En matemáticas , específicamente en topología geométrica , la teoría quirúrgica es un conjunto de técnicas utilizadas para producir una variedad de dimensión finita a partir de otra de forma "controlada", introducida por John Milnor (1961). Milnor llamó a esta técnica cirugía , mientras que Andrew Wallace la llamó modificación esférica . [1] La "cirugía" en una variedad diferenciable M de dimensión , podría describirse como la eliminación de una esfera incrustada de dimensión p de M . [2] Desarrolladas originalmente para variedades diferenciables (o suaves ), las técnicas quirúrgicas también se aplican a variedades topológicas y lineales por partes (PL-) .
La cirugía se refiere a cortar partes del colector y reemplazarlas con una parte de otro colector, haciendo coincidir a lo largo del corte o límite. Esto está estrechamente relacionado con las descomposiciones del cuerpo del mango , pero no es idéntico a ellas .
Más técnicamente, la idea es comenzar con una variedad M bien entendida y realizarle una cirugía para producir una variedad M ′ que tenga alguna propiedad deseada, de tal manera que los efectos sobre la homología , los grupos de homotopía u otros invariantes de la Se conocen múltiples. Un argumento relativamente sencillo utilizando la teoría de Morse muestra que se puede obtener una variedad a partir de otra mediante una secuencia de modificaciones esféricas si y sólo si esas dos pertenecen a la misma clase de cobordismo . [1]
La clasificación de esferas exóticas realizada por Michel Kervaire y Milnor (1963) condujo al surgimiento de la teoría de la cirugía como una herramienta importante en la topología de alta dimensión.
Si X , Y son variedades con límite, entonces el límite de la variedad producto es
La observación básica que justifica la cirugía es que el espacio puede entenderse como el límite de o como el límite de . En símbolos,
¿Dónde está el disco q -dimensional, es decir, el conjunto de puntos que están a una distancia uno o menos de un punto fijo dado (el centro del disco); por ejemplo, entonces, es homeomorfo al intervalo unitario, mientras que es un círculo junto con los puntos de su interior.
Ahora, dada una variedad M de dimensión y una incrustación , defina otra variedad n -dimensional como
Dado que y a partir de la ecuación de nuestra observación básica anterior, el pegado está justificado entonces
Se dice que la variedad M ′ se produce mediante una cirugía de corte y pegado , o mediante una p - cirugía si se quiere especificar el número p . Estrictamente hablando, M ′ es una variedad con esquinas, pero existe una forma canónica de suavizarlas. Observe que la subvariedad que fue reemplazada en M era de la misma dimensión que M (era de codimensión 0).
La cirugía está estrechamente relacionada (pero no es lo mismo) con la colocación de manijas . Dada una variedad con límite y una incrustación , donde , defina otra variedad con límite L ′ por
El colector L ′ se obtiene "colocando un mango", que se obtiene mediante una p -cirugía
Una cirugía sobre M no sólo produce una nueva variedad M ′, sino también un cobordismo W entre M y M ′. La huella de la cirugía es el cobordismo , con
el colector dimensional con límite obtenido del producto colocando un mango .
La cirugía es simétrica en el sentido de que la variedad M puede recuperarse a partir de M ′ mediante una -cirugía cuyo trazo coincide con el trazo de la cirugía original, hasta la orientación.
En la mayoría de las aplicaciones, el colector M viene con una estructura geométrica adicional, como un mapa de algún espacio de referencia o datos de paquete adicionales. Entonces se desea que el proceso quirúrgico dote a M ′ del mismo tipo de estructura adicional. Por ejemplo, una herramienta estándar en la teoría de la cirugía es la cirugía en mapas normales : dicho proceso cambia un mapa normal a otro mapa normal dentro de la misma clase de bordismo.
Según la definición anterior, una cirugía del círculo consiste en recortar una copia y pegarla . Las imágenes de la Fig. 1 muestran que el resultado de hacer esto es (i) nuevamente o (ii) dos copias de .
En este caso hay más posibilidades, ya que podemos empezar recortando cualquiera de los dos o .
Si entonces
La p -cirugía en ' es por lo tanto
Intuitivamente, el proceso de cirugía es el análogo múltiple de unir una célula a un espacio topológico, donde la incrustación toma el lugar del mapa de unión. Una simple unión de una celda a una variedad n destruiría la estructura de la variedad por razones dimensionales, por lo que debe engrosarse cruzándose con otra celda.
Hasta la homotopía, el proceso de cirugía en una incrustación se puede describir como la unión de una célula, dando el tipo de homotopía del rastro, y la separación de una célula q para obtener N. La necesidad del proceso de desapego puede entenderse como un efecto de la dualidad de Poincaré .
De la misma manera que una célula se puede unir a un espacio para matar un elemento en algún grupo de homotopía del espacio, a menudo se puede usar una cirugía p en una variedad M para matar un elemento . Sin embargo, dos puntos son importantes: en primer lugar, el elemento debe ser representable mediante una incrustación (lo que significa incrustar la esfera correspondiente con un paquete normal trivial ). Por ejemplo, no es posible realizar una cirugía en un bucle de inversión de orientación. En segundo lugar, se debe considerar el efecto del proceso de separación, ya que también podría tener un efecto sobre el grupo de homotopía bajo consideración. En términos generales, este segundo punto sólo es importante cuando p es al menos del orden de la mitad de la dimensión de M.
