Teoría supersimétrica de la dinámica estocástica.

Teoría de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas.

La teoría supersimétrica de la dinámica estocástica o estocástica ( STS ) es una teoría exacta de ecuaciones diferenciales estocásticas (parciales) (SDE), la clase de modelos matemáticos con mayor aplicabilidad que abarca, en particular, todos los sistemas dinámicos de tiempo continuo , con y sin ruido. La principal utilidad de la teoría desde el punto de vista físico es una explicación teórica rigurosa del ubicuo comportamiento dinámico espontáneo de largo alcance que se manifiesta en todas las disciplinas a través de fenómenos como 1/f , parpadeos y crujidos y las estadísticas de la ley potencial. , o ley de Zipf , de procesos instantáneos como terremotos y neuroavalanchas. Desde el punto de vista matemático, STS es interesante porque une las dos partes principales de la física matemática: la teoría de sistemas dinámicos y las teorías de campos topológicos . Además de estas y disciplinas relacionadas, como la topología algebraica y las teorías de campos supersimétricos , STS también está relacionada con la teoría tradicional de ecuaciones diferenciales estocásticas y la teoría de operadores pseudohermitianos.

La teoría comenzó con la aplicación del procedimiento de fijación de calibre BRST a Langevin SDE, ^{[1] [2]} que luego fue adaptado a la mecánica clásica ^{[3] [4] [5] [6]} y su generalización estocástica, ^[7] ordenar las SDE de Langevin, ^[8] y, más recientemente, a las SDE de forma arbitraria, ^[9] que permitieron vincular el formalismo BRST al concepto de operadores de transferencia y reconocer la ruptura espontánea de la supersimetría BRST como una generalización estocástica del caos dinámico .

La idea principal de la teoría es estudiar, en lugar de trayectorias, la evolución temporal de formas diferenciales definida por la SDE . Esta evolución tiene una BRST intrínseca o supersimetría topológica que representa la preservación de la topología y/o el concepto de proximidad en el espacio de fase mediante una dinámica de tiempo continua. La teoría identifica un modelo como caótico , en el sentido estocástico generalizado, si su estado fundamental no es supersimétrico, es decir, si la supersimetría se rompe espontáneamente. En consecuencia, el comportamiento emergente de largo alcance que siempre acompaña al caos dinámico y sus derivados, como la turbulencia y la criticidad autoorganizada, puede entenderse como una consecuencia del teorema de Goldstone .

Historia y relación con otras teorías.

La primera relación entre supersimetría y dinámica estocástica fue establecida en dos artículos de 1979 y 1982 por Giorgio Parisi y Nicolas Sourlas, ^{[1] [2]} quienes demostraron que la aplicación del procedimiento de fijación de calibre BRST a las SDE de Langevin, es decir, a las SDE con Los espacios de fase lineales, los campos vectoriales de flujo gradiente y los ruidos aditivos dan como resultado N = 2 modelos supersimétricos. El objetivo original de su trabajo era la reducción dimensional , es decir, una cancelación específica de las divergencias en los diagramas de Feynman propuestos unos años antes por Amnon Aharony , Yoseph Imry y Shang-keng Ma . ^[10] Desde entonces, se ha establecido la relación entre la supersimetría emergente de las SDE de Langevin y algunos conceptos físicos ^{[11] [12] [13] [14] [8] , incluidos los} teoremas de disipación de fluctuaciones , ^[14] Igualdad de Jarzynski , ^[15] Principio de Onsager de reversibilidad microscópica , ^[16] soluciones de ecuaciones de Fokker-Planck, ^[17] autoorganización , ^[18] etc.

Se utilizó un enfoque similar para establecer que la mecánica clásica , ^{[3] [4]} su generalización estocástica, ^[7] y las SDE de Langevin de orden superior ^[8] también tienen representaciones supersimétricas. Los sistemas dinámicos reales, sin embargo, nunca son puramente Langevin o mecánicos clásicos. Además, las SDE de Langevin físicamente significativas nunca rompen la supersimetría de forma espontánea. Por lo tanto, con el fin de identificar la ruptura espontánea de la supersimetría como caos dinámico , se necesita la generalización del enfoque Parisi-Sourlas para las EDS de forma general. Esta generalización podría venir sólo después de una formulación rigurosa de la teoría de los operadores pseudohermitianos ^[19] porque el operador de evolución estocástica es pseudohermitiano en el caso general. Dicha generalización ^[9] mostró que todas las SDE poseen N=1 BRST o supersimetría topológica (TS) y este hallazgo completa la historia de la relación entre la supersimetría y las SDE.

Paralelamente al enfoque del procedimiento BRST para las SDE, los matemáticos que trabajan en la teoría de sistemas dinámicos introdujeron y estudiaron el concepto de operador de transferencia generalizado definido para sistemas dinámicos aleatorios. ^{[20] [21]} Este concepto subyace al objeto más importante del STS, el operador de evolución estocástica, y le proporciona un significado matemático sólido.

STS tiene una estrecha relación con la topología algebraica y su sector topológico pertenece a la clase de modelos conocidos como teoría de campos topológicos o cohomológicos de tipo Witten . ^{[22] [23] [24] [25] [26] [27]} Como teoría supersimétrica, el enfoque del procedimiento BRST para las SDE puede verse como una de las realizaciones del concepto de mapa de Nicolai. ^{[28] [29]}

Enfoque Parisi-Sourlas para las EDE de Langevin

En el contexto del enfoque supersimétrico de la dinámica estocástica, el término SDE de Langevin denota SDE con espacio de fase euclidiano, campo vectorial de flujo gradiente y ruido blanco gaussiano aditivo . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-\partial U(x(t))+(2\Theta )^{1/2}\xi (t),}$$

${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \partial U(x)}$ ${\displaystyle (\partial U(x))^{i}\equiv \delta ^{ij}\partial _{j}U(x)}$ ${\displaystyle \partial _{i}U(x)\equiv \partial U(x)/\partial x^{i}}$ ${\displaystyle U(x)}$

El método Parisi-Sourlas es una forma de construir la representación integral de trayectoria del SDE de Langevin. Puede considerarse como un procedimiento de fijación de calibre BRST que utiliza el SDE de Langevin como condición de calibre. Es decir, se considera la siguiente integral funcional,

$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\langle \int \dots \int J\left(\prod \nolimits _{\tau }\delta ({\dot {x}}(\tau )-{\mathcal {F}}(x(\tau )))\right)Dx\right\rangle _{\text{noise}},}$$

donde denota el rhs del Langevin SDE, es la operación de promediado estocástico siendo la distribución normalizada de las configuraciones de ruido, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \langle \cdot \rangle _{\text{noise}}\equiv \int \dots \int \cdot P(\xi )D\xi }$ ${\displaystyle P(\xi )\propto e^{-\int _{t'}^{t}d\tau \xi ^{2}(\tau )/2}}$

${\displaystyle \textstyle J=\operatorname {Det} {\frac {\delta ({\dot {x}}(\tau )-{\mathcal {F}}(x(\tau )))}{\delta x(\tau ')}}}$

es el jacobiano de la derivada funcional correspondiente, y la integración de caminos es sobre todos los caminos cerrados, donde y son los momentos inicial y final de la evolución temporal. ${\displaystyle x(t)=x(t')}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle t>t'}$

