La ecuación de Schröder , [1] [2] [3] llamada así por Ernst Schröder , es una ecuación funcional con una variable independiente : dada la función h , encuentre la función Ψ tal que
La ecuación de Schröder es una ecuación de valor propio para el operador de composición C h que envía una función f a f ( h (.)) .
Si a es un punto fijo de h , es decir, h ( a ) = a , entonces Ψ( a ) = 0 (o ∞ ) o s = 1 . Por lo tanto, siempre que Ψ( a ) sea finito y Ψ′( a ) no se anule ni diverja, el valor propio s viene dado por s = h ′( a ) .
Para a = 0 , si h es analítica en el disco unitario, fija 0 y 0 < | h ′(0)| < 1 , entonces Gabriel Koenigs demostró en 1884 que existe un Ψ analítico (no trivial) que satisface la ecuación de Schröder. Este es uno de los primeros pasos en una larga línea de teoremas fructíferos para comprender los operadores de composición en espacios de funciones analíticas, cf. Función de Koenigs .
Las ecuaciones como la de Schröder son adecuadas para codificar la autosimilitud y, por lo tanto, se han utilizado ampliamente en estudios de dinámica no lineal (a menudo denominada coloquialmente teoría del caos ). También se utiliza en estudios de turbulencia , así como en el grupo de renormalización . [4] [5]
Una forma transpuesta equivalente de la ecuación de Schröder para la inversa Φ = Ψ −1 de la función de conjugación de Schröder es h (Φ( y )) = Φ( sy ) . El cambio de variables α( x ) = log(Ψ( x ))/log( s ) (la función de Abel ) convierte además la ecuación de Schröder en la antigua ecuación de Abel , α( h ( x )) = α( x ) + 1 . De forma similar, el cambio de variables Ψ( x ) = log(φ( x )) convierte la ecuación de Schröder en la ecuación de Böttcher , φ( h ( x )) = (φ( x )) s .
Además, para la velocidad, [5] β( x ) = Ψ/Ψ′ , la ecuación de Julia , β( f ( x )) = f ′( x )β( x ) , es válida.
La potencia n -ésima de una solución de la ecuación de Schröder proporciona, en cambio, una solución de la ecuación de Schröder con valor propio s n . En la misma línea, para una solución invertible Ψ( x ) de la ecuación de Schröder, la función (no invertible) Ψ( x ) k (log Ψ( x )) también es una solución, para cualquier función periódica k ( x ) con período log( s ) . Todas las soluciones de la ecuación de Schröder están relacionadas de esta manera.
La ecuación de Schröder fue resuelta analíticamente si a es un punto fijo atractivo (pero no superatractivo), es decir 0 < | h ′( a )| < 1 por Gabriel Koenigs (1884). [6] [7]
En el caso de un punto fijo superatractivo, | h ′( a )| = 0 , la ecuación de Schröder es difícil de manejar y es mejor transformarla en la ecuación de Böttcher . [8]
Hay un buen número de soluciones particulares que se remontan al artículo original de Schröder de 1870. [1]
La expansión de la serie alrededor de un punto fijo y las propiedades de convergencia relevantes de la solución para la órbita resultante y sus propiedades de analiticidad son resumidas de manera convincente por Szekeres . [9] Varias de las soluciones se proporcionan en términos de series asintóticas , cf. Matriz de Carleman .
Se utiliza para analizar sistemas dinámicos discretos encontrando un nuevo sistema de coordenadas en el que el sistema (órbita) generado por h ( x ) parezca más simple, una mera dilatación.
Más específicamente, un sistema para el cual un paso de tiempo unitario discreto equivale a x → h ( x ) , puede tener su órbita suave (o flujo ) reconstruida a partir de la solución de la ecuación de Schröder anterior, su ecuación de conjugación .
Es decir, h ( x ) = Ψ −1 ( s Ψ( x )) ≡ h 1 ( x ) .
En general, todas sus iteraciones funcionales (su grupo de iteración regular , ver función iterada ) son proporcionadas por la órbita.
para t real — no necesariamente positivo o entero. (Por lo tanto, un grupo continuo completo ). El conjunto de h n ( x ) , es decir, de todas las iteraciones enteras positivas de h ( x ) ( semigrupo ) se llama astilla (o secuencia de Picard) de h ( x ) .
Sin embargo, todas las iteraciones (fraccionales, infinitesimales o negativas) de h ( x ) también se especifican a través de la transformación de coordenadas Ψ ( x ) determinada para resolver la ecuación de Schröder: se ha construido una interpolación continua holográfica de la recursión discreta inicial x → h ( x ) ; [10] en efecto, toda la órbita .
Por ejemplo, la raíz cuadrada funcional es h 1/2 ( x ) = Ψ −1 ( s 1/2 Ψ( x )) , de modo que h 1/2 ( h 1/2 ( x )) = h ( x ) , y así sucesivamente.
Por ejemplo, [11] casos especiales del mapa logístico como el caso caótico h ( x ) = 4 x (1 − x ) ya fueron desarrollados por Schröder en su artículo original [1] (p. 306),
De hecho, se considera que esta solución resulta de un movimiento dictado por una secuencia de potenciales de conmutación, [12] V ( x ) ∝ x ( x − 1) ( nπ + arcsin √ x ) 2 , una característica genérica de las iteraciones continuas efectuadas por la ecuación de Schröder.
Un caso no caótico que también ilustró con su método, h ( x ) = 2 x (1 − x ) , da como resultado
De la misma manera, para el modelo de Beverton-Holt , h ( x ) = x /(2 − x ) , se encuentra fácilmente [10] Ψ( x ) = x /(1 − x ) , de modo que [13]
