Cuadric (geometría algebraica)

Las dos familias de líneas en una superficie cuádrica lisa (dividida)

En matemáticas , una hipersuperficie cuádrica o cuádrica es el subespacio del espacio N -dimensional definido por una ecuación polinómica de grado 2 sobre un campo . Las cuadricas son ejemplos fundamentales en geometría algebraica . La teoría se simplifica trabajando en un espacio proyectivo en lugar de en un espacio afín. Un ejemplo es la superficie cuádrica.

${\displaystyle xy=zw}$

en el espacio proyectivo sobre los números complejos C . Una cuádrica tiene una acción natural del grupo ortogonal , por lo que el estudio de las cuádricas puede considerarse como un descendiente de la geometría euclidiana . ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{3}}$

Muchas propiedades de las cuádricas son válidas de manera más general para variedades proyectivas homogéneas . Otra generalización de las cuádricas la proporcionan las variedades Fano .

Propiedad de la cuádrica Por definición, una cuádrica X de dimensión n sobre un campo k es el subespacio de definido por q = 0, donde q es un polinomio homogéneo distinto de cero de grado 2 sobre k en variables . (Un polinomio homogéneo también se denomina forma , por lo que q puede denominarse forma cuadrática ). Si q es el producto de dos formas lineales, entonces X es la unión de dos hiperplanos . Es común suponer que yq es irreducible , lo que excluye ese caso especial. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Aquí las variedades algebraicas sobre un campo k se consideran una clase especial de esquemas sobre k . Cuando k es algebraicamente cerrado , también se puede pensar en una variedad proyectiva de una manera más elemental, como un subconjunto de ecuaciones polinomiales definidas por homogéneas con coeficientes en k . ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{N}(k)=(k^{N+1}-0)/k^{*}}$

Una superficie cuádrica singular, el cono sobre una curva cónica suave.

Si q puede escribirse (después de algún cambio lineal de coordenadas) como un polinomio en un subconjunto adecuado de variables, entonces X es el cono proyectivo sobre una cuádrica de dimensión inferior. Es razonable centrar la atención en el caso en el que X no es un cono. Para k de característica no 2, X no es un cono si y solo si X es suave sobre k . Cuando k tiene una característica distinta de 2, la suavidad de una cuádrica también es equivalente a la matriz de Hesse de q que tiene un determinante distinto de cero , o a la forma bilineal asociada b ( x , y ) = q ( x + y ) – q ( x ) – q ( y ) ser no degenerado . En general, para k de característica no 2, el rango de una cuádrica significa el rango de la matriz de Hesse. Una cuádrica de rango r es un cono iterado sobre una cuádrica suave de dimensión r − 2. ^[1]

Es un resultado fundamental que una cuádrica suave sobre un campo k es racional sobre k si y sólo si X tiene un punto k - racional . ^[2] Es decir, si hay una solución de la ecuación q = 0 de la forma con en k , no toda cero (por lo tanto correspondiente a un punto en el espacio proyectivo), entonces hay una correspondencia uno a uno definida por funciones racionales sobre k entre menos un subconjunto de dimensiones inferiores y X menos un subconjunto de dimensiones inferiores. Por ejemplo, si k es infinito, se deduce que si X tiene un k -punto racional, entonces tiene infinitos. Esta equivalencia se prueba mediante proyección estereográfica . En particular, toda cuádrica sobre un campo algebraicamente cerrado es racional. ${\displaystyle (a_{0},\ldots ,a_{n+1})}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$

Una cuádrica sobre un campo k se llama isotrópica si tiene un k -punto racional. Un ejemplo de cuádrica anisotrópica es la cuádrica.