Reducción dimensional

La construcción Parisi-Sourlas originalmente apuntaba a la "reducción dimensional" propuesta en 1976 por Amnon Aharony , Yoseph Imry y Shang-keng Ma ^[10] quienes demostraron que para todos los órdenes en la expansión de perturbaciones, los exponentes críticos en una dimensión d (4 < d < 6) con intercambio de corto alcance y un campo apagado aleatorio son los mismos que los de un sistema puro ( d –2) dimensional. ^[30] Sus argumentos indicaron que "los diagramas de Feynman que dan el comportamiento singular principal para el caso aleatorio son idénticamente iguales, aparte de los factores combinatorios, a los diagramas de Feynman correspondientes para el caso puro en dos dimensiones menos". ^[30]

... Parisi y Sourlas ... observaron que los diagramas más divergentes en el infrarrojo son aquellos con el número máximo de inserciones de fuentes aleatorias y, si se descuidan los otros diagramas, nos quedamos con una expansión esquemática para una teoría de campos clásica en el presencia de fuentes aleatorias.
Parisi y Sourlas luego señalaron que el fenómeno subyacente para la conexión entre sistemas aleatorios y sistemas puros en dos dimensiones menos es que una teoría de campos clásica en presencia de fuentes aleatorias es perturbativamente equivalente a la correspondiente teoría cuántica de campos en dos dimensiones menos. Parisi y Sourlas explicaron esta reducción dimensional mediante una supersimetría oculta. ^[30]

Interpretación topológica

Los aspectos topológicos de la construcción Parisi-Sourlas se pueden resumir brevemente de la siguiente manera. ^{[22] [31]} La función delta, es decir, la colección de un número infinito de funciones delta, garantiza que sólo las soluciones del SDE de Langevin contribuyan a . En el contexto del procedimiento BRST, estas soluciones pueden considerarse como copias de Gribov . Cada solución aporta unidad positiva o negativa: siendo el índice del llamado mapa de Nicolai, que en este caso es el mapa desde el espacio de caminos cerrados hacia el espacio de configuraciones de ruido, mapa que proporciona una configuración de ruido. en el cual un camino cerrado dado es una solución del SDE de Langevin. puede verse como una realización del teorema de Poincaré-Hopf sobre el espacio de dimensión infinita de caminos cercanos con Langevin SDE desempeñando el papel del campo vectorial y con las soluciones de Langevin SDE desempeñando el papel de los puntos críticos con índice . es independiente de la configuración del ruido porque es de carácter topológico. Lo mismo ocurre con su promedio estocástico, que no es la función de partición del modelo sino su índice de Witten . ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\textstyle {\mathcal {W}}=\textstyle \left\langle I_{N}(\xi )\right\rangle _{\text{noise}}}$ ${\textstyle I_{N}(\xi )=\sum _{\text{solutions}}\operatorname {sign} J}$ ${\textstyle \xi =({\dot {x}}+\partial U)/(2\Theta )^{1/2}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle I_{N}(\xi )}$ ${\displaystyle \operatorname {sign} J}$ ${\textstyle I_{N}(\xi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

Representación integral de ruta

Con la ayuda de una técnica estándar de teoría de campos que implica la introducción de un campo adicional llamado multiplicador de Lagrange, y un par de campos fermiónicos llamados fantasmas de Faddeev-Popov , al índice de Witten se le puede dar la siguiente forma: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \chi ,{\bar {\chi }}}$

$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int \dots \int _{p.b.c.}e^{(Q,\Psi )}D\Phi ,}$$

donde denota la colección de todos los campos, pbc representa las condiciones de contorno periódicas, el llamado fermión calibre, con y , y la simetría BRST definida a través de su acción sobre funcionales arbitrarios como . En el formalismo BRST , las piezas Q-exact como, sirven como herramientas de fijación de calibre. Por lo tanto, la expresión integral de trayectoria para puede interpretarse como un modelo cuya acción no contiene nada más que el término de fijación de calibre. Esta es una característica definitiva de las teorías de campos topológicos de tipo Witten y en este caso particular del enfoque del procedimiento BRST para las SDE, la simetría BRST también puede reconocerse como la supersimetría topológica. ^[22] ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \textstyle \Psi =\int _{t'}^{t}d\tau (\imath _{\dot {x}}-{\bar {d}})(\tau )}$ ${\displaystyle \textstyle \imath _{\dot {x}}=i{\bar {\chi }}_{j}{\dot {x}}^{j}}$ ${\textstyle \textstyle {\bar {d}}=-i{\bar {\chi }}_{j}\delta ^{jk}(\partial _{k}U+\Theta iB_{k})}$ ${\displaystyle A(\Phi )}$ ${\displaystyle (Q,A(\Phi ))=\textstyle \int _{t'}^{t}d\tau (\chi ^{i}(\tau )\delta /\delta x^{i}(\tau )+B_{i}(\tau )\delta /\delta {\bar {\chi }}_{i}(\tau ))A(\Phi )}$ ${\displaystyle (Q,\Psi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

Una forma común de explicar el procedimiento BRST es decir que la simetría BRST genera la versión fermiónica de las transformaciones de calibre, mientras que su efecto general sobre la integral de trayectoria es limitar la integración solo a configuraciones que satisfacen una condición de calibre específica. Esta interpretación también se aplica al enfoque Parisi-Sourlas en el que las deformaciones de la trayectoria y el SDE de Langevin desempeñan el papel de las transformaciones de calibre y la condición de calibre, respectivamente.

Representación del operador

Los fermiones físicos en los modelos de física de altas energías y de materia condensada tienen condiciones de contorno antiperiódicas en el tiempo. Las condiciones de frontera periódicas no convencionales para los fermiones en la expresión integral de trayectoria para el índice de Witten son el origen del carácter topológico de este objeto. Estas condiciones de contorno se revelan en la representación del operador del índice de Witten como el operador de signo alterno,

$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}{\hat {\mathcal {M}}}_{tt'},}$$

${\textstyle {\hat {n}}}$ ${\textstyle {\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=e^{-(t-t'){\hat {H}}}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {L}}_{-\partial U}-\Theta {\hat {\triangle }}=[{\hat {d}},{\hat {\bar {d}}}],}$$

derivada exteriorsobrealimentadoresnilpotentes ${\displaystyle \textstyle {\hat {L}}}$ ${\textstyle {\hat {\triangle }}}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {d}}=\chi ^{i}\partial /\partial x^{i}}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {\bar {d}}}=-(i{\hat {\bar {\chi }}}_{i})\delta ^{ij}(\partial _{j}U+\Theta (i{\hat {B}}_{j}))}$ ${\displaystyle i{\hat {B}}_{j}=\partial /\partial x^{j}}$ ${\displaystyle i{\hat {\bar {\chi }}}_{j}=\partial /\partial \chi ^{j}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\hat {\bar {\chi }}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {\bar {d}}}}$ ${\displaystyle {\hat {d}}^{2}=0}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {\bar {d}}}}$

Espacio de Hilbert

Las funciones de onda son funciones no sólo de las variables bosónicas, sino también de los números de Grassmann o fermiones , del espacio tangente de . Las funciones de onda pueden verse como formas diferenciales y los fermiones desempeñan el papel de diferenciales . ^[26] El concepto de SEO infinitesimal generaliza el operador Fokker-Planck , que es esencialmente el SEO que actúa sobre formas diferenciales superiores que tienen el significado de distribuciones de probabilidad total . Las formas diferenciales de menor grado pueden interpretarse, al menos localmente , como distribuciones de probabilidad condicional . ^[32] Ver los espacios de formas diferenciales de todos los grados como funciones de onda del modelo es una necesidad matemática. Sin él, el índice de Witten que representa el objeto más fundamental del modelo (la función de partición del ruido) no existiría y la función de partición dinámica no representaría el número de puntos fijos del SDE (ver más abajo). La comprensión más general de las funciones de onda son los objetos libres de coordenadas que contienen información no sólo sobre las trayectorias sino también sobre la evolución de los diferenciales y/o exponentes de Lyapunov . ^[33] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \chi \in TX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \chi \equiv dx\wedge }$ ${\displaystyle X}$

Relación con el modelo sigma no lineal y la topología algebraica.

