Raíz cuadrada

Número cuyo cuadrado es un número dado

Notación para la raíz cuadrada (principal) de x .

Por ejemplo, √ 25 = 5 , ya que 25 = 5 ⋅ 5 , o 5 ² (5 al cuadrado).

En matemáticas , una raíz cuadrada de un número x es un número y tal que ; en otras palabras, un número y cuyo cuadrado (el resultado de multiplicar el número por sí mismo, o ) es x . ^[1] Por ejemplo, 4 y −4 son raíces cuadradas de 16 porque . ${\displaystyle y^{2}=x}$ ${\displaystyle y\cdot y}$ ${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$

Cada número real no negativo x tiene una raíz cuadrada no negativa única, llamada raíz cuadrada principal o simplemente raíz cuadrada (con un artículo definido, ver abajo), que se denota por donde el símbolo " " se llama signo radical ^[2] o radix . Por ejemplo, para expresar el hecho de que la raíz cuadrada principal de 9 es 3, escribimos . El término (o número) cuya raíz cuadrada se está considerando se conoce como radicando . El radicando es el número o expresión debajo del signo radical, en este caso, 9. Para x no negativo , la raíz cuadrada principal también se puede escribir en notación exponencial , como . ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {~^{~}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$ ${\displaystyle x^{1/2}}$

Todo número positivo x tiene dos raíces cuadradas: (que es positiva) y (que es negativa). Las dos raíces se pueden escribir de forma más concisa utilizando el signo ± como . Aunque la raíz cuadrada principal de un número positivo es solo una de sus dos raíces cuadradas, la designación " raíz cuadrada" se utiliza a menudo para referirse a la raíz cuadrada principal. ^{[3] [4]} ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$

Las raíces cuadradas de números negativos pueden analizarse en el marco de los números complejos . En términos más generales, las raíces cuadradas pueden considerarse en cualquier contexto en el que se defina una noción del " cuadrado " de un objeto matemático. Entre ellos se incluyen los espacios de funciones y las matrices cuadradas , entre otras estructuras matemáticas .

Historia

Tablilla de arcilla YBC 7289

La tablilla de arcilla YBC 7289 de la Colección Babilónica de Yale fue creada entre 1800 a. C. y 1600 a. C., mostrando y respectivamente como 1;24,51,10 y 0;42,25,35 números de base 60 en un cuadrado cruzado por dos diagonales. ^[5] (1;24,51,10) base 60 corresponde a 1,41421296, que es correcto hasta 5 decimales (1,41421356...). ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

El Papiro Matemático Rhind es una copia de 1650 a. C. de un Papiro de Berlín anterior y otros textos –posiblemente el Papiro Kahun–  que muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas mediante un método de proporción inversa. ^[6]

En la antigua India , el conocimiento de los aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada era al menos tan antiguo como los Sulba Sutras , que datan de alrededor de 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). ^[7] Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 se da en el Baudhayana Sulba Sutra . ^[8] Apastamba, que fue datado alrededor de 600 a. C., ha dado un valor sorprendentemente preciso para que es correcto hasta cinco decimales como . ^{[9] [10] [11]} Aryabhata , en el Aryabhatiya (sección 2.4), ha dado un método para encontrar la raíz cuadrada de números que tienen muchos dígitos. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$

Los antiguos griegos sabían que las raíces cuadradas de números enteros positivos que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales : números no expresables como una razón de dos números enteros (es decir, no se pueden escribir exactamente como , donde m y n son números enteros). Este es el teorema de Euclides X, 9 , casi con certeza debido a Teeteto que se remonta a c.  380 a. C. [ ^12] El descubrimiento de los números irracionales, incluido el caso particular de la raíz cuadrada de 2 , está ampliamente asociado con la escuela pitagórica. ^{[13] [14]} Aunque algunos relatos atribuyen el descubrimiento a Hippasus , el contribuyente específico sigue siendo incierto debido a la escasez de fuentes primarias y la naturaleza secreta de la hermandad. ^{[15] [16]} Es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado con una longitud de lado de 1 . ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$