${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=0}$

en el espacio proyectivo sobre los números reales R . ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n+1}}$

Subespacios lineales de cuádricas

Una parte central de la geometría de las cuádricas es el estudio de los espacios lineales que contienen. (En el contexto de la geometría proyectiva, un subespacio lineal de es isomorfo a para algunos ). Un punto clave es que cada espacio lineal contenido en una cuádrica suave tiene una dimensión como máximo de la mitad de la dimensión de la cuádrica. Además, cuando k es algebraicamente cerrado, este es un límite óptimo, lo que significa que cada cuádrico suave de dimensión n sobre k contiene un subespacio lineal de dimensión . ^[3] ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{N}}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{a}}$ ${\displaystyle a\leq N}$ ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

Sobre cualquier campo k , una cuádrica suave de dimensión n se llama división si contiene un espacio lineal de dimensión sobre k . Por tanto, cada cuádrica suave sobre un campo algebraicamente cerrado se divide. Si se divide una cuádrica X sobre un campo k , entonces se puede escribir (después de un cambio lineal de coordenadas) como ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}+\cdots +x_{2m-2}x_{2m-1}+x_{2m}^{2}=0}$

si X tiene dimensión 2 m − 1, o

${\displaystyle x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}+\cdots +x_{2m}x_{2m+1}=0}$

si X tiene dimensión 2 m . ^[4] En particular, sobre un campo algebraicamente cerrado, solo hay una cuádrica suave de cada dimensión, hasta el isomorfismo.

Para muchas aplicaciones, es importante describir el espacio Y de todos los subespacios lineales de dimensión máxima en una X cuádrica suave dada . (Para mayor claridad, supongamos que X se divide entre k ). Un fenómeno sorprendente es que Y es conexo si X tiene una dimensión impar, mientras que tiene dos componentes conexos si X tiene una dimensión par. Es decir, hay dos "tipos" diferentes de espacios lineales máximos en X cuando X tiene dimensión par. Las dos familias pueden describirse así: para una cuádrica suave X de dimensión 2 m , fije un plano m Q contenido en X. Entonces los dos tipos de m -planos P contenidos en X se distinguen según si la dimensión de la intersección es par o impar. ^[5] (Aquí se considera que la dimensión del conjunto vacío es −1). ${\displaystyle P\cap Q}$

Cuádricas de baja dimensión

Sea X una cuádrica dividida sobre un campo k . (En particular, X puede ser cualquier cuádrico suave sobre un campo algebraicamente cerrado). En dimensiones bajas, X y los espacios lineales que contiene se pueden describir de la siguiente manera.

• Una curva cuádrica se llama cónica . Una cónica dividida sobre k es isomorfa a la línea proyectiva sobre k , incrustada por la segunda incrustación veronesa . ^[6] (Por ejemplo, elipses, parábolas e hipérbolas son diferentes tipos de cónicas en el plano afín sobre R , pero sus cierres en el plano proyectivo son todos isomórficos sobre R ). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

• Una superficie cuádrica dividida X es isomorfa , incrustada por la incrustación de Segre . El espacio de líneas en la superficie cuádrica X tiene dos componentes conectados, cada uno isomorfo a . ^[7] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

• Una X cuádrica dividida 3 veces puede verse como un Grassmanniano isotrópico para el grupo simpléctico Sp (4, k ). (Esto está relacionado con el isomorfismo excepcional de los grupos algebraicos lineales entre SO(5, k ) y .) Es decir, dado un espacio vectorial V de 4 dimensiones con una forma simpléctica , la X cuádrica triple se puede identificar con el espacio LGr (2,4) de 2 planos en V en los que la forma se restringe a cero. Además, el espacio de líneas en la X cuádrica triple es isomorfo a . ^[8] ${\displaystyle \operatorname {Sp} (4,k)/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

• Una X cuádrica dividida en 4 veces puede verse como el Grassmannian Gr (2,4), el espacio de 2 planos en un espacio vectorial de 4 dimensiones (o equivalentemente, de líneas en ). (Esto está relacionado con el isomorfismo excepcional de los grupos algebraicos lineales entre SO(6, k ) y .) El espacio de 2 planos en la X cuádrica cuádrica tiene dos componentes conectados, cada uno isomorfo a . ^[9] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (4,k)/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

• El espacio de 2 planos en una cuádrica dividida 5 veces es isomorfo a una cuádrica dividida 6 veces. Asimismo, ambos componentes del espacio de 3 planos en una cuádrica dividida en 6 veces son isomorfos a una cuádrica dividida en 6 veces. (Esto está relacionado con el fenómeno de la trialidad del grupo Spin(8).)

Como sugieren estos ejemplos, el espacio de m -planos en una cuádrica dividida de dimensión 2 m siempre tiene dos componentes conectados, cada uno isomorfo al isotrópico Grassmanniano de ( m − 1) -planos en una cuádrica dividida de dimensión 2 m − 1. ^[10] Cualquier reflexión en el grupo ortogonal asigna un componente isomórficamente al otro.