En Ref., ^[26] se ha introducido un modelo que puede verse como un prototipo 1D de los modelos sigma topológicos no lineales (TNSM), ^[23] una subclase de las teorías de campos topológicos de tipo Witten . El TNSM 1D se define para espacios de fase riemannianos, mientras que para espacios de fase euclidianos se reduce al modelo Parisi-Sourlas. Su diferencia clave con respecto a STS es el operador de difusión, que es el Hodge Laplaciano para 1D TNSM y para STS. Esta diferencia no es importante en el contexto de la relación entre STS y la topología algebraica, la relación establecida por la teoría del TNSM 1D (ver, por ejemplo, Refs. ^{[26] [22]} ). ${\displaystyle \textstyle {\hat {L}}_{e_{a}}{\hat {L}}_{e_{a}}}$

El modelo está definido por el siguiente operador de evolución , donde al ser la métrica, es el laplaciano de Hodge , y las formas diferenciales del álgebra exterior del espacio de fase, se ven como funciones de onda. Existe una transformación de similitud, que lleva el operador de evolución a la forma explícitamente hermitiana con . En el caso euclidiano, es el hamiltoniano de una mecánica cuántica supersimétrica N=2 . Se pueden introducir dos operadores hermitianos y , de modo que . Esto demuestra que el espectro de y/o es real y no negativo. Esto también es válido para los SEO de las SDE de Langevin. Sin embargo, para los SDE de forma arbitraria, esto ya no es cierto ya que los valores propios del SEO pueden ser negativos e incluso complejos, lo que en realidad permite que el TS se rompa espontáneamente. ${\textstyle {\hat {H}}={\hat {L}}_{-\partial U}+\Theta [{\hat {d}},{\hat {d}}^{\dagger }]}$ ${\textstyle (\partial U)^{i}=g^{ij}\partial _{j}U}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle [{\hat {d}},{\hat {d}}^{\dagger }]}$ ${\textstyle \Omega (X)}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\to {\hat {H}}_{U}=e^{U/2\Theta }{\hat {H}}e^{-U/2\Theta }}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{U}=\Theta [{\hat {d}}_{U},{\hat {d}}_{U}^{\dagger }]}$ ${\displaystyle {\hat {d}}_{U}=e^{U/2\Theta }{\hat {d}}e^{-U/2\Theta }=\chi ^{i}(\partial /\partial x^{i}-\partial _{i}U/2\Theta )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{U}}$ ${\displaystyle {\hat {q}}_{1}=({\hat {d}}_{U}+{\hat {d}}_{U}^{\dagger })/2^{1/2}}$ ${\displaystyle {\hat {q}}_{2}=i({\hat {d}}_{U}-{\hat {d}}_{U}^{\dagger })/2^{1/2}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{U}=\Theta {\hat {q}}_{1}^{2}=\Theta {\hat {q}}_{2}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{U}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Las siguientes propiedades del operador de evolución de 1D TNSM son válidas incluso para el SEO de las SDE de forma arbitraria. El operador de evolución conmuta con el operador de grado de formas diferenciales. Como resultado, donde y es el espacio de formas diferenciales de grado . Además, debido a la presencia de TS, donde están los estados propios supersimétricos , no triviales en la cohomología de De Rham , mientras que el resto son los pares de estados propios no supersimétricos de la forma y . Todos los estados propios supersimétricos tienen valores propios exactamente cero y, salvo situaciones accidentales, todos los estados no supersimétricos tienen valores propios distintos de cero. Los pares de estados propios no supersimétricos no contribuyen al índice de Witten, que es igual a la diferencia en los números de los estados supersimétricos de grados pares e impares. Para compactos , cada clase de cohomología de De Rham proporciona un estado propio supersimétrico y el índice de Witten es igual al de Euler. Característica del espacio de fase. ${\displaystyle \textstyle {\hat {H}}={\hat {H}}^{(\dim X)}\oplus \dots \oplus {\hat {H}}^{(0)}}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {H}}^{(k)}={\hat {H}}|_{\Omega ^{(k)}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{(n)}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \Omega (X)={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {N}}\oplus ({\hat {d}}{\mathcal {N}})}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle \theta 's}$ ${\textstyle |\vartheta \rangle }$ ${\textstyle {\hat {d}}|\vartheta \rangle }$ ${\textstyle {\mathcal {W}}=\#\{{\text{even }}\theta 's\}-\#\{{\text{odd }}\theta 's\}.}$ ${\displaystyle X}$

Procedimiento BRST para SDE de forma arbitraria

El método Parisi-Sourlas del enfoque del procedimiento BRST para las SDE de Langevin también se ha adaptado a la mecánica clásica, ^[3] la generalización estocástica de la mecánica clásica, ^[7] las SDE de Langevin de orden superior, ^[8] y, más recientemente, a las SDE de forma arbitraria. . ^[9] Si bien existen técnicas estándar que permiten considerar modelos con ruidos coloreados, "espacios base" de dimensiones superiores descritos por SDE parciales, etc., los elementos clave de STS se pueden discutir utilizando la siguiente clase básica de SDE,

$${\displaystyle {\dot {x}}(t)=F(x(t))+(2\Theta )^{1/2}e_{a}(x(t))\xi ^{a}(t),}$$

variedad topológica cerradacampo vectorialespacio tangenteaditivomultiplicativo ${\textstyle x\in X}$ ${\displaystyle F(x)\in TX_{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{a}\in TX,a=1,\ldots ,\dim X}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle X}$