En la obra matemática china Escritos sobre el cálculo , escrita entre 202 a. C. y 186 a. C. durante la dinastía Han temprana , la raíz cuadrada se aproxima utilizando un método de "exceso y deficiencia", que dice "... combinar el exceso y la deficiencia como divisor; (tomando) el numerador de la deficiencia multiplicado por el denominador en exceso y el numerador en exceso multiplicado por el denominador de la deficiencia, combinarlos como dividendo". ^[17]

Regiomontanus (1436-1476) inventó un símbolo para las raíces cuadradas, escrito como una elaborada R. La R también se utilizó para indicar raíces cuadradas en el Ars Magna de Gerolamo Cardano . ^[18]

Según el historiador de las matemáticas DE Smith , el método de Aryabhata para encontrar la raíz cuadrada fue introducido por primera vez en Europa por Cataneo en 1546.

Según Jeffrey A. Oaks, los árabes utilizaban la letra jīm/ĝīm ( ج ), la primera letra de la palabra « جذر » (transliterada de diversas formas como jaḏr , jiḏr , ǧaḏr o ǧiḏr , «raíz»), colocada en su forma inicial ( ﺟ ) sobre un número para indicar su raíz cuadrada. La letra jīm se asemeja a la forma actual de la raíz cuadrada. Su uso se remonta hasta finales del siglo XII en las obras del matemático marroquí Ibn al-Yasamin . ^[19]

El símbolo "√" para la raíz cuadrada se utilizó por primera vez en forma impresa en 1525, en Coss . de Christoph Rudolff . ^[20]

Propiedades y usos

La gráfica de la función f ( x ) = √ x , formada por media parábola con directriz vertical

La función raíz cuadrada principal (a la que se suele denominar simplemente "función raíz cuadrada") es una función que asigna el conjunto de números reales no negativos a sí mismo. En términos geométricos , la función raíz cuadrada asigna el área de un cuadrado a la longitud de su lado. ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

La raíz cuadrada de x es racional si y solo si x es un número racional que puede representarse como una proporción de dos cuadrados perfectos. (Véase raíz cuadrada de 2 para pruebas de que este es un número irracional, y irracional cuadrático para una prueba de todos los números naturales no cuadrados). La función raíz cuadrada asigna números racionales a números algebraicos , siendo estos últimos un superconjunto de los números racionales).

Para todos los números reales x , (ver valor absoluto ). $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

Para todos los números reales no negativos x e y , y $${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$$ $${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$$

La función raíz cuadrada es continua para todos los valores x no negativos y diferenciable para todos los valores x positivos . Si f denota la función raíz cuadrada, cuya derivada viene dada por: $${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$$

La serie de Taylor de alrededor de x = 0 converge para | x | ≤ 1 , y está dada por ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$$

La raíz cuadrada de un número no negativo se utiliza en la definición de la norma euclidiana (y la distancia ), así como en generalizaciones como los espacios de Hilbert . Define un concepto importante de desviación estándar utilizado en la teoría de la probabilidad y la estadística . Tiene un uso importante en la fórmula para las soluciones de una ecuación cuadrática . Los campos cuadráticos y los anillos de números enteros cuadráticos , que se basan en raíces cuadradas, son importantes en álgebra y tienen usos en geometría. Las raíces cuadradas aparecen con frecuencia en fórmulas matemáticas en otros lugares, así como en muchas leyes físicas .

Raíces cuadradas de números enteros positivos

Un número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, que son opuestas entre sí. Cuando se habla de la raíz cuadrada de un número entero positivo, normalmente se hace referencia a la raíz cuadrada positiva.

Las raíces cuadradas de un número entero son números enteros algebraicos , más específicamente, números enteros cuadráticos .

