Ecuación de Gross-Pitaevski

Descripción del estado fundamental de un sistema cuántico

La ecuación de Gross-Pitaevskii ( GPE , llamada así por Eugene P. Gross ^[1] y Lev Petrovich Pitaevskii ^[2] ) describe el estado fundamental de un sistema cuántico de bosones idénticos utilizando la aproximación de Hartree-Fock y el modelo de interacción pseudopotencial .

Un condensado de Bose-Einstein (BEC) es un gas de bosones que están en el mismo estado cuántico , y por lo tanto pueden describirse mediante la misma función de onda . Una partícula cuántica libre se describe mediante una ecuación de Schrödinger de una sola partícula . La interacción entre partículas en un gas real se tiene en cuenta mediante una ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos pertinente. En la aproximación de Hartree-Fock, la función de onda total del sistema de bosones se toma como un producto de funciones de una sola partícula : donde es la coordenada del -ésimo bosón. Si el espaciamiento promedio entre las partículas en un gas es mayor que la longitud de dispersión (es decir, en el llamado límite diluido), entonces uno puede aproximar el potencial de interacción real que aparece en esta ecuación mediante un pseudopotencial . A una temperatura suficientemente baja, donde la longitud de onda de De Broglie es mucho más larga que el rango de interacción bosón-bosón, ^[3] el proceso de dispersión se puede aproximar bien solo mediante el término de dispersión de ondas s (es decir, en el análisis de ondas parciales , también conocido como potencial de esfera dura ). En ese caso, el hamiltoniano del modelo pseudopotencial del sistema se puede escribir como donde es la masa del bosón, es el potencial externo, es la longitud de dispersión de la onda s bosón-bosón y es la función delta de Dirac . ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\psi (\mathbf {r} _{1})\psi (\mathbf {r} _{2})\dots \psi (\mathbf {r} _{N}),}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ell =0}$ $${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} _{i}^{2}}}+V(\mathbf {r} _{i})\right)+\sum _{i<j}{\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}\delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}),}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$

El método variacional muestra que si la función de onda de una sola partícula satisface la siguiente ecuación de Gross-Pitaevskii, la función de onda total minimiza el valor esperado del hamiltoniano del modelo bajo condiciones de normalización . Por lo tanto, dicha función de onda de una sola partícula describe el estado fundamental del sistema. $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}+V(\mathbf {r} )+{\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=\mu \psi (\mathbf {r} ),}$$ ${\textstyle \int dV\,|\Psi |^{2}=N.}$

La GPE es una ecuación modelo para la función de onda de una partícula en estado fundamental en un condensado de Bose-Einstein . Es similar en su forma a la ecuación de Ginzburg-Landau y a veces se la denomina " ecuación no lineal de Schrödinger ".

La no linealidad de la ecuación de Gross-Pitaevskii tiene su origen en la interacción entre las partículas: establecer la constante de acoplamiento de interacción en la ecuación de Gross-Pitaevskii en cero (ver la siguiente sección) recupera la ecuación de Schrödinger de partícula única que describe una partícula dentro de un potencial de atrapamiento.

Se dice que la ecuación de Gross-Pitaevskii está limitada al régimen de interacción débil. Sin embargo, también puede fallar en reproducir fenómenos interesantes incluso dentro de este régimen. ^{[4] [5]} Para estudiar el BEC más allá de ese límite de interacciones débiles, uno necesita implementar la corrección de Lee-Huang-Yang (LHY). ^{[6] [7]} Alternativamente, en sistemas 1D uno puede usar un enfoque exacto, a saber, el modelo de Lieb-Liniger , ^[8] o una ecuación extendida, por ejemplo, la ecuación de Gross-Pitaevskii de Lieb-Liniger ^[9] (a veces llamada ecuación de Schrödinger no lineal modificada ^{[10] o generalizada [11]} ).

