Función de onda de Coulomb

Función de onda de Coulomb irregular G representada gráficamente de 0 a 20 con interacciones repulsivas y atractivas en Mathematica 13.1

Se agregó una imagen de un gráfico complejo de la función de onda regular de Coulomb

En matemáticas , una función de onda de Coulomb es una solución de la ecuación de onda de Coulomb , llamada así en honor a Charles-Augustin de Coulomb . Se utilizan para describir el comportamiento de partículas cargadas en un potencial de Coulomb y pueden escribirse en términos de funciones hipergeométricas confluentes o funciones de Whittaker de argumento imaginario.

Ecuación de onda de Coulomb

La ecuación de onda de Coulomb para una única partícula cargada de masa es la ecuación de Schrödinger con potencial de Coulomb ^[1] ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})\,,}$

donde es el producto de las cargas de la partícula y de la fuente de campo (en unidades de la carga elemental , para el átomo de hidrógeno), es la constante de estructura fina y es la energía de la partícula. La solución, que es la función de onda de Coulomb, se puede encontrar resolviendo esta ecuación en coordenadas parabólicas. ${\displaystyle Z=Z_{1}Z_{2}}$ ${\displaystyle Z=-1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \hbar ^{2}k^{2}/(2m)}$

${\displaystyle \xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.}$

Dependiendo de las condiciones de contorno elegidas, la solución tiene diferentes formas. Dos de las soluciones son ^{[2] [3]}

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,}$

donde es la función hipergeométrica confluente y es la función gamma . Las dos condiciones de contorno utilizadas aquí son ${\displaystyle M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b;z)}$ ${\displaystyle \eta =Zmc\alpha /(\hbar k)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,}$

que corresponden a estados asintóticos de ondas planas orientadas en - antes o después de su aproximación a la fuente de campo en el origen, respectivamente. Las funciones están relacionadas entre sí por la fórmula ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.}$

Expansión parcial de onda

La función de onda se puede expandir en ondas parciales (es decir, con respecto a la base angular) para obtener funciones radiales independientes del ángulo . Aquí . ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})}$ ${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle \rho =kr}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.}$

Un solo término de la expansión puede aislarse mediante el producto escalar con un armónico esférico específico.

${\displaystyle \psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.}$

La ecuación para una onda parcial simple se puede obtener reescribiendo el laplaciano en la ecuación de onda de Coulomb en coordenadas esféricas y proyectando la ecuación en un armónico esférico específico. ${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.}$

Las soluciones también se denominan funciones de onda (parciales) de Coulomb o funciones esféricas de Coulomb. Al poner , la ecuación de onda de Coulomb se transforma en la ecuación de Whittaker , por lo que las funciones de onda de Coulomb se pueden expresar en términos de funciones de Whittaker con argumentos imaginarios y . Estas últimas se pueden expresar en términos de las funciones hipergeométricas confluentes y . Para , se definen las soluciones especiales ^[4] ${\displaystyle z=-2i\rho }$ ${\displaystyle M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$ ${\displaystyle W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,}$

dónde

${\displaystyle \sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )}$

se denomina desplazamiento de fase de Coulomb. También se definen las funciones reales

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,}$

Función de onda de Coulomb regular F representada gráficamente de 0 a 20 con interacciones repulsivas y atractivas en Mathematica 13.1

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.}$

En particular, uno tiene

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.}$

El comportamiento asintótico de las funciones esféricas de Coulomb , , y en general es ${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,}$

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,}$

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,}$

dónde

${\displaystyle \theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.}$

Las soluciones corresponden a ondas esféricas entrantes y salientes. Las soluciones y son reales y se denominan funciones de onda de Coulomb regulares e irregulares. En particular, se tiene la siguiente expansión de onda parcial para la función de onda ^[5] ${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,}$

Propiedades de la función de Coulomb

Las partes radiales para un momento angular dado son ortonormales. Cuando se normalizan en la escala de número de onda ( escala k ), las funciones de onda radiales del continuo satisfacen ^{[6] [7]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')}$

Otras normalizaciones comunes de las funciones de onda continuas se encuentran en la escala de número de onda reducida ( escala -), ${\displaystyle k/2\pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,}$

y en la escala energética

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.}$

Las funciones de onda radiales definidas en la sección anterior están normalizadas a

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')}$

como consecuencia de la normalización

${\displaystyle \int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.}$

Las funciones de onda de Coulomb continuas (o de dispersión) también son ortogonales a todos los estados ligados de Coulomb ^[8]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0}$

debido a que son estados propios del mismo operador hermítico (el hamiltoniano ) con diferentes valores propios.

Lectura adicional

• Bateman, Harry (1953), Funciones trascendentales superiores (PDF) , vol. 1, McGraw-Hill, archivado desde el original (PDF) el 2011-08-11 , consultado el 2011-07-30.
• Jaeger, JC; Hulme, HR (1935), "La conversión interna de rayos γ con la producción de electrones y positrones", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas , 148 (865): 708–728, Bibcode :1935RSPSA.148..708J, doi :10.1098/rspa.1935.0043, ISSN  0080-4630, JSTOR  96298
• Slater, Lucy Joan (1960), Funciones hipergeométricas confluentes , Cambridge University Press , MR  0107026.

Referencias

1. Hill, Robert N. (2006), Drake, Gordon (ed.), Manual de física atómica, molecular y óptica, Springer Nueva York, págs. 153-155, doi :10.1007/978-0-387-26308-3, ISBN 978-0-387-20802-2
2. Landau, LD; Lifshitz, EM (1977), Curso de física teórica III: Mecánica cuántica, teoría no relativista (3.ª ed.), Pergamon Press, pág. 569
3. Messiah, Albert (1961), Mecánica cuántica , North Holland Publ. Co., pág. 485
4. Gaspard, David (2018), "Fórmulas de conexión entre funciones de onda de Coulomb", J. Math. Phys. , 59 (11): 112104, arXiv : 1804.10976 , doi :10.1063/1.5054368
5. Messiah, Albert (1961), Mecánica cuántica , North Holland Publ. Co., pág. 426
6. Formánek, Jiří (2004), Introducción a la teoría cuántica I (en checo) (2ª ed.), Praga: Academia, págs. 128-130
7. Landau, LD; Lifshitz, EM (1977), Curso de física teórica III: Mecánica cuántica, teoría no relativista (3.ª ed.), Pergamon Press, pág. 121
8. Landau, LD; Lifshitz, EM (1977), Curso de física teórica III: Mecánica cuántica, teoría no relativista (3.ª ed.), Pergamon Press, págs. 668-669