Ecuación de función que calcula valores iterados
La ecuación de Abel , llamada así en honor a Niels Henrik Abel , es un tipo de ecuación funcional de la forma
![{\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
o
.
Las formas son equivalentes cuando α es invertible . ho α controlan la iteración de f .
Equivalencia
La segunda ecuación se puede escribir
![{\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tomando x = α −1 ( y ) , la ecuación se puede escribir
![{\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para una función conocida f ( x ) , un problema es resolver la ecuación funcional para la función α −1 ≡ h , posiblemente satisfaciendo requisitos adicionales, como α −1 (0) = 1 .
El cambio de variables s α ( x ) = Ψ ( x ) , para un parámetro real s , trae la ecuación de Abel a la célebre ecuación de Schröder , Ψ ( f ( x )) = s Ψ ( x ) .
El cambio adicional F ( x ) = exp( s α ( x ) ) en la ecuación de Böttcher , F ( f ( x )) = F ( x ) s .
La ecuación de Abel es un caso especial (y se generaliza fácilmente a) la ecuación de traslación , [1]
![{\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por ejemplo, para , ![{\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. (Observe ω ( x ,0) = x .)
La función de Abel α ( x ) proporciona además la coordenada canónica para los flujos advectivos de Lie ( grupos de Lie de un parámetro ).
Historia
Inicialmente, se informó la ecuación en la forma más general [2] [3] . Incluso en el caso de una sola variable, la ecuación no es trivial y admite un análisis especial. [4] [5] [6]
En el caso de una función de transferencia lineal, la solución se puede expresar de forma compacta. [7]
Casos especiales
La ecuación de tetración es un caso especial de la ecuación de Abel, con f = exp .
En el caso de un argumento entero, la ecuación codifica un procedimiento recurrente, por ejemplo,
![{\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
etcétera,
![{\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Soluciones
La ecuación de Abel tiene al menos una solución si y sólo si para todos y todos , donde , es la función iterada n veces. [8]
![{\displaystyle x\en E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f^{n}(x)\neq x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las soluciones analíticas (coordenadas de Fatou) se pueden aproximar mediante la expansión asintótica de una función definida por series de potencias en los sectores alrededor de un punto fijo parabólico . [9] La solución analítica es única hasta una constante. [10]
Ver también
Referencias
- ^ Aczél, János , (1966): Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones , Academic Press , reimpreso por Dover Publications, ISBN 0486445232 .
- ^ Abel, Nueva Hampshire (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1 : 11-15.
- ^ AR Schweitzer (1912). "Teoremas sobre ecuaciones funcionales". Toro. América. Matemáticas. Soc . 19 (2): 51–106. doi : 10.1090/S0002-9904-1912-02281-4 .
- ^ Korkine, A (1882). "Sobre un problema de interpolación", Bull Sci Math & Astron 6 (1) 228—242. en línea
- ^ G. Belitskii; Yu. Lubish (1999). "Las soluciones analíticas reales de las ecuaciones funcionales de Abel" (PDF) . Estudios Matemáticos . 134 (2): 135-141.
- ^ Jitka Laitochová (2007). "Iteración grupal de la ecuación funcional de Abel". Análisis no lineal: sistemas híbridos . 1 (1): 95-102. doi :10.1016/j.nahs.2006.04.002.
- ^ G. Belitskii; Yu. Lubish (1998). "La ecuación de Abel y la solubilidad total de ecuaciones funcionales lineales" (PDF) . Estudios Matemáticos . 127 : 81–89.
- ^ R. Tambs Lyche, Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, Universidad de Trondlyim, Noruega
- ^ Dudko, Artem (2012). Dinámica de mapas holomórficos: resurgimiento de las coordenadas de Fatou y computabilidad politemporal de los conjuntos de Julia Ph.D. Tesis
- ^ Clasificaciones de gérmenes parabólicos y propiedades fractales de órbitas por Maja Resman, Universidad de Zagreb, Croacia