Ambigüedad de la representación integral de caminos y dilema de Ito-Stratonovich

El procedimiento de fijación del ancho de vía del BRST sigue la misma línea que en el caso de las SDE de Langevin. La interpretación topológica del procedimiento BRST es la misma y la representación integral de trayectoria del índice de Witten está definida por el fermión de calibre, dado por la misma expresión pero con la versión generalizada de . Sin embargo, hay una sutileza importante que aparece en el camino hacia la representación del modelo por parte del operador. A diferencia de las SDE de Langevin, la mecánica clásica y otras SDE con ruidos aditivos, la representación integral de ruta del SEO de tiempo finito es un objeto ambiguo. Esta ambigüedad se origina en la no conmutatividad de los operadores de momentos y posición, por ejemplo ,. Como resultado, en la representación integral de trayectoria tiene toda una familia de posibles interpretaciones de un parámetro en la representación del operador, donde denota una función de onda arbitraria. En consecuencia, existe toda una familia de SEO infinitesimales, ${\displaystyle \textstyle \Psi }$ ${\textstyle \textstyle {\bar {d}}=\imath _{F}-\Theta \imath _{e_{a}}(Q,\imath _{e_{a}})}$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {x}}\neq {\hat {x}}{\hat {B}}}$ ${\displaystyle B(\tau )x(\tau )}$ ${\displaystyle (\alpha {\hat {B}}{\hat {x}}+(1-\alpha ){\hat {x}}{\hat {B}})|\psi (\tau )\rangle }$ ${\displaystyle |\psi (\tau )\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{\alpha }={\hat {L}}_{F}-\Theta {\hat {L}}_{e_{a}}{\hat {L}}_{e_{a}}=[{\hat {d}},{\hat {\bar {d}}}_{\alpha }],}$$

multiplicación interiorsobrealimentación ${\displaystyle \textstyle {\hat {\bar {d}}}_{\alpha }={\hat {\imath }}_{F_{\alpha }}-\Theta {\hat {\imath }}_{e_{a}}{\hat {L}}_{e_{a}}}$ ${\displaystyle {\hat {\imath }}_{F_{\alpha }}}$ ${\displaystyle \textstyle F_{\alpha }=F-\Theta (2\alpha -1)(e_{a}\cdot \partial )e_{a}}$ ${\displaystyle {\hat {\bar {d}}}_{\alpha }}$

La representación integral de trayectoria de la dinámica estocástica es equivalente a la comprensión tradicional de las SDE como un límite de tiempo continuo de ecuaciones en diferencias estocásticas donde las diferentes opciones de parámetros se denominan "interpretaciones" de las SDE. La elección , por cuál y cuál se conoce en la teoría cuántica como regla de simetrización de Weyl , se conoce como interpretación de Stratonovich , mientras que como interpretación de Ito . Mientras que en la teoría cuántica se prefiere la simetrización de Weyl porque garantiza la hermiticidad de los hamiltonianos, en STS se prefiere el enfoque de Stratonovich-Weyl porque corresponde al significado matemático más natural del SEO de tiempo finito que se analiza a continuación: el retroceso promediado estocásticamente inducido por la Difeomorfismos definidos por SDE. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \textstyle F_{1/2}=F}$ ${\displaystyle \alpha =1}$

Sistema propio del operador de evolución estocástica.

Los tres tipos posibles de espectros SEO en una esfera 3D. Cada línea de tripletas de gráficas representa . para los tres tipos de espectros. Los puntos negros en el origen de la primera y la última línea representan estados propios supersimétricos de las cohomologías cero y tercera de la tercera esfera. Para los tipos b y c , los estados fundamentales (eigen) (de más rápido crecimiento) no son supersimétricos porque tienen valores propios distintos de cero. El TS se rompe espontáneamente. Las líneas de flechas verticales visualizan el operador de supersimetría. ${\displaystyle spec{\hat {H}}^{(n)},}$ ${\displaystyle n=0,...3}$

En comparación con el SEO de las SDE de Langevin, el SEO de una SDE de forma general es pseudohermitiano. ^[19] Como resultado, los valores propios de los estados propios no supersimétricos no están restringidos a ser positivos reales, mientras que los valores propios de los estados propios supersimétricos siguen siendo exactamente cero. Al igual que para las SDE de Langevin y el modelo sigma no lineal, la estructura del sistema propio del SEO restablece el carácter topológico del índice de Witten: las contribuciones de los pares de estados propios no supersimétricos se desvanecen y sólo los estados supersimétricos contribuyen con la característica de Euler (cerrada) . Entre otras propiedades de los espectros SEO está la de nunca romper TS, es decir, . Como resultado, existen tres tipos principales de espectros SEO presentados en la figura de la derecha. Los dos tipos que tienen valores propios negativos (partes reales de) corresponden al TS roto espontáneamente. Todos los tipos de espectros SEO son realizables, como se puede comprobar, por ejemplo, a partir de la relación exacta entre la teoría de la dinamo cinemática y la STS. ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {H}}^{(\operatorname {dim} X)}}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {H}}^{(0)}}$ ${\displaystyle \textstyle Re(\operatorname {spec} {\hat {H}}^{(\operatorname {dim} X)})\geq 0}$

STS sin procedimiento BRST

El significado matemático del operador de evolución estocástica.

El SEO de tiempo finito se puede obtener de otra forma, más matemática, basada en la idea de estudiar directamente las acciones inducidas por SDE en formas diferenciales, sin pasar por el procedimiento de fijación de calibre BRST. El SEO de tiempo finito así obtenido se conoce en la teoría de sistemas dinámicos como operador de transferencia generalizada ^{[20] [21]} y también se ha utilizado en la teoría clásica de las SDE (ver, por ejemplo, Refs. ^{[35] [36]} ). La contribución de STS ^[9] a esta construcción es la exposición de la estructura supersimétrica subyacente y el establecimiento de su relación con el procedimiento BRST para SDE.

Es decir, para cualquier configuración del ruido, y una condición inicial, SDE define una solución/trayectoria única . Incluso para configuraciones de ruido que no son diferenciables con respecto al tiempo, la solución es diferenciable con respecto a la condición inicial . ^{[37] En otras palabras, SDE define la familia de} difeomorfismos del espacio de fase dependientes de la configuración del ruido para sí mismo, . Este objeto puede entenderse como una colección y/o definición de todas las trayectorias dependientes de la configuración del ruido . Los difeomorfismos inducen acciones o retrocesos . A diferencia de, digamos, las trayectorias en , los retrocesos son objetos lineales incluso para los no lineales . Los objetos lineales se pueden promediar y promediar sobre las configuraciones de ruido, da como resultado el SEO de tiempo finito que es único y corresponde a la interpretación de Stratonovich-Weyl del enfoque del procedimiento BRST para SDE . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle x(t')=x'\in X}$ ${\displaystyle x(t)\in X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle M_{tt'}:X\to X}$ ${\displaystyle x(t)=M_{tt'}(x')}$ ${\displaystyle \textstyle M_{t't}^{*}:\Omega (X)\to \Omega (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{t't}^{*}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=\langle M_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=e^{-(t-t'){\hat {H}}_{1/2}}}$

Dentro de esta definición de SEO de tiempo finito, el índice de Witten puede reconocerse como la traza nítida del operador de transferencia generalizado. ^{[20] [21]} También vincula el índice de Witten con el índice de Lefschetz , una constante topológica que es igual a la característica de Euler del espacio de fase (cerrado). Es decir ,. ${\textstyle \textstyle I_{L}=\operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}M_{t't}^{*}=\sum _{x\in \operatorname {fix} M_{tt'}}\operatorname {sign} \operatorname {det} (\delta _{j}^{i}-\partial M_{tt'}^{i}(x)/\partial x^{j})}$ ${\textstyle \textstyle {\mathcal {W}}=\operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}\langle M_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=\langle \operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}M_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=I_{L}}$