La descomposición de Bruhat

Una cuádrica suave sobre un campo k es una variedad proyectiva homogénea para el grupo ortogonal (y para el grupo ortogonal especial ), vista como grupos algebraicos lineales sobre k . Como cualquier variedad proyectiva homogénea para un grupo reductor dividido , un X cuádrico dividido tiene una descomposición de celdas algebraica, conocida como descomposición de Bruhat . (En particular, esto se aplica a cada cuádrica suave sobre un campo algebraicamente cerrado). Es decir, X puede escribirse como una unión finita de subconjuntos disjuntos que son isomorfos a espacios afines sobre k de varias dimensiones. (Para las variedades proyectivas homogéneas, las células se llaman células de Schubert y sus cierres se llaman variedades de Schubert ). Las variedades celulares son muy especiales entre todas las variedades algebraicas. Por ejemplo, una variedad celular es racional y (para k = C ) la teoría de Hodge de una variedad celular proyectiva suave es trivial, en el sentido de que para . Para una variedad celular, el grupo Chow de ciclos algebraicos en X es el grupo abeliano libre en el conjunto de células, al igual que la homología integral de X (si k = C ). ^[11] ${\displaystyle h^{p,q}(X)=0}$ ${\displaystyle p\neq q}$

Una cuádrica dividida X de dimensión n tiene solo una celda de cada dimensión r , excepto en la dimensión media de una cuádrica de dimensión par, donde hay dos celdas. Los cierres de celda correspondientes (variedades Schubert) son: ^[12]

• Para , un espacio lineal contenido en X . ${\displaystyle 0\leq r<n/2}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$

• Para r = n /2, ambas variedades de Schubert son espacios lineales contenidos en X , uno de cada una de las dos familias de espacios lineales de dimensión media (como se describió anteriormente). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$

• Porque , la variedad Schubert de dimensión r es la intersección de X con un espacio lineal de dimensión r + 1 pulg ; por lo que es una cuádrica de r dimensiones. Es el cono iterado sobre una cuádrica suave de dimensión 2 r - n . ${\displaystyle n/2<r\leq n}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n+1}}$

Utilizando la descomposición de Bruhat, es sencillo calcular el anillo de Chow de una cuádrica dividida de dimensión n sobre un campo, de la siguiente manera. ^[13] Cuando el campo base son los números complejos, este es también el anillo de cohomología integral de una cuádrica suave, con mapeo isomórfico a . (La cohomología en grados impares es cero). ${\displaystyle CH^{j}}$ ${\displaystyle H^{2j}}$

• Para n = 2 m − 1, , donde | h | = 1 y | l | =  metro . ${\displaystyle CH^{*}(X)\cong \mathbb {Z} [h,l]/(h^{m}-2l,l^{2})}$

• Para n = 2 m , , donde | h | = 1 y | l | =  m , y a es 0 para m impar y 1 para m par. ${\displaystyle CH^{*}(X)\cong \mathbb {Z} [h,l]/(h^{m+1}-2hl,l^{2}-ah^{m}l)}$

Aquí h es la clase de una sección de hiperplano y l es la clase de un subespacio lineal máximo de X. (Para n  = 2 m , la clase del otro tipo de subespacio lineal máximo es .) Este cálculo muestra la importancia de los subespacios lineales de una cuádrica: el anillo de Chow de todos los ciclos algebraicos en X es generado por el elemento "obvio" h (retirado de la clase de un hiperplano en ) junto con la clase de un subespacio lineal máximo de X . ${\displaystyle h^{m}-l}$ ${\displaystyle c_{1}O(1)}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n+1}}$

Grassmannianos isotrópicos y la variedad proyectiva de espinor puro

El espacio de r -planos en una cuádrica n -dimensional suave (como la propia cuádrica) es una variedad proyectiva homogénea, conocida como OGr isotrópico de Grassmann u ortogonal de Grassmann ( r  + 1,  n  + 2). (La numeración se refiere a las dimensiones de los espacios vectoriales correspondientes. En el caso de subespacios lineales de dimensión media de una cuádrica de dimensión par 2 m , se escribe para uno de los dos componentes conectados). Como resultado, los Grassmannianos isotrópicos de una cuádrica dividida sobre un campo también tiene descomposiciones de celdas algebraicas. ${\displaystyle \operatorname {OGr} _{+}(m+1,2m+2)}$