La raíz cuadrada de un entero positivo es el producto de las raíces de sus factores primos , porque la raíz cuadrada de un producto es el producto de las raíces cuadradas de los factores. Ya que solo son necesarias las raíces de aquellos primos que tienen una potencia impar en la factorización . Más precisamente, la raíz cuadrada de una factorización prima es ${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$ $${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}$$

Como expansiones decimales

Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos (por ejemplo, 0, 1, 4, 9, 16) son números enteros . En todos los demás casos, las raíces cuadradas de los números enteros positivos son números irracionales y, por lo tanto, tienen decimales no periódicos en sus representaciones decimales . En la siguiente tabla se dan aproximaciones decimales de las raíces cuadradas de los primeros números naturales.

Como expansiones en otros sistemas numéricos

Al igual que antes, las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos (por ejemplo, 0, 1, 4, 9, 16) son números enteros. En todos los demás casos, las raíces cuadradas de los números enteros positivos son números irracionales y, por lo tanto, tienen dígitos no repetidos en cualquier sistema de notación posicional estándar .

Las raíces cuadradas de números enteros pequeños se utilizan en los diseños de funciones hash SHA-1 y SHA-2 para proporcionar números que no se encuentran bajo la manga .

Como fracciones periódicas continuas

Uno de los resultados más intrigantes del estudio de los números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por Joseph Louis Lagrange alrededor de  1780. Lagrange descubrió que la representación de la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado como fracción continua es periódica . Es decir, un cierto patrón de denominadores parciales se repite indefinidamente en la fracción continua. En cierto sentido, estas raíces cuadradas son los números irracionales más simples, porque se pueden representar con un patrón simple y repetitivo de números enteros.

La notación de corchetes utilizada anteriormente es una forma abreviada de una fracción continua. Escrita en la forma algebraica más sugerente, la fracción continua simple para la raíz cuadrada de 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], se ve así: $${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}}$$

donde el patrón de dos dígitos {3, 6} se repite una y otra vez en los denominadores parciales. Como 11 = 3 ² + 2 , lo anterior también es idéntico a las siguientes fracciones continuas generalizadas :

$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}$$

Cálculo

Las raíces cuadradas de números positivos no son, en general, números racionales y, por lo tanto, no se pueden escribir como expresiones decimales periódicas o finitas. Por lo tanto, en general, cualquier intento de calcular una raíz cuadrada expresada en forma decimal solo puede dar como resultado una aproximación, aunque se puede obtener una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas.

La mayoría de las calculadoras de bolsillo tienen una tecla de raíz cuadrada. Las hojas de cálculo de computadora y otro software también se utilizan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Las calculadoras de bolsillo generalmente implementan rutinas eficientes, como el método de Newton (frecuentemente con una estimación inicial de 1), para calcular la raíz cuadrada de un número real positivo. ^{[21] [22]} Al calcular raíces cuadradas con tablas de logaritmos o reglas de cálculo , se pueden explotar las identidades donde ln y log ₁₀ son los logaritmos naturales y de base 10 . $${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},}$$

Mediante ensayo y error, ^[23] se puede elevar al cuadrado una estimación y aumentarla o disminuirla hasta que alcance la precisión suficiente. Para esta técnica es prudente utilizar la identidad , ya que permite ajustar la estimación x en una cantidad c y medir el cuadrado del ajuste en términos de la estimación original y su cuadrado. ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ $${\displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$$