El significado de la supersimetría y el efecto mariposa

La supersimetría N = 2 de las SDE de Langevin se ha relacionado con el principio de Onsager de reversibilidad microscópica ^[16] y la igualdad de Jarzynski . ^[15] En la mecánica clásica, se ha propuesto una relación entre la correspondiente supersimetría N=2 y la ergodicidad . ^[6] En las SDE de forma general, donde los argumentos físicos pueden no ser aplicables, se encuentra disponible una explicación de nivel inferior de la TS. Esta explicación se basa en la comprensión del SEO de tiempo finito como un retroceso promediado estocásticamente de los difeomorfismos definidos por SDE (consulte la subsección anterior). En este cuadro, la pregunta de por qué cualquier SDE tiene TS es la misma que la pregunta de por qué la derivada exterior conmuta con el retroceso de cualquier difeomorfismo. La respuesta a esta pregunta es la diferenciabilidad del mapa correspondiente. En otras palabras, la presencia de TS es la versión algebraica de la afirmación de que el flujo de tiempo continuo preserva la continuidad de . Dos puntos inicialmente cercanos permanecerán cercanos durante la evolución, lo que es simplemente otra forma de decir que es un difeomorfismo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{tt'}}$

En los modelos caóticos deterministas, los puntos inicialmente cercanos pueden formar parte del límite de una evolución temporal infinitamente larga. Este es el famoso efecto mariposa , que equivale a la afirmación de que se pierde diferenciabilidad en este límite. En la representación algebraica de la dinámica, la evolución en el límite de tiempo infinitamente largo se describe por el estado fundamental del SEO y el efecto mariposa es equivalente a la ruptura espontánea del TS, es decir, a la situación en la que el estado fundamental no es supersimétrico. Cabe destacar que, a diferencia de la comprensión tradicional de la dinámica caótica determinista, la ruptura espontánea de TS también funciona para casos estocásticos. Ésta es la generalización más importante porque la dinámica determinista es, de hecho, una idealización matemática. Los sistemas dinámicos reales no pueden aislarse de sus entornos y, por tanto, siempre experimentan una influencia estocástica. ${\displaystyle M_{tt'}}$

Ruptura espontánea de la supersimetría y caos dinámico

El procedimiento de fijación del calibre BRST aplicado a los SDE conduce directamente al índice de Witten. El índice de Witten es de carácter topológico y no responde a ninguna perturbación. En particular, todos los correlacionadores de respuesta calculados utilizando el índice de Witten desaparecen. Este hecho tiene una interpretación física dentro del STS: el significado físico del índice de Witten es la función de partición del ruido ^[32] y dado que no hay reacción del sistema dinámico al ruido, el índice de Witten no tiene información sobre los detalles. de la SDE. Por el contrario, la información sobre los detalles del modelo está contenida en otro objeto similar a una traza de la teoría, la función de partición dinámica,

$${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{tt'}=\int \dots \int _{a.p.b.c.}e^{(Q,\Psi )}D\Phi =\operatorname {Tr} {\hat {\mathcal {M}}}_{tt'},}$$

función de generación

Para una amplia clase de modelos, la función de partición dinámica proporciona un límite inferior para el número promediado estocásticamente de puntos fijos de los difeomorfismos definidos por SDE,

$${\displaystyle \left.{\mathcal {Z}}_{tt'}\right|_{t-t'\to \infty }=\sum \nolimits _{p}e^{-(t-t'){\mathsf {E}}_{p}}\leq \langle \#\{{\text{fixed points of }}M_{t't}\}\rangle _{\text{noise}}\propto e^{(t-t')S}.}$$

la entropía topológica ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \Gamma _{g}=-\min _{\alpha }\operatorname {Re} {\mathsf {E}}_{\alpha }\geq 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma _{g}}$ ${\displaystyle 0<\Gamma _{g}\leq S}$ ${\displaystyle \Gamma _{g}}$

La lista completa de razones por las que la ruptura espontánea del TS debe considerarse como una generalización estocástica del concepto de caos dinámico es la siguiente. ^[38]

• Entropía dinámica positiva.
• Según el teorema de Goldstone , la ruptura espontánea de TS debe adaptar un comportamiento dinámico de largo alcance, una de cuyas manifestaciones es el efecto mariposa discutido anteriormente en el contexto del significado de TS.
• A partir de las propiedades del sistema propio de SEO, TS puede romperse espontáneamente sólo si . Esta conclusión puede verse como la generalización estocástica del teorema de Poincaré-Bendixson para el caos determinista. ${\displaystyle \dim X\geq 3}$
• En el caso determinista, los modelos integrables en el sentido de sistemas dinámicos tienen variedades globales estables e inestables bien definidas . Los soportes de los estados fundamentales globales de tales modelos son los duales de Poincaré de las variedades globales estables/inestables. Estos estados fundamentales son supersimétricos, por lo que TS no se rompe espontáneamente. Por el contrario, cuando el modelo es no integrable o caótico, sus variedades globales (ines)estables no son variedades topológicas bien definidas, sino que tienen una estructura fractal autorrecurrente que puede capturarse utilizando el concepto de variedades ramificadas. ^[39] Las funciones de onda que pueden representar tales variedades no pueden ser supersimétricas. Por lo tanto, la ruptura del TS está intrínsecamente relacionada con el concepto de no integrabilidad en el sentido de sistemas dinámicos, que en realidad es otra definición ampliamente aceptada de caos determinista. ${\displaystyle F}$

Todas las características anteriores de TS funcionan tanto para modelos deterministas como estocásticos. Esto contrasta con el caos determinista tradicional cuyas propiedades basadas en trayectorias, como la mezcla topológica, en principio no pueden generalizarse al caso estocástico porque, al igual que en la dinámica cuántica, todas las trayectorias son posibles en presencia de ruido y, digamos, del caos topológico. La propiedad de mezcla se satisface trivialmente en todos los modelos con intensidad de ruido distinta de cero.

STS como teoría de campos topológicos

El cuadrado acbd representa un instanten, es decir, la familia de trayectorias de flujo determinista (curvas con flechas punteadas) que van de un punto crítico (b) a otro (a). El soporte ( / ) de los estados fundamentales localmente supersimétricos (vacua) correspondientes a estos puntos críticos son los duales de Poincaré de las variedades locales inestables/estables. Los operadores son duales Poincaré de líneas verticales/horizontales. El valor del elemento de la matriz instantánea es el número de intersección (la diferencia en el número de intersecciones positivas (negras) y negativas (blancas)). Es invariante bajo la evolución temporal debida al flujo . ${\displaystyle \langle a|}$ ${\displaystyle |b\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {O}}_{1,2}}$ ${\displaystyle {\hat {O}}_{1}(0)\to {\hat {O}}_{1}(t)}$

El sector topológico de STS puede reconocerse como miembro de las teorías de campos topológicos de tipo Witten . ^{[22] [23] [25] [26] [27]} En otras palabras, algunos objetos en STS son de carácter topológico, siendo el índice de Witten el ejemplo más famoso. Hay otras clases de objetos topológicos. Una clase de objetos está relacionada con los instantones , es decir, la dinámica transitoria. El arrugamiento del papel, el plegamiento de proteínas y muchos otros procesos dinámicos no lineales en respuesta a enfriamientos, es decir, a cambios externos (repentinos) de parámetros, pueden reconocerse como dinámica instantánea. Desde el punto de vista matemático, los instantones son familias de soluciones de ecuaciones deterministas de movimiento, que conducen desde, digamos, un punto fijo menos estable a un punto fijo más estable. Ciertos elementos de la matriz calculados sobre instantones son de naturaleza topológica. Se puede definir un ejemplo de tales elementos de matriz para un par de puntos críticos y , al ser más estable que , ${\displaystyle {\dot {x}}=F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle \left.\int \dots \int _{x(\pm \infty )=a,b}\left(\prod \nolimits _{i}O_{i}(t_{i})\right)e^{({\mathcal {Q}},\Psi )}D\Phi \right|_{\Theta \to 0}=\langle a|{\mathcal {T}}\left(\prod \nolimits _{i}{\hat {O}}_{i}(t_{i})\right)|b\rangle .}$$

