Análisis de ondas parciales

Técnica de mecánica cuántica para resolver problemas de dispersión

El análisis de ondas parciales , en el contexto de la mecánica cuántica , se refiere a una técnica para resolver problemas de dispersión mediante la descomposición de cada onda en sus componentes de momento angular constituyentes y la resolución utilizando condiciones de contorno .

Teoría preliminar de la dispersión

La siguiente descripción sigue la forma canónica de introducir la teoría elemental de dispersión. Un haz de partículas estable se dispersa a partir de un potencial simétrico esférico , que es de corto alcance, de modo que para grandes distancias , las partículas se comportan como partículas libres. En principio, cualquier partícula debería describirse mediante un paquete de ondas , pero en su lugar describimos la dispersión de una onda plana que viaja a lo largo del eje z  , ya que los paquetes de ondas se pueden expandir en términos de ondas planas, y esto es matemáticamente más simple. Debido a que el haz se enciende durante tiempos largos en comparación con el tiempo de interacción de las partículas con el potencial de dispersión, se supone un estado estable. Esto significa que la ecuación de Schrödinger estacionaria para la función de onda que representa el haz de partículas debe resolverse: ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \exp(ikz)}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right]\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} ).}$

Realizamos el siguiente planteamiento :

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\Psi _{0}(\mathbf {r} )+\Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} ),}$

donde es la onda plana entrante, y es una parte dispersa que perturba la función de onda original. ${\displaystyle \Psi _{0}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikz)}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$

La forma asintótica de la ecuación es de interés, ya que las observaciones cerca del centro de dispersión (por ejemplo, un núcleo atómico) no son factibles en la mayoría de los casos y la detección de partículas se produce lejos del origen. A grandes distancias, las partículas deberían comportarse como partículas libres y, por lo tanto, deberían ser una solución a la ecuación libre de Schrödinger. Esto sugiere que debería tener una forma similar a una onda plana, omitiendo cualquier parte físicamente sin significado. Por lo tanto, investigamos la expansión de la onda plana : ${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).}$

La función esférica de Bessel se comporta asintóticamente como ${\displaystyle j_{\ell }(kr)}$

${\displaystyle j_{\ell }(kr)\to {\frac {1}{2ikr}}{\big (}\exp[i(kr-\ell \pi /2)]-\exp[-i(kr-\ell \pi /2)]{\big )}.}$

Esto corresponde a una onda esférica entrante y saliente. Para la función de onda dispersa, solo se esperan partes salientes. Por lo tanto, esperamos a grandes distancias y establecemos la forma asintótica de la onda dispersa en ${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikr)/r}$

${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )\to f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}},}$

donde es la denominada amplitud de dispersión , que en este caso solo depende del ángulo de elevación y de la energía. ${\displaystyle f(\theta ,k)}$ ${\displaystyle \theta }$

En conclusión, esto da la siguiente expresión asintótica para toda la función de onda:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\to \Psi ^{(+)}(\mathbf {r} )=\exp(ikz)+f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}}.}$

Expansión de onda parcial

En el caso de un potencial simétrico esférico , la función de onda de dispersión puede expandirse en armónicos esféricos , que se reducen a polinomios de Legendre debido a la simetría azimutal (sin dependencia de ): ${\displaystyle V(\mathbf {r} )=V(r)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {u_{\ell }(r)}{r}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

En el problema de dispersión estándar, se supone que el haz entrante toma la forma de una onda plana de número de onda k , que puede descomponerse en ondas parciales utilizando la expansión de onda plana en términos de funciones esféricas de Bessel y polinomios de Legendre :

${\displaystyle \psi _{\text{in}}(\mathbf {r} )=e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Aquí hemos asumido un sistema de coordenadas esférico en el que el eje z  está alineado con la dirección del haz. La parte radial de esta función de onda consiste únicamente en la función esférica de Bessel, que puede reescribirse como una suma de dos funciones esféricas de Hankel :

${\displaystyle j_{\ell }(kr)={\frac {1}{2}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+h_{\ell }^{(2)}(kr)\right).}$

Esto tiene importancia física: h _ℓ ⁽²⁾ asintóticamente (es decir, para r grande ) se comporta como i ^{−( ℓ +1)} e ^ikr /( kr ) y, por lo tanto, es una onda saliente, mientras que h _ℓ ⁽¹⁾ asintóticamente se comporta como i ^{ℓ +1} e ^−ikr /( kr ) y, por lo tanto, es una onda entrante. La onda entrante no se ve afectada por la dispersión, mientras que la onda saliente se modifica por un factor conocido como el elemento de matriz S de onda parcial S _ℓ :

${\displaystyle {\frac {u_{\ell }(r)}{r}}{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {i^{\ell }k}{\sqrt {2\pi }}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)\right),}$

donde u _ℓ ( r )/ r es el componente radial de la función de onda real. El desplazamiento de fase de dispersión δ _ℓ se define como la mitad de la fase de S _ℓ :

${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}.}$

Si no se pierde flujo, entonces | S _ℓ | = 1 , y por lo tanto el cambio de fase es real. Este suele ser el caso, a menos que el potencial tenga un componente de absorción imaginario, que se utiliza a menudo en modelos fenomenológicos para simular la pérdida debido a otros canales de reacción.

Por lo tanto, la función de onda asintótica completa es

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)}{2}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Restando ψ _se obtiene la función de onda saliente asintótica:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {S_{\ell }-1}{2}}h_{\ell }^{(2)}(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Haciendo uso del comportamiento asintótico de las funciones esféricas de Hankel, se obtiene

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Dado que la amplitud de dispersión f ( θ , k ) se define a partir de

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}f(\theta ,k),}$

resulta que

${\displaystyle f(\theta ,k)=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}P_{\ell }(\cos \theta ),}$

y por lo tanto la sección transversal diferencial está dada por

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta ,k)|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )\right|^{2}.}$

Esto funciona para cualquier interacción de corto alcance. Para interacciones de largo alcance (como la interacción de Coulomb ), la suma sobre ℓ puede no converger. El enfoque general para tales problemas consiste en tratar la interacción de Coulomb por separado de la interacción de corto alcance, ya que el problema de Coulomb se puede resolver exactamente en términos de funciones de Coulomb , que asumen el papel de las funciones de Hankel en este problema.

Referencias

• Griffiths, JD (1995). Introducción a la mecánica cuántica . Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.

Enlaces externos

• Análisis de ondas parciales para principiantes
• Análisis de onda parcial de dispersión