El método iterativo más común de cálculo de raíz cuadrada a mano se conoce como el " método babilónico " o "método de Herón" en honor al filósofo griego del siglo I Herón de Alejandría , quien lo describió por primera vez. ^[24] El método utiliza el mismo esquema iterativo que el método de Newton-Raphson produce cuando se aplica a la función y = f ( x ) = x ² − a , utilizando el hecho de que su pendiente en cualquier punto es dy / dx = f ′ ( x ) = 2 x , pero lo precede por muchos siglos. ^[25] El algoritmo consiste en repetir un cálculo simple que da como resultado un número más cercano a la raíz cuadrada real cada vez que se repite con su resultado como la nueva entrada. La motivación es que si x es una sobreestimación de la raíz cuadrada de un número real no negativo a, entonces a / x será una subestimación y, por lo tanto, el promedio de estos dos números es una mejor aproximación que cualquiera de ellos. Sin embargo, la desigualdad de las medias aritmética y geométrica muestra que este promedio es siempre una sobreestimación de la raíz cuadrada (como se indica a continuación), y por lo tanto puede servir como una nueva sobreestimación con la que repetir el proceso, que converge como consecuencia de que las sucesivas sobreestimaciones y subestimaciones se aproximan entre sí después de cada iteración. Para hallar x :

1. Comience con un valor inicial positivo arbitrario x . Cuanto más cerca esté de la raíz cuadrada de a , menos iteraciones serán necesarias para lograr la precisión deseada.
2. Reemplace x por el promedio ( x + a / x ) / 2 entre x y a / x .
3. Repita desde el paso 2, utilizando este promedio como el nuevo valor de x .

Es decir, si una suposición arbitraria para es x ₀ , y x _{n + 1} = ( x _n + a / x _n ) / 2 , entonces cada x _n es una aproximación de que es mejor para n grande que para n pequeño . Si a es positivo, la convergencia es cuadrática , lo que significa que al acercarse al límite, el número de dígitos correctos se duplica aproximadamente en cada siguiente iteración. Si a = 0 , la convergencia es solo lineal; sin embargo, en este caso no se necesita ninguna iteración. ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}=0}$

Utilizando la identidad, el cálculo de la raíz cuadrada de un número positivo se puede reducir al de un número en el rango [1, 4) . Esto simplifica la búsqueda de un valor inicial para el método iterativo que esté cerca de la raíz cuadrada, para lo cual se puede utilizar una aproximación polinómica o lineal por partes . $${\displaystyle {\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},}$$

La complejidad temporal para calcular una raíz cuadrada con n dígitos de precisión es equivalente a la de multiplicar dos números de n dígitos.

Otro método útil para calcular la raíz cuadrada es el algoritmo de desplazamiento de la raíz n, aplicado para n = 2 .

El nombre de la función raíz cuadrada varía de un lenguaje de programación a otro, siendo sqrt^[26] (a menudo pronunciado "squirt" ^[27] ) el más común y utilizado en C y lenguajes derivados como C++ , JavaScript , PHP y Python .

Raíces cuadradas de números negativos y complejos

El cuadrado de cualquier número positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada real . Sin embargo, es posible trabajar con un conjunto más inclusivo de números, llamados números complejos , que sí contienen soluciones para la raíz cuadrada de un número negativo. Esto se hace introduciendo un nuevo número, denotado por i (a veces por j , especialmente en el contexto de la electricidad donde i tradicionalmente representa la corriente eléctrica) y llamado unidad imaginaria , que se define de manera que i ² = −1 . Usando esta notación, podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero también tenemos (− i ) ² = i ² = −1 y por lo tanto − i también es una raíz cuadrada de −1. Por convención, la raíz cuadrada principal de −1 es i , o más generalmente, si x es cualquier número no negativo, entonces la raíz cuadrada principal de − x es $${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$$

El lado derecho (así como su negativo) es de hecho una raíz cuadrada de − x , ya que $${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$$

Para cada número complejo z distinto de cero existen precisamente dos números w tales que w ² = z : la raíz cuadrada principal de z (definida a continuación), y su negativo.

Raíz cuadrada principal de un número complejo

Representación geométrica de las raíces 2.ª a 6.ª de un número complejo z , en forma polar re ^iφ  donde r = | z  | y φ = arg z . Si z es real, φ = 0 o π . Las raíces principales se muestran en negro.