El origen y principal aplicación de la teoría quirúrgica radica en la clasificación de variedades de dimensión mayor que cuatro. En términos generales, las cuestiones organizativas de la teoría de la cirugía son:
Más formalmente, uno hace estas preguntas hasta la homotopía :
Resulta que la segunda pregunta ("singularidad") es una versión relativa de una pregunta del primer tipo ("existencia"); por tanto, ambas cuestiones pueden tratarse con los mismos métodos.
Tenga en cuenta que la teoría de la cirugía no proporciona un conjunto completo de invariantes para estas preguntas. En cambio, es una obstrucción teórica : hay una obstrucción primaria y una obstrucción secundaria llamada obstrucción quirúrgica que sólo se define si la obstrucción primaria desaparece, y que depende de la elección hecha al verificar que la obstrucción primaria desaparece.
En el abordaje clásico, desarrollado por William Browder , Sergei Novikov , Dennis Sullivan y CTC Wall , la cirugía se realiza en mapas normales de grado uno. Mediante cirugía, la pregunta "¿Es el mapa normal de grado uno cobordante con una equivalencia de homotopía?" se puede traducir (en dimensiones mayores que cuatro) a una declaración algebraica sobre algún elemento en un grupo L del anillo de grupo . Más precisamente, la pregunta tiene una respuesta positiva si y sólo si la obstrucción quirúrgica es cero, donde n es la dimensión de M.
Por ejemplo, considere el caso en el que la dimensión n = 4k es múltiplo de cuatro y . Se sabe que es isomorfo a los números enteros ; bajo este isomorfismo la obstrucción quirúrgica de f es proporcional a la diferencia de las firmas de X y M. Por lo tanto, un mapa normal de grado uno es cobordante con una equivalencia de homotopía si y sólo si las firmas del dominio y el codominio concuerdan.
Volviendo a la cuestión de "existencia" anterior, vemos que un espacio X tiene el tipo de homotopía de una variedad suave si y sólo si recibe un mapa normal de grado uno cuya obstrucción quirúrgica desaparece. Esto conduce a un proceso de obstrucción de varios pasos: para hablar de mapas normales, X debe satisfacer una versión apropiada de la dualidad de Poincaré que lo convierte en un complejo de Poincaré . Suponiendo que X es un complejo de Poincaré, la construcción de Pontryagin-Thom muestra que existe un mapa normal de grado uno para X si y sólo si la fibración normal de Spivak de X tiene una reducción a un paquete de vectores estable . Si existen mapas normales de grado uno a X , sus clases de bordismo (llamadas invariantes normales ) se clasifican por el conjunto de clases de homotopía . Cada una de estas invariantes normales tiene una obstrucción quirúrgica; X tiene el tipo de homotopía de una variedad suave si y sólo si una de estas obstrucciones es cero. Dicho de otra manera, esto significa que existe una opción de invariante normal con imagen cero bajo el mapa de obstrucción de la cirugía.
El concepto de conjunto de estructuras es el marco unificador tanto para las cuestiones de existencia como de unicidad. En términos generales, el conjunto de estructuras de un espacio X consta de equivalencias de homotopía M → X desde alguna variedad hasta X , donde se identifican dos mapas bajo una relación de tipo bordismo. Una condición necesaria (pero en general no suficiente) para que el conjunto de estructuras de un espacio X no esté vacío es que X sea un complejo de Poincaré de n dimensiones, es decir, que los grupos de homología y cohomología estén relacionados mediante isomorfismos de un espacio de n dimensiones. múltiple, para algún número entero n . Dependiendo de la definición precisa y la categoría de variedades ( suaves , PL o topológicas ), existen varias versiones de conjuntos de estructuras. Dado que, según el teorema del s-cobordismo , ciertos bordismos entre variedades son isomorfos (en la categoría respectiva) a los cilindros, el concepto de conjunto de estructuras permite una clasificación incluso hasta el difeomorfismo .
El conjunto de estructuras y el mapa de obstrucciones de la cirugía se reúnen en la secuencia exacta de la cirugía . Esta secuencia permite determinar el conjunto de estructuras de un complejo de Poincaré una vez que se comprende el mapa de obstrucción de la cirugía (y una versión relativa del mismo). En casos importantes, el conjunto de estructuras lisas o topológicas se puede calcular mediante la secuencia exacta de la cirugía. Ejemplos de ello son la clasificación de esferas exóticas y las pruebas de la conjetura de Borel para variedades curvadas negativamente y variedades con grupo fundamental hiperbólico .
En la categoría topológica, la secuencia exacta de cirugía es la secuencia exacta larga inducida por una secuencia de fibración de espectros . Esto implica que todos los conjuntos involucrados en la secuencia son de hecho grupos abelianos. A nivel de espectro, el mapa de obstrucción quirúrgica es un mapa de ensamblaje cuya fibra es el espacio de estructura de bloques de la variedad correspondiente.