Forma de ecuación

La ecuación tiene la forma de la ecuación de Schrödinger con la adición de un término de interacción. La constante de acoplamiento es proporcional a la longitud de dispersión de la onda s de dos bosones en interacción: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{s}}$

${\displaystyle g={\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}},}$

donde es la constante de Planck reducida y es la masa del bosón. La densidad de energía es ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}|\nabla \Psi (\mathbf {r} )|^{2}+V(\mathbf {r} )|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}+{\frac {1}{2}}g|\Psi (\mathbf {r} )|^{4},}$

donde es la función de onda, o parámetro de orden, y es el potencial externo (por ejemplo, una trampa armónica). La ecuación de Gross-Pitaevskii independiente del tiempo, para un número conservado de partículas, es ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mu \Psi (\mathbf {r} )=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ),}$

donde es el potencial químico , que se obtiene a partir de la condición de que el número de partículas está relacionado con la función de onda por ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle N=\int |\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}r.}$

A partir de la ecuación de Gross-Pitaevskii independiente del tiempo, podemos encontrar la estructura de un condensado de Bose-Einstein en varios potenciales externos (por ejemplo, una trampa armónica).

La ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo es

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t).}$

A partir de esta ecuación podemos observar la dinámica del condensado de Bose-Einstein. Se utiliza para encontrar los modos colectivos de un gas atrapado.

Soluciones

Dado que la ecuación de Gross-Pitaevskii es una ecuación diferencial parcial no lineal , es difícil encontrar soluciones exactas. Por lo tanto, es necesario aproximarlas mediante una gran variedad de técnicas.

Soluciones exactas

Partícula libre

La solución exacta más simple es la solución de partículas libres, con : ${\displaystyle V(\mathbf {r} )=0}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\frac {N}{V}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }.}$

Esta solución se denomina a menudo solución de Hartree. Aunque satisface la ecuación de Gross-Pitaevskii, deja un vacío en el espectro de energía debido a la interacción:

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=N\left[{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+g{\frac {N}{2V}}\right].}$

Según el teorema de Hugenholtz-Pines, ^[12] un gas de Bose en interacción no presenta una brecha de energía (en el caso de interacciones repulsivas).

Solitón

En un condensado de Bose-Einstein se puede formar un solitón unidimensional y, dependiendo de si la interacción es atractiva o repulsiva, se forma un solitón brillante o un solitón oscuro. Ambos solitones son perturbaciones locales en un condensado con una densidad de fondo uniforme.

Si el BEC es repulsivo, de modo que , entonces una posible solución de la ecuación de Gross-Pitaevskii es ${\displaystyle g>0}$

${\displaystyle \psi (x)=\psi _{0}\tanh \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\xi }}\right),}$

donde es el valor de la función de onda del condensado en , y es la longitud de coherencia (también conocida como longitud de curación , ^[3] ver más abajo). Esta solución representa el solitón oscuro, ya que hay un déficit de condensado en un espacio de densidad distinta de cero. El solitón oscuro también es un tipo de defecto topológico , ya que cambia entre valores positivos y negativos a través del origen, lo que corresponde a un cambio de fase. ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \xi =\hbar /{\sqrt {2mn_{0}g}}=1/{\sqrt {8\pi a_{s}n_{0}}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \pi }$

Porque la solución es ${\displaystyle g<0}$

${\displaystyle \psi (x,t)=\psi (0)e^{-i\mu t/\hbar }{\frac {1}{\cosh \left({\sqrt {2m|\mu |/\hbar ^{2}}}x\right)}},}$

donde el potencial químico es . Esta solución representa el solitón brillante, ya que hay una concentración de condensado en un espacio de densidad cero. ${\displaystyle \mu =g|\psi (0)|^{2}/2}$

Duración de la curación

La longitud de curación proporciona la distancia mínima sobre la cual el parámetro de orden puede curarse, lo que describe la rapidez con la que la función de onda del BEC puede ajustarse a los cambios en el potencial. Si la densidad del condensado aumenta de 0 a n dentro de una distancia ξ, la longitud de curación se puede calcular igualando la

Presión cuántica y energía de interacción: ^{[3] [13]}

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m\xi ^{2}}}=gn\implies \xi =(8\pi na_{s})^{-1/2}}$

La longitud de curación debe ser mucho menor que cualquier escala de longitud en la solución de la función de onda de una sola partícula. La longitud de curación también determina el tamaño de los vórtices que se pueden formar en un superfluido. Es la distancia en la que la función de onda se recupera desde cero en el centro del vórtice hasta el valor en la masa del superfluido (de ahí el nombre de longitud de "curación").

