Expansión de onda plana

Expresar una onda plana como una combinación de ondas esféricas

En física , la expansión de onda plana expresa una onda plana como una combinación lineal de ondas esféricas : donde $${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }({\hat {\mathbf {k} }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}),}$$

• i es la unidad imaginaria ,
• k es un vector de onda de longitud k ,
• r es un vector de posición de longitud r ,
• j _ℓ son funciones esféricas de Bessel ,
• P _ℓ son polinomios de Legendre , y
• El sombrero ^ denota el vector unitario .

En el caso especial donde k está alineado con el  eje z , donde θ es el ángulo polar esférico de r . $${\displaystyle e^{ikr\cos \theta }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ),}$$

Expansión en armónicos esféricos

Con el teorema de adición armónica esférica la ecuación se puede reescribir como donde $${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }j_{\ell }(kr)Y_{\ell }^{m}{}({\hat {\mathbf {k} }})Y_{\ell }^{m*}({\hat {\mathbf {r} }}),}$$

• Y _ℓ ^m son los armónicos esféricos y
• El superíndice * denota conjugación compleja .

Nótese que la conjugación compleja se puede intercambiar entre los dos armónicos esféricos debido a la simetría.

Aplicaciones

La expansión de onda plana se aplica en

• Acústica
• Óptica
• Matriz S
• Mecánica cuántica

Véase también

• Ecuación de Helmholtz
• Método de expansión de ondas planas en electromagnetismo computacional
• Expansión de Weyl

Referencias

• Biblioteca digital de funciones matemáticas, ecuación 10.60.7, Instituto Nacional de Estándares y Tecnología
• Rami Mehrem (2009), Expansión de onda plana, integrales infinitas e identidades que involucran funciones esféricas de Bessel , arXiv : 0909.0494 , Bibcode :2009arXiv0909.0494M