${\displaystyle \langle a|}$ ${\displaystyle |b\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {O}}(t)={\hat {\mathcal {M}}}_{t_{0},t}{\hat {O}}{\hat {\mathcal {M}}}_{t,t_{0}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle |b\rangle }$ ${\displaystyle t_{i}'s}$ ${\displaystyle O}$

Los elementos de la matriz instantánea anteriores son exactos sólo en el límite determinista. En el caso estocástico general, se pueden considerar estados supersimétricos globales, de las clases de cohomología de De Rham y observables, que son duales de Poincaré de variedades cerradas no triviales en homología de . Los siguientes elementos de la matriz son invariantes topológicos representativos de la estructura del anillo de cohomología de De Rham . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \langle \theta _{\alpha }|{\mathcal {T}}\left(\prod \nolimits _{i}{\hat {\gamma }}_{i}(t_{i})\right)|\theta _{\beta }\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$

Aplicaciones

La teoría supersimétrica de la dinámica estocástica puede resultar interesante de diferentes formas. Por ejemplo, STS ofrece una realización prometedora del concepto de supersimetría . En general, existen dos problemas principales en el contexto de la supersimetría. El primero es establecer conexiones entre esta entidad matemática y el mundo real. Dentro de STS, la supersimetría es la simetría más común en la naturaleza porque es pertinente a todos los sistemas dinámicos de tiempo continuo. El segundo es la ruptura espontánea de la supersimetría . Este problema es particularmente importante para la física de partículas porque la supersimetría de las partículas elementales , si existe a una escala extremadamente pequeña, debe romperse espontáneamente a gran escala. Este problema no es trivial porque las supersimetrías son difíciles de romper espontáneamente, la misma razón detrás de la introducción de la ruptura de supersimetría suave o explícita . ^[40] Dentro de CTS, la ruptura espontánea de la supersimetría es de hecho un fenómeno dinámico no trivial que ha sido conocido en diversas disciplinas como caos , turbulencia , criticidad autoorganizada , etc.

Algunas aplicaciones más específicas de STS son las siguientes.

Clasificación de la dinámica estocástica.

Los sistemas dinámicos estocásticos se pueden clasificar según si TS se rompe espontáneamente o no (ordenado/simétrico) y si el campo del vector de flujo es integrable o no integrable (a veces caótico). La fase simétrica se puede identificar como equilibrio térmico (T). La fase ordenada no integrable puede denominarse caos (C) porque alberga un caos determinista convencional. La fase integrable ordenada puede denominarse caos inducido por ruido (N) porque la ruptura de TS implica antiinstantones que desaparecen en el límite determinista. La fase N también se conoce en la literatura como criticidad autoorganizada.

STS proporciona clasificación para modelos estocásticos dependiendo de si TS está roto y la integrabilidad del campo de vector de flujo. Se puede ejemplificar como parte del diagrama de fase general en el borde del caos (ver figura a la derecha). El diagrama de fases tiene las siguientes propiedades:

• Para los modelos físicos, TS se restaura eventualmente con el aumento de la intensidad del ruido.
• La fase simétrica puede denominarse equilibrio térmico o fase T porque el estado fundamental es el estado supersimétrico de la distribución de probabilidad total en estado estacionario.
• En el límite determinista, la fase ordenada equivale a una dinámica caótica determinista con flujo no integrable.
• La fase ordenada no integrable puede denominarse caos o fase C porque le pertenece el caos determinista ordinario.
• La fase integrable ordenada puede denominarse caos inducido por ruido o fase N porque desaparece en el límite determinista. TS se rompe por la condensación de (anti)instantones (ver más abajo).
• En ruidos más fuertes, el límite NC agudo debe difuminarse en un cruce porque los (anti)instantones pierden su individualidad y es difícil para un observador externo distinguir un proceso de tunelización de otro.

Desmitificación de la criticidad autoorganizada

Muchos procesos repentinos (o instantáneos) en la naturaleza, como, por ejemplo, el ruido crepitante , exhiben estadísticas sin escala, a menudo llamadas ley de Zipf . Como explicación para este peculiar comportamiento dinámico espontáneo, se propuso creer que algunos sistemas dinámicos estocásticos tienen una tendencia a autosintonizarse en un punto crítico , el enfoque fenomenológico conocido como criticidad autoorganizada (SOC). ^[41] STS ofrece una perspectiva alternativa sobre este fenómeno. ^[42] Dentro de STS, SOC no es más que dinámica en la fase N. En concreto, la característica definitiva de la fase N es el peculiar mecanismo de rotura del TS. A diferencia de la fase C, donde el TS se rompe por la no integrabilidad del flujo, en la fase N , el TS se rompe espontáneamente debido a la condensación de las configuraciones de los instantones y los antiinstantones inducidos por el ruido, es decir, el tiempo. -instantáneos invertidos. Estos procesos pueden interpretarse de manera aproximada como eventos de efecto túnel inducidos por el ruido entre, por ejemplo, diferentes atractores. Cualitativamente, la dinámica en la fase N aparece ante un observador externo como una secuencia de saltos repentinos o "avalanchas" que, según el teorema de Goldstone, deben mostrar un comportamiento/estadística sin escala . Esta imagen de la dinámica en la fase N es exactamente el comportamiento dinámico para el que se diseñó el concepto de SOC. En contraste con la comprensión original de SOC, ^[43] su interpretación STS tiene poco que ver con la teoría tradicional de los fenómenos críticos donde el comportamiento libre de escala se asocia con puntos fijos inestables del flujo del grupo de renormalización .

Teoría de la dinamo cinemática

El fenómeno magnetohidrodinámico de la dinamo cinemática también puede identificarse como la descomposición espontánea del TS. ^[34] Este resultado se deriva de la equivalencia entre el operador de evolución del campo magnético y el SEO del SDE correspondiente que describe el flujo de la materia de fondo. La correspondencia STS-dinamo cinemática así emergida demuestra, en particular, que ambos tipos de espectros de ruptura TS son posibles, con valores propios de estado fundamental reales y complejos, porque se conocen dinamos cinemáticos con ambos tipos de modos propios de crecimiento más rápido. ^[44]

Dinámica transitoria

Es bien sabido que varios tipos de dinámicas transitorias, como las extinciones, exhiben un comportamiento espontáneo de largo alcance. En el caso de extinción a través de transiciones de fase, este comportamiento a menudo se atribuye a la proximidad de la criticidad. También se sabe que los apagadores que no exhiben una transición de fase exhiben características de largo alcance, siendo los ejemplos más conocidos el efecto Barkhausen y las diversas realizaciones del concepto de ruido crepitante . Es intuitivamente atractivo que las explicaciones teóricas para el comportamiento sin incrustaciones en los apagadores deben ser las mismas para todos los apagadores, independientemente de si produce o no una transición de fase; STS ofrece tal explicación. Es decir, la dinámica transitoria es esencialmente un instante compuesto y TS está intrínsecamente roto dentro de los instantes. Aunque la ruptura de TS dentro de instantes no se debe exactamente al fenómeno de la ruptura espontánea de una simetría por un estado fundamental global, esta ruptura efectiva de TS también debe resultar en un comportamiento libre de escala. Esta comprensión se ve respaldada por el hecho de que los instantones condensados ​​conducen a la aparición de logaritmos en las funciones de correlación. ^[45] Esta imagen de la dinámica transitoria explica la eficiencia computacional de las máquinas de memcomputación digital. ^[46]

