Raíz cuadrada funcional

Función que, aplicada dos veces, da otra función

En matemáticas , una raíz cuadrada funcional (a veces llamada semiiteración ) es una raíz cuadrada de una función con respecto a la operación de composición de funciones . En otras palabras, una raíz cuadrada funcional de una función g es una función f que satisface f ( f ( x )) = g ( x ) para todo x .

Notación

Las notaciones que expresan que f es una raíz cuadrada funcional de g son f = g _[1/2] y f = g _1/2 . ^{[ cita requerida ]}

Historia

• La raíz cuadrada funcional de la función exponencial (ahora conocida como función semiexponencial ) fue estudiada por Hellmuth Kneser en 1950. ^[1]
• Las soluciones de f ( f ( x )) = x sobre (las involuciones de los números reales ) fueron estudiadas por primera vez por Charles Babbage en 1815, y esta ecuación se llama ecuación funcional de Babbage . ^[2] Una solución particular es f ( x ) = ( b − x )/(1 + cx ) para bc ≠ −1 . Babbage notó que para cualquier solución dada f , su conjugado funcional Ψ ⁻¹ ∘ f ∘ Ψ por una función invertible arbitraria Ψ también es una solución. En otras palabras, el grupo de todas las funciones invertibles en la línea real actúa sobre el subconjunto que consiste en soluciones a la ecuación funcional de Babbage por conjugación . ${\displaystyle \mathbb {R} }$  

Soluciones

Un procedimiento sistemático para producir n -raíces funcionales arbitrarias (incluyendo n reales, negativas e infinitesimales arbitrarias ) de funciones se basa en las soluciones de la ecuación de Schröder . ^{[3] [4] [5]} Existen infinitas soluciones triviales cuando se permite que el dominio de una función raíz f sea suficientemente mayor que el de g . ${\displaystyle g:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$

Ejemplos

• f ( x ) = 2 x ² es una raíz cuadrada funcional de g ( x ) = 8 x ⁴ .
• Una raíz cuadrada funcional del n- ésimo polinomio de Chebyshev , , es , que en general no es un polinomio . ${\displaystyle g(x)=T_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\cos {({\sqrt {n}}\arccos(x))}}$
• ${\displaystyle f(x)=x/({\sqrt {2}}+x(1-{\sqrt {2}}))}$es una raíz cuadrada funcional de . ${\displaystyle g(x)=x/(2-x)}$

Iteraciones de la función seno ( azul ), en el primer semiperiodo. Mitad de iteración ( naranja ), es decir, la raíz cuadrada funcional del seno; la raíz cuadrada funcional de esa, el cuarto de iteración (negro) por encima de ella, y otras iteraciones fraccionarias hasta la iteración 1/64. Las funciones por debajo de seno son seis iteraciones integrales por debajo de ella, comenzando con la segunda iteración ( rojo ) y terminando con la iteración 64. El triángulo envolvente verde representa la iteración nula limitante, la función de diente de sierra sirve como punto de partida que conduce a la función seno. La línea discontinua es la primera iteración negativa, es decir, la inversa del seno ( arcsin ).

sin _[2] ( x ) = sin(sin( x )) [ curva roja ]

sin _[1] ( x ) = sin( x ) = rin(rin( x )) [ curva azul ]

pecado _{[ ⁠1/2⁠ ]} ( x ) = rin( x ) = qin(qin( x ))[curvanaranja

pecado _{[ ⁠1/4⁠ ]} ( x ) = qin( x )[curva negra sobre la curva naranja]

sin _[–1] ( x ) = arcsin( x ) [curva discontinua]

(Véase. ^[6] Para la notación, véase [1] Archivado el 5 de diciembre de 2022 en Wayback Machine .)

Véase también

• Función iterada
• Composición de funciones
• Ecuación de Abel
• La ecuación de Schröder
• Flujo (matemáticas)
• Superfunción
• Cálculo fraccionario
• Función semiexponencial

Referencias

1. Kneser, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x)) = ex und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 187 : 56–67. doi :10.1515/crll.1950.187.56. S2CID  118114436.
2. Jeremy Gray y Karen Parshall (2007) Episodios en la historia del álgebra moderna (1800–1950) , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4343-7 
3. Schröder, E. (1870). "Ueber iterirte Functionen". Annalen Matemáticas . 3 (2): 296–322. doi :10.1007/BF01443992. S2CID  116998358.
4. Szekeres, G. (1958). "Iteración regular de funciones reales y complejas". Acta Mathematica . 100 (3–4): 361–376. doi : 10.1007/BF02559539 .
5. Curtright, T. ; Zachos, C. ; Jin, X. (2011). "Soluciones aproximadas de ecuaciones funcionales". Journal of Physics A . 44 (40): 405205. arXiv : 1105.3664 . Bibcode :2011JPhA...44N5205C. doi :10.1088/1751-8113/44/40/405205. S2CID  119142727.
6. Curtright, T. L. Superficies evolutivas y métodos funcionales de Schröder Archivado el 30 de octubre de 2014 en Wayback Machine .