Soluciones variacionales

En sistemas en los que no es posible obtener una solución analítica exacta, se puede hacer una aproximación variacional. La idea básica es hacer una aproximación variacional para la función de onda con parámetros libres, introducirla en la energía libre y minimizar la energía con respecto a los parámetros libres.

Soluciones numéricas

Se han utilizado varios métodos numéricos, como el método Crank-Nicolson de pasos divididos ^[14] y el método espectral de Fourier ^{[15] , para resolver GPE. También existen diferentes programas Fortran y C para su solución para la} interacción de contacto ^{[16] [17]} y la interacción dipolar de largo alcance. ^[18]

Aproximación de Thomas-Fermi

Si el número de partículas en un gas es muy grande, la interacción interatómica se hace grande, de modo que el término de energía cinética puede despreciarse en la ecuación de Gross-Pitaevskii. Esto se denomina aproximación de Thomas-Fermi y conduce a la función de onda de una sola partícula.

${\displaystyle \psi (x,t)={\sqrt {\frac {\mu -V(x)}{Ng}}}.}$

Y el perfil de densidad es

${\displaystyle n(x,t)={\frac {\mu -V(x)}{g}}.}$

En una trampa armónica (donde la energía potencial es cuadrática con respecto al desplazamiento desde el centro), esto da un perfil de densidad comúnmente conocido como perfil de densidad de "parábola invertida". ^[3]

Aproximación de Bogoliubov

El tratamiento de Bogoliubov de la ecuación de Gross-Pitaevskii es un método que permite hallar las excitaciones elementales de un condensado de Bose-Einstein. Para ello, la función de onda del condensado se aproxima mediante la suma de la función de onda de equilibrio y una pequeña perturbación : ${\displaystyle \psi _{0}={\sqrt {n}}e^{-i\mu t}}$ ${\displaystyle \delta \psi }$

${\displaystyle \psi =\psi _{0}+\delta \psi .}$

Luego, esta forma se inserta en la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo y su conjugado complejo, y se linealiza a primer orden en : ${\displaystyle \delta \psi }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \delta \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi +V\delta \psi +g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi +\psi _{0}^{2}\delta \psi ^{*}),}$

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial \delta \psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi ^{*}+V\delta \psi ^{*}+g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi ^{*}+(\psi _{0}^{*})^{2}\delta \psi ).}$

Suponiendo que

${\displaystyle \delta \psi =e^{-i\mu t}{\big (}u({\boldsymbol {r}})e^{-i\omega t}-v^{*}({\boldsymbol {r}})e^{i\omega t}{\big )},}$

Se encuentran las siguientes ecuaciones diferenciales acopladas para y tomando las partes como componentes independientes: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle e^{\pm i\omega t}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu -\hbar \omega \right)u-gnv=0,}$

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu +\hbar \omega \right)v-gnu=0.}$

Para un sistema homogéneo, es decir para , se puede obtener de la ecuación de orden cero. Luego suponemos que y son ondas planas de momento , lo que conduce al espectro de energía ${\displaystyle V({\boldsymbol {r}})={\text{const}}}$ ${\displaystyle V=\hbar \mu -gn}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle \hbar \omega =\epsilon _{\boldsymbol {q}}={\sqrt {{\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}\left({\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}+2gn\right)}}.}$

Para valores grandes , la relación de dispersión es cuadrática en , como cabría esperar para excitaciones de partículas individuales no interactuantes habituales. Para valores pequeños , la relación de dispersión es lineal: ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {q}}=s\hbar q,}$

siendo la velocidad del sonido en el condensado, también conocido como segundo sonido . El hecho que demuestra, según el criterio de Landau, que el condensado es un superfluido, es decir, si un objeto se mueve en el condensado a una velocidad inferior a s , no será energéticamente favorable para producir excitaciones, y el objeto se moverá sin disipación, lo cual es una característica de un superfluido . Se han realizado experimentos para demostrar esta superfluidez del condensado, utilizando un láser desafinado al azul muy enfocado. ^[19] La misma relación de dispersión se encuentra cuando el condensado se describe desde un enfoque microscópico utilizando el formalismo de segunda cuantificación . ${\displaystyle s={\sqrt {ng/m}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {q}}/(\hbar q)>s}$