Para encontrar una definición de la raíz cuadrada que nos permita elegir consistentemente un único valor, llamado valor principal , comenzamos observando que cualquier número complejo puede verse como un punto en el plano, expresado utilizando coordenadas cartesianas . El mismo punto puede reinterpretarse utilizando coordenadas polares como el par donde es la distancia del punto desde el origen, y es el ángulo que la línea desde el origen hasta el punto forma con el eje real positivo ( ). En el análisis complejo, la ubicación de este punto se escribe convencionalmente Si entonces el ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle (x,y),}$ ${\displaystyle (r,\varphi ),}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle re^{i\varphi }.}$ $${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}$$La raíz cuadrada principal dese define como sigue: La función raíz cuadrada principal se define así utilizando el eje real no positivo como uncorte de rama. Sies un número real no negativo (lo que sucede si y solo si), entonces la raíz cuadrada principal deesen otras palabras, la raíz cuadrada principal de un número real no negativo es simplemente la raíz cuadrada no negativa habitual. Es importante queporque si, por ejemplo,(por lo que) entonces la raíz cuadrada principal es pero utilizandoen su lugar produciría la otra raíz cuadrada ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};}$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$ ${\displaystyle z=-2i}$ ${\displaystyle \varphi =-\pi /2}$ $${\displaystyle {\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i}$$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.}$

La función raíz cuadrada principal es holomorfa en todas partes excepto en el conjunto de números reales no positivos (en los reales estrictamente negativos ni siquiera es continua ). La serie de Taylor anterior para sigue siendo válida para números complejos con ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|<1.}$

Lo anterior también se puede expresar en términos de funciones trigonométricas : $${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}$$

Fórmula algebraica

Las raíces cuadradas de i

Cuando el número se expresa utilizando sus partes reales e imaginarias, se puede utilizar la siguiente fórmula para la raíz cuadrada principal: ^{[28] [29]}

$${\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},}$$

donde sgn( y ) = 1 si y ≥ 0 y sgn( y ) = −1 en caso contrario. ^[30] En particular, las partes imaginarias del número original y el valor principal de su raíz cuadrada tienen el mismo signo. La parte real del valor principal de la raíz cuadrada siempre es no negativa.

Por ejemplo, las raíces cuadradas principales de ± i están dadas por:

$${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.}$$

Notas

A continuación, los complejos z y w pueden expresarse como:

• ${\displaystyle z=|z|e^{i\theta _{z}}}$
• ${\displaystyle w=|w|e^{i\theta _{w}}}$

donde y . ${\displaystyle -\pi <\theta _{z}\leq \pi }$ ${\displaystyle -\pi <\theta _{w}\leq \pi }$

Debido a la naturaleza discontinua de la función raíz cuadrada en el plano complejo, las siguientes leyes no son verdaderas en general.

• ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}$
  Contraejemplo para la raíz cuadrada principal: z = −1 y w = −1
  Esta igualdad sólo es válida cuando ${\displaystyle -\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}$
  Contraejemplo para la raíz cuadrada principal: w = 1 y z = −1
  Esta igualdad sólo es válida cuando ${\displaystyle -\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}$
  Contraejemplo para la raíz cuadrada principal: z = −1 )
  Esta igualdad sólo es válida cuando ${\displaystyle \theta _{z}\neq \pi }$

Un problema similar aparece con otras funciones complejas con cortes de rama, por ejemplo, el logaritmo complejo y las relaciones log z + log w = log( zw ) o log( z ^* ) = log( z ) ^* que no son verdaderas en general.