Ver también

• Cuantización estocástica

Referencias

1. Parisi, G.; Surlas, N. (1979). "Campos magnéticos aleatorios, supersimetría y dimensiones negativas". Cartas de revisión física . 43 (11): 744–745. Código bibliográfico : 1979PhRvL..43..744P. doi :10.1103/PhysRevLett.43.744.
2. Parisi, G. (1982). "Teorías de campos supersimétricos y ecuaciones diferenciales estocásticas". Física Nuclear B. 206 (2): 321–332. Código bibliográfico : 1982NuPhB.206..321P. doi :10.1016/0550-3213(82)90538-7.
3. , E.; Reuters, M. (1990). "La mecánica clásica como teoría de campos topológicos". Letras de Física B. 240 (1–2): 137–144. Código Bib : 1990PhLB..240..137G. doi :10.1016/0370-2693(90)90422-3.
4. Niemi, AJ (1995). "Un límite inferior para el número de trayectorias clásicas periódicas". Letras de Física B. 355 (3–4): 501–506. Código Bib : 1995PhLB..355..501N. doi :10.1016/0370-2693(95)00780-o.
5. Niemi, AJ; Pasanen, P. (3 de octubre de 1996). "Modelo σ topológico, dinámica hamiltoniana y número de Lefschetz en el espacio de bucle". Letras de Física B. 386 (1): 123-130. arXiv : hep-th/9508067 . Código bibliográfico : 1996PhLB..386..123N. doi :10.1016/0370-2693(96)00941-0. S2CID  119102809.
6. Gozzi, E.; Reuters, M. (28 de diciembre de 1989). "Caracterización algebraica de la ergodicidad". Letras de Física B. 233 (3): 383–392. Código bibliográfico : 1989PhLB..233..383G. doi :10.1016/0370-2693(89)91327-0.
7. Tailleur, J.; Tănase-Nicola, S.; Kurchan, J. (1 de febrero de 2006). "Ecuación de Kramers y supersimetría". Revista de Física Estadística . 122 (4): 557–595. arXiv : cond-mat/0503545 . Código Bib : 2006JSP...122..557T. doi :10.1007/s10955-005-8059-x. ISSN  0022-4715. S2CID  119716999.
8. Kleinert, H.; Shabanov, SV (27 de octubre de 1997). "Supersimetría en procesos estocásticos con derivadas temporales de orden superior". Letras de Física A. 235 (2): 105-112. arXiv : quant-ph/9705042 . Código bibliográfico : 1997PhLA..235..105K. doi :10.1016/s0375-9601(97)00660-9. S2CID  119459346.
9. Ovchinnikov, IV (28 de marzo de 2016). "Introducción a la teoría supersimétrica del estocástico". Entropía . 18 (4): 108. arXiv : 1511.03393 . Código Bib : 2016Entrp..18..108O. doi : 10.3390/e18040108 . S2CID  2388285.
10. Aharony, A.; Imry, Y.; Ma, SK (1976). "Disminución de dimensionalidad en transiciones de fase con campos aleatorios". Cartas de revisión física . 37 (20): 1364-1367. Código bibliográfico : 1976PhRvL..37.1364A. doi : 10.1103/PhysRevLett.37.1364.
11. Cecotti, S; Girardello, L (1 de enero de 1983). "Aspectos estocásticos y parastocásticos de medidas funcionales supersimétricas: un nuevo enfoque no perturbativo de la supersimetría". Anales de Física . 145 (1): 81–99. Código bibliográfico : 1983AnPhy.145...81C. doi : 10.1016/0003-4916(83)90172-0 .
12. Zinn-Justin, J. (29 de septiembre de 1986). "Renormalización y cuantificación estocástica". Física Nuclear B. 275 (1): 135-159. Código bibliográfico : 1986NuPhB.275..135Z. doi :10.1016/0550-3213(86)90592-4.
13. Dijkgraaf, R.; Orlando, D.; Reffert, S. (11 de enero de 2010). "Relacionar teorías de campo mediante cuantificación estocástica". Física Nuclear B. 824 (3): 365–386. arXiv : 0903.0732 . Código Bib : 2010NuPhB.824..365D. doi :10.1016/j.nuclphysb.2009.07.018. S2CID  2033425.
14. Kurchan, J. (1 de julio de 1992). "Supersimetría en la dinámica del vidrio giratorio". Revista de Física I. 2 (7): 1333-1352. Código Bib : 1992JPhy1...2.1333K. doi :10.1051/jp1:1992214. ISSN  1155-4304. S2CID  124073976.
15. Mallick, K.; Moshé, M.; Orland, H. (13 de noviembre de 2007). "Supersimetría y relaciones laborales de desequilibrio". arXiv : 0711.2059 [cond-mat.stat-mech].
16. Gozzi, E. (1984). "Principio de Onsager de reversibilidad microscópica y supersimetría". Revisión física D. 30 (6): 1218-1227. Código bibliográfico : 1984PhRvD..30.1218G. doi :10.1103/physrevd.30.1218.
17. Bernstein, M. (1984). "Supersimetría y la ecuación biestable de Fokker-Planck". Cartas de revisión física . 52 (22): 1933-1935. Código bibliográfico : 1984PhRvL..52.1933B. doi :10.1103/physrevlett.52.1933.
18. Olemskoi, AI; Jomenko, A. V; Olemskoi, DA (1 de febrero de 2004). "Teoría de campo de la autoorganización". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 332 : 185–206. Código Bib : 2004PhyA..332..185O. doi :10.1016/j.physa.2003.10.035.
19. Mostafazadeh, A. (19 de julio de 2002). "Pseudohermiticidad versus PT-simetría III: equivalencia de pseudohermiticidad y presencia de simetrías antilineales". Revista de Física Matemática . 43 (8): 3944–3951. arXiv : math-ph/0203005 . Código Bib : 2002JMP....43.3944M. doi : 10.1063/1.1489072. ISSN  0022-2488. S2CID  7096321.
20. Reulle, D. (2002). "Funciones Zeta dinámicas y operadores de transferencia" (PDF) . Avisos de la AMS . 49 (8): 887.
21. Ruelle, D. (1 de diciembre de 1990). "Una extensión de la teoría de los determinantes de Fredholm". Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 72 (1): 175-193. doi :10.1007/bf02699133. ISSN  0073-8301. S2CID  121869096.
22. Birmingham, D; Blau, M.; Rakowski, M.; Thompson, G. (1991). "Teoría de campos topológicos". Informes de Física . 209 (4–5): 129–340. Código bibliográfico : 1991PhR...209..129B. doi :10.1016/0370-1573(91)90117-5.
23. Witten, E. (1 de septiembre de 1988). "Modelos topológicos sigma". Comunicaciones en Física Matemática . 118 (3): 411–449. Código bibliográfico : 1988CMaPh.118..411W. doi :10.1007/BF01466725. ISSN  0010-3616. S2CID  34042140.
24. Baulieu, L.; Cantante, IM (1988). "El modelo sigma topológico". Comunicaciones en Física Matemática . 125 (2): 227–237. doi :10.1007/BF01217907. S2CID  120150962.
