Método de expansión de ondas planas

Técnica en electromagnetismo computacional

El método de expansión de onda plana (PWE) se refiere a una técnica computacional en electromagnetismo para resolver las ecuaciones de Maxwell mediante la formulación de un problema de valor propio a partir de la ecuación. Este método es popular entre la comunidad de cristales fotónicos como un método para resolver la estructura de banda (relación de dispersión) de geometrías de cristales fotónicos específicos. PWE es rastreable a las formulaciones analíticas y es útil para calcular soluciones modales de las ecuaciones de Maxwell sobre una geometría no homogénea o periódica. ^[1] Está específicamente ajustado para resolver problemas en formas armónicas en el tiempo, con medios no dispersivos (una reformulación del método llamado Dispersión inversa permite índices de refracción dependientes de la frecuencia ^[2] ).

Principios

^{[ dudoso – discutir ]}

Las ondas planas son soluciones de la ecuación homogénea de Helmholtz y forman una base para representar campos en los medios periódicos. La PWE aplicada a los cristales fotónicos como se describe se obtiene principalmente del tutorial del Dr. Danner. ^[3]

Los campos eléctricos o magnéticos se expanden para cada componente de campo en términos de los componentes de la serie de Fourier a lo largo del vector reticular recíproco. De manera similar, la permitividad dieléctrica (que es periódica a lo largo del vector reticular recíproco para los cristales fotónicos) también se expande a través de los componentes de la serie de Fourier.

$${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon _{r}}}=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }K_{m}^{\epsilon _{r}}e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$ $${\displaystyle E(\omega ,\mathbf {r} )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }K_{n}^{E_{y}}e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

donde los coeficientes de la serie de Fourier son los números K subíndices m, n respectivamente, y el vector reticular recíproco dado por . En el modelado real, el rango de componentes considerados se reducirá a solo en lugar de la onda ideal infinita. ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \pm N_{\max }}$

Utilizando estas expansiones en cualquiera de las relaciones curl-curl, y simplificando bajo los supuestos de una región libre de fuentes, lineal y no dispersiva, obtenemos las relaciones de valores propios que se pueden resolver. $${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon (\mathbf {r} )}}\nabla \times \nabla \times E(\mathbf {r} ,\omega )=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}E(\mathbf {r} ,\omega )}$$

Ejemplo para caso 1D

Estructura de bandas de un cristal fotónico 1D, núcleo de aire DBR, calculada utilizando la técnica de expansión de ondas planas con 101 ondas planas, para d/a=0,8 y contraste dieléctrico de 12,250.

Para una onda eléctrica polarizada en y que se propaga en z, que incide en un DBR 1D periódico solo en la dirección z y homogéneo a lo largo de x,y, con un período reticular de a. Entonces tenemos las siguientes relaciones simplificadas: $${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon _{r}}}=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }K_{m}^{\epsilon _{r}}e^{-i{\frac {2\pi m}{a}}z}}$$ $${\displaystyle E(\omega ,\mathbf {r} )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }K_{n}^{E_{y}}e^{-i{\frac {2\pi n}{a}}z}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

La ecuación de valor propio constitutivo que finalmente tenemos que resolver se convierte en, $${\displaystyle \sum _{n}{\left({\frac {2\pi n}{a}}+k_{z}\right)\left({\frac {2\pi m}{a}}+k_{z}\right)K_{m-n}^{\epsilon _{r}}K_{n}^{E_{y}}}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}K_{m}^{E_{y}}}$$

Esto se puede resolver construyendo una matriz para los términos del lado izquierdo y hallando su valor propio y sus vectores. Los valores propios corresponden a las soluciones modales, mientras que los campos magnéticos o eléctricos correspondientes se pueden representar gráficamente utilizando las expansiones de Fourier. Los coeficientes de los armónicos de campo se obtienen a partir de los vectores propios específicos.

La estructura de banda resultante obtenida a través de los modos propios de esta estructura se muestra a la derecha.