Suponer erróneamente una de estas leyes subyace a varias "pruebas" erróneas, por ejemplo la siguiente que muestra que −1 = 1 : $${\displaystyle {\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1.\end{aligned}}}$$

La tercera igualdad no puede justificarse (ver prueba inválida ). ^{[31] : Capítulo VI, Sección I, Subsección 2 La falacia de que +1 = -1} puede hacerse válida cambiando el significado de √ de modo que ya no represente la raíz cuadrada principal (ver arriba) sino que seleccione una rama para la raíz cuadrada que contenga El lado izquierdo se convierte en si la rama incluye + i o si la rama incluye − i , mientras que el lado derecho se convierte en donde la última igualdad, es una consecuencia de la elección de la rama en la redefinición de √ . ${\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.}$ $${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1}$$ $${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1}$$ $${\displaystyle {\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,}$$ ${\displaystyle {\sqrt {1}}=-1,}$

norteraíces ésimas y raíces polinómicas

La definición de raíz cuadrada de como un número tal que se ha generalizado de la siguiente manera. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}=x}$

Una raíz cúbica de es un número tal que ; se denota ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{3}=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}$

Si n es un entero mayor que dos, una raíz n -ésima de es un número tal que ; se denota ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{n}=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}$

Dado cualquier polinomio p , una raíz de p es un número y tal que p ( y ) = 0 . Por ejemplo, las raíces n ésimas de x son las raíces del polinomio (en y ) ${\displaystyle y^{n}-x.}$

El teorema de Abel-Ruffini establece que, en general, las raíces de un polinomio de grado cinco o superior no pueden expresarse en términos de raíces n -ésimas.

Raíces cuadradas de matrices y operadores

Si A es una matriz u operador definido positivo , entonces existe precisamente una matriz u operador definido positivo B con B ² = A ; definimos entonces A ^1/2 = B . En general, las matrices pueden tener múltiples raíces cuadradas o incluso una infinidad de ellas. Por ejemplo, la matriz identidad 2 × 2 tiene una infinidad de raíces cuadradas, ^[32] aunque solo una de ellas es definida positiva.

En dominios integrales, incluidos los campos

Cada elemento de un dominio integral no tiene más de 2 raíces cuadradas. La identidad de la diferencia de dos cuadrados u ² − v ² = ( u − v )( u + v ) se demuestra utilizando la conmutatividad de la multiplicación . Si u y v son raíces cuadradas del mismo elemento, entonces u ² − v ² = 0 . Como no hay divisores de cero, esto implica u = v o u + v = 0 , donde este último significa que dos raíces son inversas aditivas entre sí. En otras palabras, si existe un elemento a raíz cuadrada u de un elemento a , entonces las únicas raíces cuadradas de a son u y −u . La única raíz cuadrada de 0 en un dominio integral es el propio 0.

En un campo de característica  2, un elemento tiene una raíz cuadrada o no tiene ninguna, porque cada elemento es su propio inverso aditivo, de modo que − u = u . Si el campo es finito de característica 2, entonces cada elemento tiene una raíz cuadrada única. En un campo de cualquier otra característica, cualquier elemento distinto de cero tiene dos raíces cuadradas, como se explicó anteriormente, o no tiene ninguna.

Dado un número primo impar p , sea q = p ^e para algún entero positivo e . Un elemento distinto de cero del cuerpo F q con q elementos es un residuo cuadrático si tiene una raíz cuadrada en F _q . De lo contrario, es un no residuo cuadrático. Hay ( q − 1)/2 residuos cuadráticos y ( q − 1)/2 no residuos cuadráticos; el cero no se cuenta en ninguna de las clases. Los residuos cuadráticos forman un grupo bajo la multiplicación. Las propiedades de los residuos cuadráticos se utilizan ampliamente en la teoría de números .

En los anillos en general

A diferencia de lo que ocurre en un dominio integral, una raíz cuadrada en un anillo arbitrario (unital) no necesita ser única hasta el signo. Por ejemplo, en el anillo de números enteros módulo 8 (que es conmutativo, pero tiene divisores de cero), el elemento 1 tiene cuatro raíces cuadradas distintas: ±1 y ±3. ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

Otro ejemplo lo proporciona el anillo de cuaterniones , que no tiene divisores de cero, pero no es conmutativo. Aquí, el elemento −1 tiene infinitas raíces cuadradas , entre ellas ± i , ± j y ± k . De hecho, el conjunto de raíces cuadradas de −1 es exactamente ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ $${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.}$$

Una raíz cuadrada de 0 es 0 o un divisor de cero. Por lo tanto, en anillos donde no existen divisores de cero, es únicamente 0. Sin embargo, los anillos con divisores de cero pueden tener múltiples raíces cuadradas de 0. Por ejemplo, en cualquier múltiplo de n hay una raíz cuadrada de 0. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,}$

Construcción geométrica de la raíz cuadrada

Construyendo la longitud , dada la y la longitud unitaria ${\displaystyle x={\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle a}$

La espiral de Teodoro hasta el triángulo con hipotenusa de √ 17

Construcción de raíces cuadradas sucesivas de Jay Hambidge utilizando rectángulos de raíz

La raíz cuadrada de un número positivo se define generalmente como la longitud del lado de un cuadrado con un área igual al número dado. Pero la forma cuadrada no es necesaria para ello: si uno de dos objetos euclidianos planos similares tiene un área a veces mayor que otro, entonces la relación de sus tamaños lineales es . ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

Una raíz cuadrada se puede construir con un compás y una regla. En sus Elementos , Euclides ( fl. 300 a. C.) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en dos lugares diferentes: Proposición II.14 y Proposición VI.13. Como la media geométrica de a y b es , se puede construir simplemente tomando b = 1 . ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

La construcción también está dada por Descartes en su La Géométrie , ver figura 2 en la página 2. Sin embargo, Descartes no pretendió ser original y su audiencia habría estado bastante familiarizada con Euclides.

La segunda prueba de Euclides en el Libro VI depende de la teoría de triángulos semejantes . Sea AHB un segmento de línea de longitud a + b con AH = a y HB = b . Construyamos el círculo con AB como diámetro y sea C una de las dos intersecciones de la cuerda perpendicular en H con el círculo y denotemos la longitud CH como h . Luego, usando el teorema de Tales y, como en la prueba del teorema de Pitágoras por triángulos semejantes , el triángulo AHC es semejante al triángulo CHB (como de hecho ambos lo son al triángulo ACB, aunque no lo necesitamos, pero es la esencia de la prueba del teorema de Pitágoras) de modo que AH:CH es como HC:HB, es decir a / h = h / b , de lo que concluimos por multiplicación cruzada que h ² = ab , y finalmente que . Al marcar el punto medio O del segmento de línea AB y dibujar el radio OC de longitud ( a + b )/2 , entonces claramente OC > CH, es decir (con igualdad si y sólo si a = b ), que es la desigualdad de la media aritmético-geométrica para dos variables y, como se señaló anteriormente, es la base de la comprensión de la antigua Grecia del "método de Herón". ${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$ ${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$

Otro método de construcción geométrica utiliza triángulos rectángulos e inducción : se puede construir, y una vez construido, el triángulo rectángulo con catetos 1 y tiene una hipotenusa de . Construyendo raíces cuadradas sucesivas de esta manera se obtiene la espiral de Teodoro que se muestra arriba. ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$

Véase también

• Apótome (matemáticas)
• Raíz cúbica
• Raíz cuadrada funcional
• Raíz cuadrada entera
• Radical anidado
• Raíz n-ésima
• Raíz de la unidad
• Resolver ecuaciones cuadráticas con fracciones continuas
• Problema de suma de raíz cuadrada
• Principio de la raíz cuadrada
• Puerta cuántica § Raíz cuadrada de la puerta NOT (√NOT)

Notas

1. Gel'fand, pág. 120 Archivado el 2 de septiembre de 2016 en Wayback Machine.
2. "Cuadrados y raíces cuadradas". www.mathsisfun.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
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Referencias

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Enlaces externos

• Algoritmos, implementaciones y más: la página web de raíces cuadradas de Paul Hsieh
• Cómo encontrar manualmente una raíz cuadrada
• Columna destacada de AMS, La aritmética de Galileo, por Tony Philips: incluye una sección sobre cómo Galileo encontró raíces cuadradas