Superfluido en potencial helicoidal rotatorio

Trampa dipolar de vórtice con carga topológica cargada por un conjunto ultrafrío ${\displaystyle \ell =2}$

El pozo de potencial óptico podría estar formado por dos vórtices ópticos que se propagan en contraposición con longitudes de onda , ancho efectivo y carga topológica : ${\displaystyle V_{\text{twist}}(\mathbf {r} ,t)=V_{\text{twist}}(z,r,\theta ,t)}$ ${\displaystyle \lambda _{\pm }=2\pi c/\omega _{\pm }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle E_{\pm }(\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\exp(-i\omega _{\pm }t\pm ik_{\pm }z+i\ell \theta ),}$

donde . En el sistema de coordenadas cilíndricas, el pozo de potencial tiene una geometría de doble hélice notable : ^[20] ${\displaystyle \delta \omega =(\omega _{+}-\omega _{-})}$ ${\displaystyle (z,r,\theta )}$

${\displaystyle V_{\text{twist}}(\mathbf {r} ,t)\sim V_{0}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{D^{2}}}\right)r^{2|\ell |}\left(1+\cos[\delta \omega t+(k_{+}+k_{-})z+2\ell \theta ]\right).}$

En un marco de referencia que gira con velocidad angular , la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo con potencial helicoidal es ^[21] ${\displaystyle \Omega =\delta \omega /2\ell }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\text{twist}}(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}-\Omega {\hat {L}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t),}$

donde es el operador de momento angular. La solución para la función de onda condensada es una superposición de dos vórtices de materia-onda conjugados en fase: ${\displaystyle {\hat {L}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\times {\big (}\exp(-i\omega _{+}t+ik_{+}z+i\ell \theta )+\exp(-i\omega _{-}t-ik_{-}z-i\ell \theta ){\big )}.}$

El momento del condensado observable macroscópicamente es

${\displaystyle \langle \Psi |{\hat {P}}|\Psi \rangle =N_{\text{at}}\hbar (k_{+}-k_{-}),}$

donde es el número de átomos en el condensado. Esto significa que el conjunto atómico se mueve coherentemente a lo largo del eje con la velocidad de grupo cuya dirección está definida por los signos de la carga topológica y la velocidad angular : ^[22] ${\displaystyle N_{\text{at}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle V_{z}={\frac {2\Omega \ell }{k_{+}+k_{-}}}.}$

El momento angular del condensado atrapado helicoidalmente es exactamente cero: ^[21]

${\displaystyle \langle \Psi |{\hat {L}}|\Psi \rangle =N_{\text{at}}[\ell \hbar -\ell \hbar ]=0.}$

El modelado numérico del conjunto atómico frío en potencial espiral ha demostrado el confinamiento de las trayectorias atómicas individuales dentro del pozo de potencial helicoidal. ^[23]

Derivaciones y generalizaciones

La ecuación de Gross-Pitaevskii también se puede derivar como el límite semiclásico de la teoría de muchos cuerpos de bosones idénticos que interactúan con ondas s representados en términos de estados coherentes. ^[24] El límite semiclásico se alcanza para una gran cantidad de cuantos, expresando la teoría de campo ya sea en la representación P positiva ( representación P de Glauber-Sudarshan generalizada ) o en la representación de Wigner .

Los efectos de temperatura finita se pueden tratar dentro de una ecuación de Gross-Pitaevskii generalizada incluyendo la dispersión entre átomos condensados ​​y no condensados, ^{[25] [26] [27] [28] [29]} a partir de la cual se puede recuperar la ecuación de Gross-Pitaevskii en el límite de baja temperatura. ^{[30] [31]}

Referencias

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Lectura adicional

• Pethick, CJ; Smith, H. (2002). Condensación de Bose-Einstein en gases diluidos . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66580-3.
• Pitaevskii, LP; Stringari, S. (2003). Condensación de Bose-Einstein . Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-850719-2.

Enlaces externos

• Trotter-Suzuki-MPI Trotter-Suzuki-MPI es una biblioteca para simulaciones a gran escala basadas en la descomposición de Trotter-Suzuki que también puede abordar la ecuación de Gross-Pitaevskii.
• XMDS XMDS es una biblioteca de ecuaciones diferenciales parciales espectrales que se puede utilizar para resolver la ecuación de Gross-Pitaevskii.