Código de ejemplo

Podemos utilizar el siguiente código en MATLAB o GNU Octave para calcular la misma estructura de banda,

% % resuelve la estructura de banda fotónica DBR para un DBR 1D simple. espaciamiento de aire d, periodicidad a, es decir, a > d, % asumimos una pila infinita de capas de aire eps_r|alternas 1D % onda plana polarizada en y, dirigida en z incidente en la pila % periódica en la dirección z; %% parámetros d = 8 ; % entrehierro a = 10 ; % periodicidad total d_over_a = d / a ; eps_r = 12.2500 ; % constante dieléctrica, como GaAs,             Los coeficientes FS % max para representar el campo E y Eps(r) son Mmax = 50 ;  % La matriz Q no es simétrica en este caso, Qij != Qji % Qmn = (2*pi*n + Kz)^2*Km-n % Kn = delta_n / eps_r + (1 - 1/eps_r) (d/a) sinc(pi.nd/a) % aquí n va de -Mmax a + Mmax,frecuencias = []; para Kz = - pi / a : pi / ( 10 * a ): + pi / a Q = ceros ( 2 * Mmax + 1 ); para x = 1 : 2 * Mmax + 1 para y = 1 : 2 * Mmax + 1 X = x - Mmax ; Y = y - Mmax ; kn = ( 1 - 1 / eps_r ) * d_over_a .* sinc (( X - Y ) .* d_over_a ) + (( X - Y ) == 0 ) * 1 / eps_r ; Q ( x , y ) = ( 2 * pi * ( Y - 1 ) / a + Kz ) .^ 2 * kn ; % -Mmax<=(Y-1)<=Mmax fin fin fprintf ( 'Kz = %g\n' , Kz ) omega_c = eig ( Q ); omega_c = sort ( sqrt ( omega_c )); % paso importante freqs = [ freqs ; omega_c . ' ]; fin                                                                                                             cerrar figura mantener en idx = 1 ;   para idx = 1 : longitud ( - pi / a : pi / ( 10 * a ): + pi / a ) gráfico ( - pi / a : pi / ( 10 * a ): + pi / a , frecuencias (:, idx ), '.-' ) fin                             retener xlabel ( 'Kz' ) ylabel ( 'omega/c' ) título ( sprintf ( 'PBG de 1D DBR con d / a=%g, Epsr=%g' , d / a , eps_r ))     

Ventajas

Las expansiones PWE son soluciones rigurosas. PWE es extremadamente adecuada para el problema de solución modal. Los problemas de gran tamaño se pueden resolver utilizando técnicas iterativas como el método del gradiente conjugado . Para los problemas de valores propios tanto generalizados como normales, solo se requieren unos pocos gráficos de índice de banda en los diagramas de estructura de banda, que generalmente se encuentran en los bordes de la zona de Brillouin. Esto corresponde a las soluciones de modos propios que utilizan técnicas iterativas, en contraposición a la diagonalización de toda la matriz.

El PWEM es muy eficiente para calcular modos en estructuras dieléctricas periódicas. Al ser un método de espacio de Fourier, sufre del fenómeno de Gibbs y de una convergencia lenta en algunas configuraciones cuando no se utiliza la factorización rápida de Fourier. Es el método de elección para calcular la estructura de bandas de los cristales fotónicos. No es fácil de entender al principio, pero es fácil de implementar.

Desventajas

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A veces aparecen modos espurios. Problemas grandes escalados como O ( n ³ ), con el número de ondas planas ( n ) utilizadas en el problema. Esto requiere mucho tiempo y es complejo en cuanto a requisitos de memoria.

Las alternativas incluyen el método espectral de orden N y métodos que utilizan el dominio del tiempo de diferencias finitas (FDTD), que son más simples y modelan transitorios.

Si se implementa correctamente, se evitan las soluciones espurias. Es menos eficiente cuando el contraste del índice es alto o cuando se incorporan metales. No se puede utilizar para el análisis de dispersión.

Al ser un método de espacio de Fourier, el fenómeno de Gibbs afecta la precisión del método, lo que resulta especialmente problemático en el caso de dispositivos con un alto contraste dieléctrico.

Véase también

• Cristal fotónico
• Electromagnetismo computacional
• Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo
• Método de elementos finitos
• Ecuaciones de Maxwell

Referencias

1. Andrianov, Igor V.; Danishevskyy, Vladyslav V.; Topol, Heiko; Rogerson, Graham A. (25 de noviembre de 2016). "Propagación de ondas de corte de Floquet-Bloch en compuestos viscoelásticos: análisis y comparación de modelos de interfaz/interfase para unión imperfecta". Acta Mechanica . 228 : 1177-1196. doi :10.1007/s00707-016-1765-4.
2. Rybin, Mikhail; Limonov, Mikhail (2016). "Método de dispersión inversa para el cálculo del diagrama de banda fotónica complejo y la simetría PT". Physical Review B . 93 (16): 165132. arXiv : 1707.02870 . doi :10.1103/PhysRevB.93.165132.
3. Danner, Aaron J. (31 de enero de 2011). "Introducción al método de expansión de ondas planas para calcular diagramas de bandas de cristales fotónicos". Aaron Danner - NUS . Archivado desde el original el 15 de junio de 2022 . Consultado el 29 de septiembre de 2022 .