\right\}.}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B}$ ${\displaystyle A=\varphi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle B=\psi ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B=I(\varphi ){\hat {+}}I(\psi ):=I(\varphi +\psi )=(\varphi +\psi )^{-1}(1).}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle B=\varnothing }$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle B\neq \varnothing .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A=rB,}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B=\left\{h\in H:(1+r)h\in B\right\};}$ ${\displaystyle r=-1}$ ${\displaystyle I^{-1}(A)}$ ${\displaystyle I^{-1}(B)}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B=\varnothing }$ ${\displaystyle r\neq -1}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B={\frac {1}{1+r}}B={\frac {r}{1+r}}A.}$ ${\displaystyle \ker A\neq \ker B.}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B}$ ${\displaystyle A\cap \ker B}$ ${\displaystyle B\cap \ker A}$ ${\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right)=\operatorname {span} \left(A\cap \ker B-B\cap \ker A\right)}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B=A\cap \ker B+\ker \left(A{\hat {+}}B\right)=B\cap \ker A+\ker \left(A{\hat {+}}B\right).}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B}$ ${\displaystyle H:=\mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1),}$ ${\displaystyle B:=\psi ^{-1}(1),}$ ${\displaystyle \varphi (x,y,z):=x}$ ${\displaystyle \psi (x,y,z):=x+y}$ ${\displaystyle \psi (x,y,z):=y}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B:=(\varphi +\psi )^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right):=(\varphi +\psi )^{-1}(0).}$ ${\displaystyle A\cap \ker B~=~\varphi ^{-1}(1)\cap \psi ^{-1}(0)~\subseteq ~(\varphi +\psi )^{-1}(1)}$ ${\displaystyle 2}$en (es igual a una traslación del eje -). Lo mismo es cierto para Trazar una sección transversal del plano - (es decir, fijar una constante) de los conjuntos y (cada uno de los cuales se trazará como una línea), el conjunto se trazará entonces como la línea (única) que pasa por y (que se trazará como dos puntos distintos) mientras que se trazará la línea que pasa por el origen que es paralela a Las fórmulas anteriores para y se derivan naturalmente del gráfico y también se cumplen en general. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \{(0,0)\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B\cap \ker A.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z=}$ ${\displaystyle \ker A,\ker B,A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\varphi +\psi )^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A\cap \ker B}$ ${\displaystyle B\cap \ker A}$ ${\displaystyle (\varphi +\psi )^{-1}(0)=\ker \left(A{\hat {+}}B\right)}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B=(\varphi +\psi )^{-1}(1).}$ ${\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right):=(\varphi +\psi )^{-1}(0)}$ ${\displaystyle A{\hat {+}}B:=(\varphi +\psi )^{-1}(1)}$
4. Demostrar que existe un vector distinto de cero en se basa en la continuidad de y la completitud de Cauchy de Este es el único lugar en la prueba en el que se utilizan estas propiedades. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K^{\bot }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle H.}$
5. Técnicamente, significa que la función de adición definida por es un isomorfismo y homeomorfismo lineal sobreyectivo . Consulte el artículo sobre subespacios complementados para obtener más detalles. ${\displaystyle H=K\oplus K^{\bot }}$ ${\displaystyle K\times K^{\bot }\to H}$ ${\displaystyle (k,p)\mapsto k+p}$
6. La notación habitual para introducir un elemento en un mapa lineal es y, a veces, reemplazar con produce o, lo cual es desagradable (a pesar de ser coherente con la notación habitual que se utiliza con las funciones). En consecuencia, el símbolo se añade al final, de modo que la notación se utiliza en su lugar para indicar este valor. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(g)}$ ${\displaystyle Fg.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \langle h\mid :=~\Phi h}$ ${\displaystyle \langle h\mid (g)}$ ${\displaystyle \langle h\mid g,}$ ${\displaystyle \,\rangle \,}$ ${\displaystyle \langle h\mid g\rangle }$ ${\displaystyle (\Phi h)g.}$
7. La notación denota la función lineal continua definida por ${\displaystyle \left\langle z\mid A(\cdot )\right\rangle _{Z}}$ ${\displaystyle g\mapsto \left\langle z\mid Ag\right\rangle _{Z}.}$

Pruebas

1. Esto se debe a que ahora usamos y y resolvemos para ${\displaystyle x_{K}=x-{\frac {\left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle }{\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}}}f_{\varphi }.}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\|\varphi \|^{2}}$ ${\displaystyle \left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle =\varphi (x)}$ ${\displaystyle f_{\varphi }.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. donde y Por definición del adjunto, entonces tomando el conjugado complejo de ambos lados demuestra que De ello se deduce que donde y ${\displaystyle \left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle =\left\langle \,Az\mid Ah\,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\Phi Ah\mid \Phi Az\,\right\rangle _{H^{*}}}$ ${\displaystyle \Phi Ah:=\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle }$ ${\displaystyle \Phi Az:=\left\langle Az\mid \cdot \,\right\rangle .}$ ${\displaystyle \left\langle A^{*}h\mid A^{*}z\,\right\rangle =\left\langle h\mid AA^{*}z\,\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}z\mid A^{*}h\right\rangle .}$ ${\displaystyle A^{*}=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi ,}$ ${\displaystyle \left\langle AA^{*}z\,|\,h\right\rangle _{H}=\left\langle A^{*}z\mid A^{*}h\right\rangle _{H}=\left\langle \Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi z\mid \Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi h\right\rangle _{H}=\left\langle \,{}^{t}A\circ \Phi h\mid {}^{t}A\circ \Phi z\right\rangle _{H^{*}}}$ ${\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi \right)h=\langle h\,|\,A(\cdot )\rangle }$ ${\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi \right)z=\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Bibliografía

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• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
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• Walter Rudin, Análisis real y complejo , McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6 . 
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .