Teoría del control

Rama de ingeniería y matemáticas.

La teoría del control es un campo de la ingeniería eléctrica y las matemáticas aplicadas que se ocupa del control de sistemas dinámicos en procesos y máquinas de ingeniería. El objetivo es desarrollar un modelo o algoritmo que gobierne la aplicación de las entradas del sistema para conducir el sistema a un estado deseado, minimizando al mismo tiempo cualquier retraso , sobreimpulso o error de estado estable y garantizando un nivel de estabilidad de control ; a menudo con el objetivo de lograr un grado de optimización .

Para ello se necesita un controlador con el comportamiento correctivo necesario. Este controlador monitorea la variable de proceso controlada (PV) y la compara con la referencia o punto de ajuste (SP). La diferencia entre el valor real y deseado de la variable de proceso, llamada señal de error o error SP-PV, se aplica como retroalimentación para generar una acción de control para llevar la variable de proceso controlada al mismo valor que el punto de ajuste. Otros aspectos que también se estudian son la controlabilidad y la observabilidad . La teoría del control se utiliza en la ingeniería de sistemas de control para diseñar la automatización que ha revolucionado la fabricación, la aviación, las comunicaciones y otras industrias, y ha creado nuevos campos como la robótica .

Generalmente se hace un uso extensivo de un estilo esquemático conocido como diagrama de bloques . En él, la función de transferencia , también conocida como función del sistema o función de red, es un modelo matemático de la relación entre la entrada y la salida basado en las ecuaciones diferenciales que describen el sistema.

La teoría del control data del siglo XIX, cuando James Clerk Maxwell describió por primera vez la base teórica para el funcionamiento de los gobernadores . ^[1] La teoría del control fue avanzada por Edward Routh en 1874, Charles Sturm y en 1895, Adolf Hurwitz , quienes contribuyeron al establecimiento de criterios de estabilidad del control; y a partir de 1922, el desarrollo de la teoría del control PID por parte de Nicolas Minorsky . ^[2] Aunque una aplicación importante de la teoría del control matemático es la ingeniería de sistemas de control , que se ocupa del diseño de sistemas de control de procesos para la industria, otras aplicaciones van mucho más allá de esto. Como teoría general de los sistemas de retroalimentación, la teoría del control es útil dondequiera que se produzca retroalimentación; por lo tanto, la teoría del control también tiene aplicaciones en las ciencias biológicas, la ingeniería informática, la sociología y la investigación de operaciones . ^[3]

Historia

Gobernador centrífugo en un motor Boulton & Watt de 1788

Aunque los sistemas de control de diversos tipos se remontan a la antigüedad, un análisis más formal del campo comenzó con un análisis dinámico del gobernador centrífugo , realizado por el físico James Clerk Maxwell en 1868, titulado Sobre los gobernadores . ^[4] Ya se utilizaba un gobernador centrífugo para regular la velocidad de los molinos de viento. ^[5] Maxwell describió y analizó el fenómeno de la autooscilación , en el que los retrasos en el sistema pueden conducir a una sobrecompensación y un comportamiento inestable. Esto generó una oleada de interés en el tema, durante la cual el compañero de clase de Maxwell, Edward John Routh , resumió los resultados de Maxwell para la clase general de sistemas lineales. ^[6] De forma independiente, Adolf Hurwitz analizó la estabilidad del sistema utilizando ecuaciones diferenciales en 1877, lo que dio como resultado lo que ahora se conoce como el teorema de Routh-Hurwitz . ^{[7] [8]}

Una aplicación notable del control dinámico se produjo en el ámbito del vuelo tripulado. Los hermanos Wright realizaron sus primeros vuelos de prueba con éxito el 17 de diciembre de 1903 y se distinguieron por su capacidad para controlar sus vuelos durante períodos sustanciales (más que la capacidad de producir sustentación desde un perfil aerodinámico, como se sabía). Para vuelos que duraran más de unos pocos segundos era necesario un control continuo y fiable del avión.

En la Segunda Guerra Mundial , la teoría del control se estaba convirtiendo en un área importante de investigación. Irmgard Flügge-Lotz desarrolló la teoría de los sistemas de control automático discontinuo y aplicó el principio bang-bang al desarrollo de equipos de control automático de vuelo para aviones. ^{[9] [10]} Otras áreas de aplicación de controles discontinuos incluyeron sistemas de control de incendios , sistemas de guía y electrónica .

A veces, se utilizan métodos mecánicos para mejorar la estabilidad de los sistemas. Por ejemplo, los estabilizadores de barcos son aletas montadas debajo de la línea de flotación y que emergen lateralmente. En los buques contemporáneos, pueden ser aletas activas controladas giroscópicamente, que tienen la capacidad de cambiar su ángulo de ataque para contrarrestar el balanceo provocado por el viento o las olas que actúan sobre el barco.

La carrera espacial también dependía del control preciso de las naves espaciales, y la teoría del control también ha visto un uso cada vez mayor en campos como la economía y la inteligencia artificial. Aquí, se podría decir que el objetivo es encontrar un modelo interno que obedezca el teorema del buen regulador . Así, por ejemplo, en economía, cuanto más exactamente un modelo de negociación (de acciones o de materias primas) represente las acciones del mercado, más fácilmente podrá controlar ese mercado (y extraer "trabajo útil" (beneficios) de él). En IA, un ejemplo podría ser un chatbot que modela el estado del discurso de los humanos: cuanto más exactamente pueda modelar el estado humano (por ejemplo, en una línea telefónica directa de soporte de voz), mejor podrá manipular al ser humano (por ejemplo, para que realice acciones correctivas). para solucionar el problema que provocó la llamada telefónica a la línea de ayuda). Estos dos últimos ejemplos toman la estrecha interpretación histórica de la teoría del control como un conjunto de ecuaciones diferenciales que modelan y regulan el movimiento cinético, y la amplían hasta convertirla en una amplia generalización de un regulador que interactúa con una planta .

Control de bucle abierto y cerrado (retroalimentación)

Básicamente, existen dos tipos de bucle de control: control de bucle abierto (feedforward) y control de bucle cerrado (feedback).

Un temporizador electromecánico, normalmente utilizado para el control de bucle abierto basado puramente en una secuencia de temporización, sin retroalimentación del proceso.

En el control de bucle abierto, la acción de control del controlador es independiente de la "salida del proceso" (o "variable de proceso controlada"). Un buen ejemplo de esto es una caldera de calefacción central controlada únicamente por un temporizador, de modo que se aplica calor durante un tiempo constante, independientemente de la temperatura del edificio. La acción de control es el encendido/apagado de la caldera, pero la variable controlada debe ser la temperatura del edificio, pero no es así porque se trata de un control de bucle abierto de la caldera, que no proporciona un control de bucle cerrado de la temperatura.

En el control de circuito cerrado, la acción de control del controlador depende de la salida del proceso. En el caso de la analogía de la caldera, esto incluiría un termostato para monitorear la temperatura del edificio y, por lo tanto, enviar una señal para garantizar que el controlador mantenga el edificio a la temperatura establecida en el termostato. Por lo tanto, un controlador de circuito cerrado tiene un circuito de retroalimentación que garantiza que el controlador ejerza una acción de control para proporcionar una salida del proceso igual a la "entrada de referencia" o "punto de ajuste". Por este motivo, los controladores de bucle cerrado también se denominan controladores de retroalimentación. ^[11]

La definición de un sistema de control de circuito cerrado según la British Standard Institution es "un sistema de control que posee retroalimentación de monitoreo, utilizándose la señal de desviación formada como resultado de esta retroalimentación para controlar la acción de un elemento de control final de tal manera que tienden a reducir la desviación a cero." ^[12]

Asimismo; "Un sistema de control de retroalimentación es un sistema que tiende a mantener una relación prescrita de una variable del sistema con otra comparando funciones de estas variables y utilizando la diferencia como medio de control". ^[13]

Teoría de control clásica

Ejemplo de un único circuito de control industrial; mostrando un control continuamente modulado del flujo del proceso.

Un controlador de bucle cerrado o controlador de retroalimentación es un bucle de control que incorpora retroalimentación , a diferencia de un controlador de bucle abierto o controlador sin retroalimentación . Un controlador de circuito cerrado utiliza retroalimentación para controlar estados o salidas de un sistema dinámico . Su nombre proviene de la ruta de información en el sistema: las entradas del proceso (p. ej., voltaje aplicado a un motor eléctrico ) tienen un efecto sobre las salidas del proceso (p. ej., velocidad o par del motor), que se mide con sensores y se procesa por el controlador; el resultado (la señal de control) se "realimenta" como entrada al proceso, cerrando el ciclo. ^[14]

En el caso de los sistemas de retroalimentación lineal , se organiza un bucle de control que incluye sensores , algoritmos de control y actuadores en un intento de regular una variable en un punto de ajuste (SP). Un ejemplo cotidiano es el control de crucero de un vehículo de carretera; donde influencias externas, como colinas, provocarían cambios de velocidad y el conductor tiene la capacidad de modificar la velocidad establecida deseada. El algoritmo PID en el controlador restablece la velocidad real a la velocidad deseada de una manera óptima, con un retraso mínimo o exceso , controlando la potencia de salida del motor del vehículo. Los sistemas de control que incluyen cierta percepción de los resultados que están tratando de lograr utilizan la retroalimentación y pueden adaptarse a circunstancias variables hasta cierto punto. Los sistemas de control de bucle abierto no utilizan retroalimentación y funcionan únicamente de maneras preestablecidas.

Los controladores de lazo cerrado tienen las siguientes ventajas sobre los controladores de lazo abierto:

• Rechazo de perturbaciones (como colinas en el ejemplo de control de crucero anterior)
• Rendimiento garantizado incluso con incertidumbres en el modelo , cuando la estructura del modelo no coincide perfectamente con el proceso real y los parámetros del modelo no son exactos.
• Los procesos inestables se pueden estabilizar.
• sensibilidad reducida a las variaciones de parámetros
• rendimiento de seguimiento de referencia mejorado
• rectificación mejorada de fluctuaciones aleatorias ^[15]

En algunos sistemas, el control de bucle cerrado y el de bucle abierto se utilizan simultáneamente. En tales sistemas, el control de bucle abierto se denomina avance y sirve para mejorar aún más el rendimiento del seguimiento de referencia.

Una arquitectura de controlador de circuito cerrado común es el controlador PID .

Un circuito de retroalimentación básico

Teoría de control lineal y no lineal.

El campo de la teoría del control se puede dividir en dos ramas:

• Teoría de control lineal : esto se aplica a sistemas hechos de dispositivos que obedecen al principio de superposición , lo que significa aproximadamente que la salida es proporcional a la entrada. Se rigen por ecuaciones diferenciales lineales . Una subclase importante son los sistemas que además tienen parámetros que no cambian con el tiempo, llamados sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Estos sistemas son susceptibles de potentes técnicas matemáticas en el dominio de la frecuencia de gran generalidad, como la transformada de Laplace , la transformada de Fourier , la transformada Z , el diagrama de Bode , el lugar geométrico de las raíces y el criterio de estabilidad de Nyquist . Estos conducen a una descripción del sistema utilizando términos como ancho de banda , respuesta de frecuencia , valores propios , ganancia , frecuencias resonantes , ceros y polos , que brindan soluciones para la respuesta del sistema y técnicas de diseño para la mayoría de los sistemas de interés.
• Teoría de control no lineal : cubre una clase más amplia de sistemas que no obedecen el principio de superposición y se aplica a más sistemas del mundo real porque todos los sistemas de control reales son no lineales. Estos sistemas suelen estar gobernados por ecuaciones diferenciales no lineales . Las pocas técnicas matemáticas que se han desarrollado para manejarlos son más difíciles y mucho menos generales, aplicándose a menudo sólo a categorías estrechas de sistemas. Estos incluyen la teoría del ciclo límite , los mapas de Poincaré , el teorema de estabilidad de Lyapunov y las funciones descriptivas . Los sistemas no lineales suelen analizarse mediante métodos numéricos en ordenadores, por ejemplo simulando su funcionamiento mediante un lenguaje de simulación . Si sólo son de interés soluciones cercanas a un punto estable, los sistemas no lineales a menudo se pueden linealizar aproximandolos mediante un sistema lineal utilizando la teoría de perturbaciones , y se pueden utilizar técnicas lineales. ^[dieciséis]

Técnicas de análisis: dominio de la frecuencia y dominio del tiempo.

Las técnicas matemáticas para analizar y diseñar sistemas de control se dividen en dos categorías diferentes:

• Dominio de frecuencia : en este tipo, los valores de las variables de estado , las variables matemáticasque representan la entrada, salida y retroalimentación del sistema, se representan como funciones de frecuencia . La señal de entrada y la función de transferencia del sistemase convierten de funciones de tiempo a funciones de frecuencia mediante una transformada como la transformada de Fourier , la transformada de Laplace o la transformada Z. La ventaja de esta técnica es que resulta en una simplificación de las matemáticas; las ecuaciones diferenciales que representan el sistema se reemplazan por ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia que son mucho más sencillas de resolver. Sin embargo, las técnicas en el dominio de la frecuencia sólo se pueden utilizar con sistemas lineales, como se mencionó anteriormente.
• Representación del espacio de estados en el dominio del tiempo : en este tipo, los valores de las variables de estado se representan como funciones del tiempo. Con este modelo, el sistema que se analiza está representado por una o más ecuaciones diferenciales . Dado que las técnicas en el dominio de la frecuencia se limitan a sistemas lineales , el dominio del tiempo se utiliza ampliamente para analizar sistemas no lineales del mundo real. Aunque estos son más difíciles de resolver, las técnicas modernas de simulación por computadora, como los lenguajes de simulación, han convertido su análisis en una rutina.

En contraste con el análisis en el dominio de la frecuencia de la teoría de control clásica, la teoría de control moderna utiliza la representación del espacio de estados en el dominio del tiempo , ^{[ cita necesaria ]} un modelo matemático de un sistema físico como un conjunto de variables de entrada, salida y estado relacionadas por primera vez. ordenar ecuaciones diferenciales. Para hacer abstracción del número de entradas, salidas y estados, las variables se expresan como vectores y las ecuaciones diferenciales y algebraicas se escriben en forma matricial (esto último sólo es posible cuando el sistema dinámico es lineal). La representación del espacio de estados (también conocida como "enfoque en el dominio del tiempo") proporciona una manera conveniente y compacta de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. Con entradas y salidas, de otro modo tendríamos que escribir transformadas de Laplace para codificar toda la información sobre un sistema. A diferencia del enfoque en el dominio de la frecuencia, el uso de la representación en el espacio de estados no se limita a sistemas con componentes lineales y condiciones iniciales cero. "Espacio de estados" se refiere al espacio cuyos ejes son las variables de estado. El estado del sistema se puede representar como un punto dentro de ese espacio. ^{[17] [18]}

Interfaz del sistema: SISO y MIMO

Los sistemas de control se pueden dividir en diferentes categorías según la cantidad de entradas y salidas.

• Entrada única y salida única (SISO): este es el tipo más simple y común, en el que una salida está controlada por una señal de control. Algunos ejemplos son el ejemplo de control de crucero anterior, o un sistema de audio , en el que la entrada de control es la señal de audio de entrada y la salida son las ondas de sonido del altavoz.
• Múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO): se encuentran en sistemas más complicados. Por ejemplo, los grandes telescopios modernos, como el Keck y el MMT, tienen espejos compuestos por muchos segmentos separados, cada uno controlado por un actuador . La forma de todo el espejo se ajusta constantemente mediante un sistema de control de óptica activa MIMO que utiliza entradas de múltiples sensores en el plano focal, para compensar los cambios en la forma del espejo debido a la expansión térmica, la contracción, las tensiones a medida que gira y la distorsión del Frente de onda debido a la turbulencia en la atmósfera. Sistemas complicados como reactores nucleares y células humanas se simulan mediante un ordenador como grandes sistemas de control MIMO.

Diseño clásico del sistema SISO

El alcance de la teoría de control clásica se limita al diseño de sistemas de una sola entrada y una sola salida (SISO), excepto cuando se analiza el rechazo de perturbaciones utilizando una segunda entrada. El análisis del sistema se lleva a cabo en el dominio del tiempo mediante ecuaciones diferenciales , en el dominio de los complejos con la transformada de Laplace , o en el dominio de la frecuencia mediante transformaciones desde el dominio de los complejos. Se puede suponer que muchos sistemas tienen una respuesta de segundo orden y una sola variable en el dominio del tiempo. Un controlador diseñado utilizando la teoría clásica a menudo requiere ajuste en sitio debido a aproximaciones de diseño incorrectas. Sin embargo, debido a la implementación física más sencilla de los diseños de controladores clásicos en comparación con los sistemas diseñados utilizando la teoría de control moderna, estos controladores se prefieren en la mayoría de las aplicaciones industriales. Los controladores más comunes diseñados utilizando la teoría de control clásica son los controladores PID . Una implementación menos común puede incluir un filtro de adelanto o de retraso, o ambos. El objetivo final es cumplir con los requisitos típicamente proporcionados en el dominio del tiempo llamado respuesta escalonada, o en ocasiones en el dominio de la frecuencia llamado respuesta de bucle abierto. Las características de respuesta escalonada aplicadas en una especificación suelen ser porcentaje de exceso, tiempo de estabilización, etc. Las características de respuesta de bucle abierto aplicadas en una especificación suelen ser margen de ganancia y fase y ancho de banda. Estas características pueden evaluarse mediante simulación incluyendo un modelo dinámico del sistema bajo control acoplado al modelo de compensación.

Diseño moderno del sistema MIMO

La teoría de control moderna se lleva a cabo en el espacio de estados y puede abordar sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO). Esto supera las limitaciones de la teoría de control clásica en problemas de diseño más sofisticados, como el control de aviones de combate, con la limitación de que no es posible realizar un análisis en el dominio de la frecuencia. En el diseño moderno, un sistema se representa con la mayor ventaja como un conjunto de ecuaciones diferenciales desacopladas de primer orden definidas utilizando variables de estado . En esta división se incluyen las teorías de control no lineales , multivariables, adaptativas y robustas . Los métodos matriciales están significativamente limitados para los sistemas MIMO donde no se puede garantizar la independencia lineal en la relación entre entradas y salidas ^{[ cita requerida ]} . Al ser bastante nueva, la teoría del control moderna tiene muchas áreas aún por explorar. Académicos como Rudolf E. Kálmán y Aleksandr Lyapunov son bien conocidos entre las personas que han dado forma a la teoría del control moderna.

Temas de la teoría del control.

Estabilidad

La estabilidad de un sistema dinámico general sin entrada se puede describir con los criterios de estabilidad de Lyapunov .

• Un sistema lineal se llama estable de entrada limitada y salida limitada (BIBO) si su salida permanecerá limitada para cualquier entrada limitada.
• La estabilidad de los sistemas no lineales que toman una entrada es la estabilidad de entrada a estado (ISS), que combina la estabilidad de Lyapunov y una noción similar a la estabilidad BIBO.

Para simplificar, las siguientes descripciones se centran en sistemas lineales de tiempo continuo y discreto .

Matemáticamente, esto significa que para que un sistema lineal causal sea estable todos los polos de su función de transferencia deben tener valores reales negativos, es decir, la parte real de cada polo debe ser menor que cero. En términos prácticos, la estabilidad requiere que los polos complejos de la función de transferencia residan

• en la mitad izquierda abierta del plano complejo para tiempo continuo, cuando se utiliza la transformada de Laplace para obtener la función de transferencia.
• dentro del círculo unitario para tiempo discreto, cuando se utiliza la transformada Z.

La diferencia entre los dos casos se debe simplemente al método tradicional de trazar funciones de transferencia de tiempo continuo versus tiempo discreto. La transformada continua de Laplace está en coordenadas cartesianas donde el eje es el eje real y la transformada Z discreta está en coordenadas circulares donde el eje es el eje real. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho }$

Cuando se satisfacen las condiciones apropiadas anteriores, se dice que un sistema es asintóticamente estable ; las variables de un sistema de control asintóticamente estable siempre disminuyen desde su valor inicial y no muestran oscilaciones permanentes. Las oscilaciones permanentes ocurren cuando un polo tiene una parte real exactamente igual a cero (en el caso del tiempo continuo) o un módulo igual a uno (en el caso del tiempo discreto). Si la respuesta de un sistema simplemente estable no decae ni crece con el tiempo y no tiene oscilaciones, es marginalmente estable ; en este caso la función de transferencia del sistema tiene polos no repetidos en el origen del plano complejo (es decir, su componente real y complejo es cero en el caso de tiempo continuo). Las oscilaciones se presentan cuando los polos con parte real igual a cero tienen una parte imaginaria distinta de cero.

Si un sistema en cuestión tiene una respuesta impulsiva de

${\displaystyle \ x[n]=0.5^{n}u[n]}$

entonces la transformada Z (ver este ejemplo ), viene dada por

${\displaystyle \ X(z)={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}}$

que tiene un polo en ( parte imaginaria cero ). Este sistema es BIBO (asintóticamente) estable ya que el polo está dentro del círculo unitario. ${\displaystyle z=0.5}$

Sin embargo, si la respuesta al impulso fuese

${\displaystyle \ x[n]=1.5^{n}u[n]}$

entonces la transformada Z es

${\displaystyle \ X(z)={\frac {1}{1-1.5z^{-1}}}}$

que tiene un polo en y no es BIBO estable ya que el polo tiene un módulo estrictamente mayor que uno. ${\displaystyle z=1.5}$

Existen numerosas herramientas para el análisis de los polos de un sistema. Estos incluyen sistemas gráficos como el lugar de las raíces , los diagramas de Bode o los diagramas de Nyquist .

Los cambios mecánicos pueden hacer que los equipos (y los sistemas de control) sean más estables. Los marineros añaden lastre para mejorar la estabilidad de los barcos. Los cruceros utilizan aletas antivuelco que se extienden transversalmente desde el costado del barco unos 30 pies (10 m) y giran continuamente alrededor de sus ejes para desarrollar fuerzas que se oponen al balanceo.

Controlabilidad y observabilidad.

La controlabilidad y la observabilidad son cuestiones principales en el análisis de un sistema antes de decidir la mejor estrategia de control a aplicar, o si es posible controlar o estabilizar el sistema. La controlabilidad está relacionada con la posibilidad de forzar al sistema a un estado particular mediante el uso de una señal de control adecuada. Si un estado no es controlable, entonces ninguna señal podrá controlarlo. Si un estado no es controlable, pero su dinámica es estable, entonces el estado se denomina estabilizable . La observabilidad en cambio está relacionada con la posibilidad de observar , a través de mediciones de salida, el estado de un sistema. Si un estado no es observable, el controlador nunca podrá determinar el comportamiento de un estado no observable y, por tanto, no podrá utilizarlo para estabilizar el sistema. Sin embargo, de manera similar a la condición de estabilización anterior, si un estado no puede observarse, aún podría ser detectable.

Desde un punto de vista geométrico, mirando los estados de cada variable del sistema a controlar, cada estado "malo" de estas variables debe ser controlable y observable para asegurar un buen comportamiento en el sistema en lazo cerrado. Es decir, si uno de los valores propios del sistema no es controlable ni observable, esta parte de la dinámica permanecerá intacta en el sistema de circuito cerrado. Si dicho valor propio no es estable, la dinámica de este valor propio estará presente en el sistema de circuito cerrado que, por tanto, será inestable. Los polos no observables no están presentes en la realización de la función de transferencia de una representación en el espacio de estados, razón por la cual a veces se prefiere esta última en el análisis de sistemas dinámicos.

Las soluciones a los problemas de un sistema incontrolable o no observable incluyen agregar actuadores y sensores.

Especificación de control

En los últimos años se han ideado varias estrategias de control diferentes. Estos varían desde unos extremadamente generales (controlador PID), hasta otros dedicados a clases de sistemas muy particulares (especialmente robótica o control de crucero de aviones).

Un problema de control puede tener varias especificaciones. La estabilidad, por supuesto, siempre está presente. El controlador debe garantizar que el sistema de circuito cerrado sea estable, independientemente de la estabilidad del circuito abierto. Una mala elección del controlador puede incluso empeorar la estabilidad del sistema, lo que normalmente debe evitarse. A veces sería deseable obtener una dinámica particular en el circuito cerrado: es decir, que los polos tengan , donde hay un valor fijo estrictamente mayor que cero, en lugar de simplemente preguntar eso . ${\displaystyle Re[\lambda ]<-{\overline {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$ ${\displaystyle Re[\lambda ]<0}$

Otra especificación típica es el rechazo de una perturbación escalonada; incluir un integrador en la cadena de bucle abierto (es decir, directamente antes del sistema bajo control) logra esto fácilmente. Otras clases de perturbaciones necesitan que se incluyan diferentes tipos de subsistemas.

Otras especificaciones de la teoría de control "clásica" se refieren a la respuesta temporal del sistema de circuito cerrado. Estos incluyen el tiempo de subida (el tiempo que necesita el sistema de control para alcanzar el valor deseado después de una perturbación), el sobrepaso de pico (el valor más alto alcanzado por la respuesta antes de alcanzar el valor deseado) y otros ( tiempo de estabilización , cuarto de caída). Las especificaciones en el dominio de la frecuencia suelen estar relacionadas con la robustez (ver más adelante).

Las evaluaciones de desempeño modernas utilizan alguna variación del error de seguimiento integrado (IAE, ISA, CQI).

Identificación del modelo y robustez.

Un sistema de control siempre debe tener alguna propiedad de robustez. Un controlador robusto es tal que sus propiedades no cambian mucho si se aplica a un sistema ligeramente diferente al matemático utilizado para su síntesis. Este requisito es importante, ya que ningún sistema físico real se comporta realmente como la serie de ecuaciones diferenciales utilizadas para representarlo matemáticamente. Normalmente se elige un modelo matemático más simple para simplificar los cálculos; de lo contrario, la verdadera dinámica del sistema puede ser tan complicada que un modelo completo sea imposible.

Identificación del sistema

El proceso de determinar las ecuaciones que gobiernan la dinámica del modelo se llama identificación del sistema . Esto se puede hacer fuera de línea: por ejemplo, ejecutando una serie de medidas a partir de las cuales calcular un modelo matemático aproximado, típicamente su función o matriz de transferencia. Sin embargo, tal identificación a partir del resultado no puede tener en cuenta dinámicas no observables. A veces el modelo se construye directamente a partir de ecuaciones físicas conocidas, por ejemplo, en el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador sabemos que . Incluso suponiendo que se utilice un modelo "completo" para diseñar el controlador, todos los parámetros incluidos en estas ecuaciones (llamados "parámetros nominales") nunca se conocen con absoluta precisión; el sistema de control tendrá que comportarse correctamente incluso cuando esté conectado a un sistema físico con valores de parámetros reales alejados de los nominales. ${\displaystyle m{\ddot {x}}(t)=-Kx(t)-\mathrm {B} {\dot {x}}(t)}$

Algunas técnicas de control avanzadas incluyen un proceso de identificación "en línea" (ver más adelante). Los parámetros del modelo se calculan ("identifican") mientras el controlador está en funcionamiento. De este modo, si se produce una variación drástica de los parámetros, por ejemplo si el brazo del robot suelta un peso, el controlador se ajustará en consecuencia para garantizar el correcto funcionamiento.

Análisis

El análisis de la robustez de un sistema de control SISO (single input single outout) se puede realizar en el dominio de la frecuencia, considerando la función de transferencia del sistema y utilizando diagramas de Nyquist y Bode . Los temas incluyen ganancia y margen de fase y margen de amplitud. Para MIMO (multi-input multi-output) y, en general, sistemas de control más complicados, se deben considerar los resultados teóricos ideados para cada técnica de control (ver siguiente sección). Es decir, si se necesitan cualidades de robustez particulares, el ingeniero debe centrar su atención en una técnica de control incluyendo estas cualidades en sus propiedades.

Restricciones

Una cuestión particular de robustez es el requisito de que un sistema de control funcione correctamente en presencia de restricciones de entrada y de estado. En el mundo físico cada señal es limitada. Podría suceder que un controlador envíe señales de control que el sistema físico no pueda seguir, por ejemplo, al intentar girar una válvula a velocidad excesiva. Esto puede provocar un comportamiento no deseado del sistema de circuito cerrado o incluso dañar o romper los actuadores u otros subsistemas. Se encuentran disponibles técnicas de control específicas para resolver el problema: control predictivo de modelos (ver más adelante) y sistemas anti-wind up . Este último consta de un bloque de control adicional que garantiza que la señal de control nunca supere un umbral determinado.

Clasificaciones del sistema

Control de sistemas lineales

Para los sistemas MIMO, la colocación de los polos se puede realizar matemáticamente utilizando una representación en el espacio de estados del sistema de bucle abierto y calculando una matriz de retroalimentación que asigna los polos en las posiciones deseadas. En sistemas complicados, esto puede requerir capacidades de cálculo asistidas por computadora y no siempre puede garantizar la solidez. Además, en general no se miden todos los estados del sistema, por lo que se deben incluir e incorporar observadores en el diseño de colocación de postes.

Control de sistemas no lineales

Los procesos en industrias como la robótica y la industria aeroespacial suelen tener una fuerte dinámica no lineal. En la teoría del control a veces es posible linealizar tales clases de sistemas y aplicar técnicas lineales, pero en muchos casos puede ser necesario idear desde cero teorías que permitan el control de sistemas no lineales. Estos, por ejemplo, linealización de retroalimentación , retroceso , control de modo deslizante , control de linealización de trayectoria normalmente aprovechan los resultados basados ​​en la teoría de Lyapunov . La geometría diferencial se ha utilizado ampliamente como herramienta para generalizar conceptos de control lineal bien conocidos al caso no lineal, además de mostrar las sutilezas que lo convierten en un problema más desafiante. La teoría del control también se ha utilizado para descifrar el mecanismo neuronal que dirige los estados cognitivos. ^[19]

Control de sistemas descentralizados

Cuando el sistema está controlado por múltiples controladores, el problema es de control descentralizado. La descentralización es útil de muchas maneras; por ejemplo, ayuda a que los sistemas de control operen en un área geográfica más grande. Los agentes de los sistemas de control descentralizados pueden interactuar utilizando canales de comunicación y coordinar sus acciones.

Control de sistemas determinísticos y estocásticos.

Un problema de control estocástico es aquel en el que la evolución de las variables de estado está sujeta a shocks aleatorios externos al sistema. Un problema de control determinista no está sujeto a shocks aleatorios externos.

Principales estrategias de control

Todo sistema de control debe garantizar en primer lugar la estabilidad del comportamiento en bucle cerrado. Para sistemas lineales , esto se puede obtener colocando directamente los polos. Los sistemas de control no lineal utilizan teorías específicas (normalmente basadas en la teoría de Aleksandr Lyapunov ) para garantizar la estabilidad sin tener en cuenta la dinámica interna del sistema. La posibilidad de cumplir diferentes especificaciones varía según el modelo considerado y la estrategia de control elegida.

Lista de las principales técnicas de control.

• El control óptimo es una técnica de control particular en la que la señal de control optimiza un determinado "índice de coste": por ejemplo, en el caso de un satélite, los empujes del jet necesarios para llevarlo a la trayectoria deseada que consume la menor cantidad de combustible. Se han utilizado ampliamente dos métodos de diseño de control óptimo en aplicaciones industriales, ya que se ha demostrado que pueden garantizar la estabilidad en bucle cerrado. Estos son el control predictivo de modelo (MPC) y el control gaussiano lineal-cuadrático (LQG). El primero puede tener en cuenta más explícitamente las limitaciones de las señales en el sistema, lo cual es una característica importante en muchos procesos industriales. Sin embargo, la estructura de "control óptimo" en MPC es sólo un medio para lograr tal resultado, ya que no optimiza un índice de rendimiento real del sistema de control de circuito cerrado. Junto con los controladores PID, los sistemas MPC son la técnica de control más utilizada en el control de procesos .
• El control robusto aborda explícitamente la incertidumbre en su enfoque del diseño del controlador. Los controladores diseñados utilizando métodos de control robustos tienden a ser capaces de hacer frente a pequeñas diferencias entre el sistema real y el modelo nominal utilizado para el diseño. ^[20] Los primeros métodos de Bode y otros eran bastante sólidos; En ocasiones se descubrió que los métodos del espacio de estados inventados en las décadas de 1960 y 1970 carecían de solidez. Ejemplos de técnicas modernas de control robusto incluyen la configuración de bucle H-infinito desarrollada por Duncan McFarlane y Keith Glover , el control de modo deslizante (SMC) desarrollado por Vadim Utkin y protocolos seguros diseñados para el control de grandes poblaciones heterogéneas de cargas eléctricas en aplicaciones de Smart Power Grid. . ^[21] Los métodos robustos tienen como objetivo lograr un rendimiento y/o estabilidad robustos en presencia de pequeños errores de modelado.
• El control estocástico se ocupa del diseño de control con incertidumbre en el modelo. En problemas típicos de control estocástico, se supone que existen ruidos y perturbaciones aleatorios en el modelo y el controlador, y el diseño de control debe tener en cuenta estas desviaciones aleatorias.
• El control adaptativo utiliza la identificación en línea de los parámetros del proceso o la modificación de las ganancias del controlador, obteniendo así fuertes propiedades de robustez. Los controles adaptativos se aplicaron por primera vez en la industria aeroespacial en la década de 1950 y han tenido especial éxito en ese campo.
• Un sistema de control jerárquico es un tipo de sistema de control en el que un conjunto de dispositivos y software de gobierno está dispuesto en un árbol jerárquico . Cuando los enlaces en el árbol son implementados por una red informática , entonces ese sistema de control jerárquico es también una forma de sistema de control en red .
• El control inteligente utiliza varios enfoques informáticos de IA, como redes neuronales artificiales , probabilidad bayesiana , lógica difusa , ^[22] aprendizaje automático , computación evolutiva y algoritmos genéticos o una combinación de estos métodos, como algoritmos neurodifusos , para controlar un sistema dinámico .
• El control de criticidad autoorganizado puede definirse como intentos de interferir en los procesos mediante los cuales el sistema autoorganizado disipa energía.

Personas en sistemas y control.

Muchas figuras históricas y activas hicieron contribuciones significativas a la teoría del control, incluidas

• Pierre-Simon Laplace inventó la transformada Z en su trabajo sobre teoría de la probabilidad , que ahora se utiliza para resolver problemas de teoría de control de tiempo discreto. La transformada Z es un equivalente en tiempo discreto de la transformada de Laplace que lleva su nombre.
• Irmgard Flugge-Lotz desarrolló la teoría del control automático discontinuo y la aplicó a los sistemas de control automático de aeronaves .
• Alexander Lyapunov en la década de 1890 marca el comienzo de la teoría de la estabilidad .
• Harold S. Black inventó el concepto de amplificadores de retroalimentación negativa en 1927. Logró desarrollar amplificadores de retroalimentación negativa estables en la década de 1930.
• Harry Nyquist desarrolló el criterio de estabilidad de Nyquist para sistemas de retroalimentación en la década de 1930.
• Richard Bellman desarrolló la programación dinámica en la década de 1940. ^[23]
• Warren E. Dixon , teórico del control y profesor
• Kyriakos G. Vamvoudakis, desarrolló algoritmos de aprendizaje por refuerzo sincrónico para resolver problemas de control óptimo y teoría de juegos.
• Andrey Kolmogorov codesarrolló el filtro Wiener-Kolmogorov en 1941.
• Norbert Wiener codesarrolló el filtro Wiener-Kolmogorov y acuñó el término cibernética en la década de 1940.
• John R. Ragazzini introdujo el control digital y el uso de la transformada Z en la teoría del control (inventada por Laplace) en la década de 1950.
• Lev Pontryagin introdujo el principio de máximo y el principio de bang-bang .
• Pierre-Louis Lions desarrolló soluciones de viscosidad en control estocástico y métodos de control óptimos .
• Rudolf E. Kálmán fue pionero en el enfoque del espacio de estados para los sistemas y el control. Introdujo las nociones de controlabilidad y observabilidad . Desarrolló el filtro de Kalman para estimación lineal.
• Ali H. Nayfeh , uno de los principales contribuyentes a la teoría del control no lineal y publicó muchos libros sobre métodos de perturbación.
• Jan C. Willems Introdujo el concepto de disipación, como una generalización de la función de Lyapunov a sistemas de entrada/estado/salida. La construcción de la función de almacenamiento, como se llama el análogo de una función de Lyapunov, condujo al estudio de la desigualdad matricial lineal (LMI) en la teoría del control. Fue pionero en el enfoque conductual de la teoría de sistemas matemáticos.

Ver también

• Portal de ciencia de sistemas

Ejemplos de sistemas de control.

• Automatización
• Controlador inactivo
• Sistemas de parámetros distribuidos
• Control de orden fraccionario
• Conformación de bucle H-infinito
• Sistema de control jerárquico
• Control predictivo del modelo
• Control óptimo
• Control de procesos
• Control robusto
• Servomecanismo
• Espacio de estados (controles)
• Control de vectores

Temas de la teoría del control.

• Método del diagrama de coeficientes
• Reconfiguración de controles
• Comentario
• h infinito
• valor singular de Hankel
• teorema de krener
• Compensador de adelanto y retraso
• Retroalimentación de bucle menor
• Retroalimentación de múltiples bucles
• Sistemas positivos
• Funcion de base radial
• Lugar de la raíz
• Gráficos de flujo de señal
• Polinomio estable
• Representación del espacio de estados
• Estado estable
• Respuesta transitoria
• Estado transitorio
• Subactivación
• Parametrización de Youla-Kucera
• Método de aproximación de la cadena de Markov

Otros temas relacionados

• Sistema adaptativo
• Automatización y control remoto
• Gráfico de bonos
• Ingeniería de control
• Bucle de control-retroalimentación-aborto
• Controlador (teoría del control)
• Cibernética
• control inteligente
• Teoría de sistemas matemáticos
• Amplificador de retroalimentación negativa
• Esquema de gestión
• Personas en sistemas y control.
• Teoría del control perceptivo
• Teoría de sistemas

Referencias

1. Maxwell, JC (1868). "Sobre los gobernadores" (PDF) . Actas de la Royal Society . 100 . Archivado (PDF) desde el original el 19 de diciembre de 2008.
2. Minorsky, Nicolás (1922). "Estabilidad direccional de carrocerías direccionadas automáticamente". Revista de la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Navales . 34 (2): 280–309. doi :10.1111/j.1559-3584.1922.tb04958.x.
3. TIERRA. "Katalog der Deutschen Nationalbibliothek (control de autoridades)". portal.dnb.de . Consultado el 26 de abril de 2020 .
4. Maxwell, JC (1868). "Sobre los gobernadores". Actas de la Royal Society de Londres . 16 : 270–283. doi :10.1098/rspl.1867.0055. JSTOR  112510.
5. Fernández-Cara, E.; Zuazua, E. "Teoría del control: historia, logros y perspectivas matemáticas". Boletín de la Sociedad Española de Matemática Aplicada. CiteSeerX 10.1.1.302.5633 . ISSN  1575-9822. 
6. Routh, EJ; Más completo, AT (1975). Estabilidad del movimiento . Taylor y Francisco.
7. Routh, EJ (1877). Tratado sobre la estabilidad de un estado de movimiento dado, movimiento particularmente estable: movimiento particularmente estable. Macmillan y compañía.
8. Hurwitz, A. (1964). "Sobre las condiciones bajo las cuales una ecuación tiene sólo raíces con partes reales negativas". Artículos seleccionados sobre tendencias matemáticas en la teoría del control .
9. Flugge-Lotz, Irmgard; Titus, Harold A. (octubre de 1962). "Control óptimo y cuasi óptimo de sistemas de tercer y cuarto orden" (PDF) . Informe técnico de la Universidad de Stanford (134): 8–12. Archivado desde el original (PDF) el 27 de abril de 2019.
10. Hallion, Richard P. (1980). Sicherman, Bárbara; Verde, Carol Hurd; Kantrov, Ilene; Walker, Harriette (eds.). Mujeres estadounidenses notables: el período moderno: un diccionario biográfico . Cambridge, Massachusetts: Belknap Press de Harvard University Press. págs. 241-242. ISBN 9781849722704.
11. "Sistemas de control y retroalimentación" - JJ Di Steffano, AR Stubberud, IJ Williams. Serie de esquemas de Schaums, McGraw-Hill 1967
12. Mayr, Otto (1970). Los orígenes del control de retroalimentación . Clinton, MA EE.UU.: The Colonial Press, Inc.
13. Mayr, Otto (1969). Los orígenes del control de retroalimentación . Clinton, MA EE.UU.: The Colonial Press, Inc.
14. Bechhoefer, John (31 de agosto de 2005). "Retroalimentación para físicos: un ensayo tutorial sobre el control". Reseñas de Física Moderna . 77 (3): 783–836. doi :10.1103/RevModPhys.77.783.
15. Cao, FJ; Feito, M. (10 de abril de 2009). "Termodinámica de sistemas controlados por retroalimentación". Revisión física E. 79 (4): 041118. arXiv : 0805.4824 . doi : 10.1103/PhysRevE.79.041118.
16. "punto de recorte".
17. Donald M Wiberg (1971). Espacio de estados y sistemas lineales . Serie de esquemas de Schaum. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-070096-3.
18. Terrell, William (1999). "Alguna teoría de control fundamental I: Controlabilidad, observabilidad y dualidad —Y— Alguna teoría de control fundamental II: Linealización de retroalimentación de sistemas no lineales de entrada única". Mensual Matemático Estadounidense . 106 (9): 705–719 y 812–828. doi :10.2307/2589614. JSTOR  2589614.
19. Gu Shi; et al. (2015). "Controlabilidad de las redes cerebrales estructurales (artículo número 8414)". Comunicaciones de la naturaleza . 6 (6): 8414. arXiv : 1406.5197 . Código Bib : 2015NatCo...6.8414G. doi : 10.1038/ncomms9414. PMC 4600713 . PMID  26423222. Aquí utilizamos herramientas de las teorías de control y redes para ofrecer una explicación mecanicista de cómo el cerebro se mueve entre estados cognitivos extraídos de la organización en red de la microestructura de la materia blanca. 
20. Melby, Pablo; et., al. (2002). "Robustez de la adaptación en sistemas caóticos autoajustables controlados". Letras de Fluctuación y Ruido . 02 (4): L285–L292. doi :10.1142/S0219477502000919.
21. NA Sinitsyn. S. Kundu, S. Backhaus (2013). "Protocolos seguros para la generación de pulsos de energía con poblaciones heterogéneas de cargas controladas termostáticamente". Conversión y Gestión de Energía . 67 : 297–308. arXiv : 1211.0248 . doi :10.1016/j.enconman.2012.11.021. S2CID  32067734.
22. Liu, Jie; Wilson Wang; Farid Golnaraghi; Éric Kubica (2010). "Un novedoso marco difuso para el control de sistemas no lineales". Conjuntos y sistemas difusos . 161 (21): 2746–2759. doi :10.1016/j.fss.2010.04.009.
23. Richard Bellman (1964). "Teoría del control". Científico americano . vol. 211, núm. 3. págs. 186–200. doi : 10.1038/scientificamerican0964-186.

Otras lecturas

• Levine, William S., ed. (1996). El manual de control . Nueva York: CRC Press. ISBN 978-0-8493-8570-4.
• Karl J. Åström; Richard M. Murray (2008). Sistemas de retroalimentación: una introducción para científicos e ingenieros (PDF) . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-13576-2.
• Cristóbal Kilian (2005). Tecnología de control moderna . Aprendizaje Thompson Delmar. ISBN 978-1-4018-5806-3.
• Vannevar Bush (1929). Análisis de circuitos operativos . John Wiley e hijos, Inc.
• Robert F. Stengel (1994). Control y Estimación Óptima . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68200-6.
• Franklin; et al. (2002). Control de retroalimentación de sistemas dinámicos (4 ed.). Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-032393-4.
• José L. Hellerstein; Amanecer M. Tilbury ; Sujay Parekh (2004). Control de retroalimentación de sistemas informáticos . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-26637-2.
• Diederich Hinrichsen y Anthony J. Pritchard (2005). Teoría de Sistemas Matemáticos I - Modelado, Análisis del Espacio de Estados, Estabilidad y Robustez . Saltador. ISBN 978-3-540-44125-0.
• Andrei, Neculai (2005). "Teoría del control moderno: una perspectiva histórica" ​​(PDF) . Consultado el 10 de octubre de 2007 . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
• Sontag, Eduardo (1998). Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensiones finitas. Segunda edición (PDF) . Saltador. ISBN 978-0-387-98489-6.
• Goodwin, Graham (2001). Diseño de sistemas de control . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-958653-8.
• Christophe Basso (2012). Diseño de bucles de control para fuentes de alimentación lineales y conmutadas: una guía tutorial. Casa Artech. ISBN 978-1608075577.
• Boris J. Lurie; Paul J. Enright (2019). Control de retroalimentación clásico con sistemas multibucle no lineales (3 ed.). Prensa CRC. ISBN 978-1-1385-4114-6.

Para ingeniería química

• Luyben, William (1989). Modelado, simulación y control de procesos para ingenieros químicos . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-039159-8.

enlaces externos

• Tutoriales de control para Matlab, un conjunto de ejemplos de control resueltos mediante varios métodos diferentes.
• Ajuste de control y mejores prácticas
• Estructuras de control avanzadas, simuladores gratuitos en línea que explican la teoría del control.