El isotrópico Grassmanniano W = OGr( m ,2 m  + 1) de ( m  − 1) -planos en una cuádrica suave de dimensión 2 m  − 1 también puede verse como la variedad de espinores proyectivos puros , o variedad de espinores simples , ^{[ 14] [15]} de dimensión m ( m  + 1)/2. (Otra descripción de la variedad de espinor puro es la siguiente . ^[10] ) Para explicar el nombre: la incrustación proyectiva equivariante más pequeña SO(2 m  + 1) de W aterriza en un espacio proyectivo de dimensión . ^[16] La acción de SO(2 m  + 1) sobre este espacio proyectivo no proviene de una representación lineal de SO(2 m +1) sobre k , sino de una representación de su doble cubierta simplemente conexa , el grupo de espín. Gira(2 m  + 1) sobre k . Esto se llama representación de espín de Spin(2 m  + 1), de dimensión . ${\displaystyle \operatorname {OGr} _{+}(m+1,2m+2)}$ ${\displaystyle 2^{m}-1}$ ${\displaystyle 2^{m}}$

Sobre los números complejos, el OGr isotrópico de Grassmann ( r  + 1,  n  + 2) de r -planos en un cuadrico X de n dimensiones es un espacio homogéneo para el grupo algebraico complejo , y también para su subgrupo compacto máximo , el compacto Lie. grupo SO ( n  + 2). Desde este último punto de vista, este Grassmanniano isotrópico es ${\displaystyle G=\operatorname {SO} (n+2,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (n+2)/(\operatorname {U} (r+1)\times \operatorname {SO} (n-2r)),}$

donde U( r +1) es el grupo unitario . Para r = 0, el Grassmanniano isotrópico es el propio cuádrico, que por lo tanto puede verse como

${\displaystyle \operatorname {SO} (n+2)/(\operatorname {U} (1)\times \operatorname {SO} (n)).}$

Por ejemplo, la compleja variedad de espinor puro proyectivizado OGr( m , 2 m  + 1) puede verse como SO(2 m  + 1)/U( m ), y también como SO(2 m +2)/U( m + 1). Estas descripciones se pueden utilizar para calcular el anillo de cohomología (o equivalentemente el anillo de Chow) de la variedad de espinor:

${\displaystyle CH^{*}\operatorname {OGr} (m,2m+1)\cong \mathbb {Z} [e_{1},\ldots ,e_{m}]/(e_{j}^{2}-2e_{j-1}e_{j+1}+2e_{j-2}e_{j+2}-\cdots +(-1)^{j}e_{2j}=0{\text{ for all }}j),}$

donde las clases de Chern del paquete de vectores de rango natural m son iguales a . ^[17] Aquí se entiende que significa 0 para  j  >  m . ${\displaystyle c_{j}}$ ${\displaystyle 2e_{j}}$ ${\displaystyle e_{j}}$

Paquetes de espinor en cuádricas

Los haces de espinores juegan un papel especial entre todos los haces de vectores en una cuádrica, análogo a los subespacios lineales máximos entre todas las subvariedades de una cuádrica. Para describir estos paquetes, sea X una cuádrica dividida de dimensión n sobre un campo k . El grupo ortogonal especial SO( n +2) sobre k actúa sobre X y, por tanto, también lo hace su doble cobertura, el grupo de espín G = Spin( n +2) sobre k . En estos términos, X es un espacio homogéneo G / P , donde P es un subgrupo parabólico máximo de G . La parte semisimple de P es el grupo de espín Spin( n ), y existe una forma estándar de extender las representaciones de espín de Spin( n ) a representaciones de P . (Hay dos representaciones de espín para n = 2 m , cada una de dimensión , y una representación de espín V para n = 2 m − 1 , de dimensión .) Entonces los paquetes de espínores en la cuádrica X = G / P se definen como G -haces de vectores equivariantes asociados a estas representaciones de P . Entonces hay dos haces de espinores de rango para n = 2 m , y un haz de espinores S de rango para n = 2 m − 1. Para n par, cualquier reflexión en el grupo ortogonal cambia los dos haces de espinores en X . ^[dieciséis] ${\displaystyle V_{+},V_{-}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$ ${\displaystyle S_{+},S_{-}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$