25. Witten, E. (1 de septiembre de 1988). "Teoría topológica de campos cuánticos". Comunicaciones en Física Matemática . 117 (3): 353–386. Código bibliográfico : 1988CMaPh.117..353W. doi :10.1007/BF01223371. ISSN  0010-3616. S2CID  43230714.
26. Witten, E. (1982). "Supersimetría y teoría de Morse". Revista de Geometría Diferencial . 17 (4): 661–692. doi : 10.4310/jdg/1214437492 . ISSN  0022-040X.
27. Labastida, JMF (1 de diciembre de 1989). "Interpretación de la teoría Morse de las teorías topológicas de campos cuánticos". Comunicaciones en Física Matemática . 123 (4): 641–658. Código bibliográfico : 1989CMaPh.123..641L. CiteSeerX 10.1.1.509.3123 . doi :10.1007/BF01218589. ISSN  0010-3616. S2CID  53555484. 
28. Nicolai, H. (22 de diciembre de 1980). "Medidas de supersimetría y integración funcional". Física Nuclear B. 176 (2): 419–428. Código bibliográfico : 1980NuPhB.176..419N. doi :10.1016/0550-3213(80)90460-5. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5E89-E .
29. Nicolai, H. (28 de enero de 1980). "Sobre una nueva caracterización de las teorías escalares supersimétricas" (PDF) . Letras de Física B. 89 (3): 341–346. Código bibliográfico : 1980PhLB...89..341N. doi :10.1016/0370-2693(80)90138-0.
30. Klein, A .; Landau, LJ; Pérez, JF (1984). "Supersimetría y reducción dimensional de Parisi-Sourlas: una prueba rigurosa". Comunicaciones en Física Matemática . 94 (4): 459–482. Código bibliográfico : 1984CMaPh..94..459K. doi :10.1007/BF01403882. S2CID  120640917.
31. Baulieu, L.; Grossman, B. (1988). "Una interpretación topológica de la cuantificación estocástica". Letras de Física B. 212 (3): 351–356. Código bibliográfico : 1988PhLB..212..351B. doi :10.1016/0370-2693(88)91328-7.
32. Ovchinnikov, IV (15 de enero de 2013). "Teoría de campos topológicos de sistemas dinámicos. II". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 23 (1): 013108. arXiv : 1212.1989 . Código Bib :2013Caos..23a3108O. doi : 10.1063/1.4775755. ISSN  1054-1500. PMID  23556945. S2CID  34229910.
33. Graham, R. (1988). "Exponentes de Lyapunov y supersimetría de sistemas dinámicos estocásticos". EPL . 5 (2): 101–106. Código Bib : 1988EL......5..101G. doi :10.1209/0295-5075/5/2/002. ISSN  0295-5075. S2CID  250788554.
34. Ovchinnikov, IV; Ensslin, TA (2016). "Dínamo cinemática, ruptura de supersimetría y caos". Revisión física D. 93 (8): 085023. arXiv : 1512.01651 . Código Bib : 2016PhRvD..93h5023O. doi : 10.1103/PhysRevD.93.085023. S2CID  59367815.
35. Ancona, A.; Elworthy, KD; Emery, M.; Kunita, H. (2013). Geometría diferencial estocástica en Saint-Flour . Saltador. ISBN 9783642341700. OCLC  811000422.
36. Kunita, H. (1997). Flujos estocásticos y ecuaciones diferenciales estocásticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521599252. OCLC  36864963.
37. Slavík, A. (2013). "Ecuaciones diferenciales generalizadas: Diferenciabilidad de soluciones respecto a condiciones y parámetros iniciales". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 402 (1): 261–274. doi : 10.1016/j.jmaa.2013.01.027 .
38. Ovchinnikov, IV; Di Ventra, M. (2019). "El caos como fenómeno de ruptura de simetría". Letras de Física Moderna B. 33 (24): 1950287–1950474. arXiv : 1702.06561 . Código Bib : 2019MPLB...3350287O. doi :10.1142/S0217984919502877. S2CID  203039897.
39. Gilmore, R.; Lefranc, M. (2011). La topología del caos: Alicia en el país estirado y apretado . Wiley-VCH. ISBN 9783527410675. OCLC  967841676.
40. Chung, DJH; Everett, LL; Kane, GL; Rey, SF; Lykken, J.; Wang, Lian-Tao (1 de febrero de 2005). "El lagrangiano suave que rompe la supersimetría: teoría y aplicaciones". Informes de Física . 407 (1–3): 1–203. arXiv : hep-ph/0312378 . Código Bib : 2005PhR...407....1C. doi :10.1016/j.physrep.2004.08.032. S2CID  119344585.
41. Watkins, noroeste; Pruessner, G.; Chapman, Carolina del Sur; Crosby, NB; Jensen, HJ (1 de enero de 2016). "25 años de criticidad autoorganizada: conceptos y controversias". Reseñas de ciencia espacial . 198 (1–4): 3–44. arXiv : 1504.04991 . Código Bib : 2016SSRv..198....3W. doi :10.1007/s11214-015-0155-x. ISSN  0038-6308. S2CID  34782655.
42. Ovchinnikov, IV (1 de junio de 2016). "Teoría supersimétrica del estocástico: desmitificación de la criticidad autoorganizada". En Skiadas CH y Skiadas C. (ed.). Manual de aplicaciones de la teoría del caos . Chapman y Hall/CRC. págs. 271–305. doi :10.1201/b20232. ISBN 9781466590441.
43. Bak, P.; Tang, C.; Wiesenfeld, K. (1987). "Criticidad autoorganizada: una explicación del ruido 1/f". Cartas de revisión física . 59 (4): 381–384. Código bibliográfico : 1987PhRvL..59..381B. doi :10.1103/PhysRevLett.59.381. PMID  10035754. S2CID  7674321.
44. Bouya, yo; Dormy, E. (1 de marzo de 2013). "Revisando la dinamo de flujo ABC". Física de Fluidos . 25 (3): 037103–037103–10. arXiv : 1206.5186 . Código bibliográfico : 2013PhFl...25c7103B. doi : 10.1063/1.4795546. ISSN  1070-6631. S2CID  118722952.
45. Frenkel, E.; Losev, A.; Nekrasov, N. (2007). "Notas sobre instantones en la teoría de campos topológicos y más allá". Física Nuclear B: Suplementos de actas . 171 : 215-230. arXiv : hep-th/0702137 . Código Bib : 2007NuPhS.171..215F. doi :10.1016/j.nuclphysbps.2007.06.013. S2CID  14914819.
46. Di Ventra, M.; Traversa, Florida; Ovchinnikov, IV (2017). "Teoría de campos topológicos y computación con instantáneos". Annalen der Physik . 2017 (12): 1700123. arXiv : 1609.03230 . Código Bib : 2017AnP...52900123D. doi : 10.1002/andp.201700123. ISSN  1521-3889. S2CID  9437990.