Por ejemplo, los dos haces de espinores en una superficie cuádrica son los haces de líneas O(−1,0) y O(0,−1). El paquete de espinores en un X cuádrico triple es el subpaquete natural de rango 2 en X visto como el Grassmanniano isotrópico de 2 planos en un espacio vectorial simpléctico de 4 dimensiones. ${\displaystyle X\cong \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}}$

Para indicar la importancia de los haces de espinores: Mikhail Kapranov demostró que la categoría derivada acotada de haces coherentes en una cuádrica dividida X sobre un campo k tiene una colección excepcional completa que involucra los haces de espinores, junto con los haces de líneas "obvias" O ( j ) restringido del espacio proyectivo:

${\displaystyle D^{b}(X)=\langle S_{+},S_{-},O,O(1),\ldots ,O(n-1)\rangle }$

si n es par y

${\displaystyle D^{b}(X)=\langle S,O,O(1),\ldots ,O(n-1)\rangle }$

si n es impar. ^[18] Concretamente, esto implica el caso dividido del cálculo de Richard Swan del grupo de Grothendieck de haces de vectores algebraicos en una cuádrica suave; es el grupo abeliano libre

${\displaystyle K_{0}(X)=\mathbb {Z} \{S_{+},S_{-},O,O(1),\ldots ,O(n-1)\}}$

para n par, y

${\displaystyle K_{0}(X)=\mathbb {Z} \{S,O,O(1),\ldots ,O(n-1)\}}$

para n impar. ^[19] Cuando k = C , el grupo K topológico (de haces de vectores complejos continuos en el cuádrico X ) viene dado por la misma fórmula y es cero. ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{1}(X)}$

Notas

1. Harris (1995), Ejemplo 3.3.
2. Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Proposición 22.9.
3. Harris (1995), Teorema 22.13.
4. Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Proposición 7.28.
5. Harris (1995), Teorema 22.14.
6. Harris (1995), Conferencia 22, pág. 284.
7. Harris (1995), Conferencia 22, pág. 285.
8. Harris (1995), Ejercicio 22.6.
9. Harris (1995), ejemplo 22.7.
10. Harris (1995), Teorema 22.14.
11. Fulton (1998), Ejemplo 19.1.11.
12. Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Proposición 68.1.
13. Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Ejercicio 68.3.
14. Cartan, Élie (1981) [1938], La teoría de los espinores, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-64070-9, señor  0631850
15. Chevalley, Claude (1996) [1954]. La teoría algebraica de Spinors y Clifford Algebras (reimpresión ed.). Prensa de la Universidad de Columbia (1954); Saltador (1996). ISBN  978-3-540-57063-9.
16. Ottaviani (1988), sección 1.
17. Mimura y Toda (1991), Teorema III.6.11.
18. Kapranov (1988), Teorema 4.10.
19. Cisne (1985), Teorema 1.

Referencias

• Elman, Richard ; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Teoría algebraica y geométrica de formas cuadráticas , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-4329-1, señor  2427530
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, señor  1644323
• Harris, Joe (1995), Geometría algebraica: un primer curso , Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3, señor  1416564
• Kapranov, Mikhail (1988), "Sobre las categorías derivadas de haces coherentes en algunos espacios homogéneos", Inventiones Mathematicae , 92 (3): 479–508, Bibcode :1988InMat..92..479K, doi :10.1007/BF01393744, MR  0939472, S2CID  119584668
• Mimura, Mamoru; Toda, Hirosi (1992), Topología de grupos de Lie , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0821813423, señor  1122592
• Ottaviani, Giorgio (1988), "Paquetes de espinor en cuádricas", Transactions of the American Mathematical Society , 307 : 301–316, doi : 10.1090/S0002-9947-1988-0936818-5 , SEÑOR  0936818
• Swan, Richard (1985), "Teoría K de hipersuperficies cuádricas", Annals of Mathematics , 122 (1): 113–153, doi :10.2307/1971371, JSTOR  1971371, MR  0799254