Métodos de Montecarlo en finanzas

Métodos de medición probabilísticos.

Los métodos de Monte Carlo se utilizan en finanzas corporativas y finanzas matemáticas para valorar y analizar instrumentos , carteras e inversiones (complejos) simulandolas diversas fuentes de incertidumbre que afectan su valor y luego determinando la distribución de su valor en el rango de resultados resultantes . ^{[1] [2]} Esto generalmente se hace con la ayuda de modelos de activos estocásticos . La ventaja de los métodos de Monte Carlo sobre otras técnicas aumenta a medida que aumentan las dimensiones (fuentes de incertidumbre) del problema.

Los métodos de Monte Carlo fueron introducidos por primera vez en las finanzas en 1964 por David B. Hertz a través de su artículo en Harvard Business Review ^{, [3]} en el que analiza su aplicación en finanzas corporativas . En 1977, Phelim Boyle fue pionero en el uso de la simulación en la valoración de derivados en su artículo fundamental en el Journal of Financial Economics . ^[4]

Este artículo analiza los problemas financieros típicos en los que se utilizan los métodos de Monte Carlo. También se refiere al uso de los métodos llamados "cuasialeatorios", como el uso de secuencias de Sobol .

Descripción general

El método Monte Carlo abarca cualquier técnica de muestreo estadístico empleada para aproximar soluciones a problemas cuantitativos. ^[5] Esencialmente, el método Monte Carlo resuelve un problema simulando directamente el proceso (físico) subyacente y luego calculando el resultado (promedio) del proceso. ^[1] Este enfoque muy general es válido en áreas como la física , la química , la informática , etc.

En finanzas , el método de Montecarlo se utiliza para simular las diversas fuentes de incertidumbre que afectan el valor del instrumento , cartera o inversión en cuestión, y para luego calcular un valor representativo dados estos posibles valores de los inputs subyacentes. ^[1] ("Cubre todas las contingencias concebibles del mundo real en proporción a su probabilidad". ^[6] ) En términos de teoría financiera , esto, esencialmente, es una aplicación de la valoración neutral al riesgo ; ^[7] Véase también neutralidad del riesgo .

Aplicaciones:

• En finanzas corporativas , ^{[8] [9] [10]} financiación de proyectos ^[8] y análisis de opciones reales , ^[1] Los métodos de Monte Carlo son utilizados por analistas financieros que desean construir modelos financieros " estocásticos " o probabilísticos en contraposición a los tradicionales. Modelos estáticos y deterministas . Aquí, para analizar las características del valor actual neto (VAN) de un proyecto, se modelan los componentes del flujo de caja que están (fuertemente ^[10] ) impactados por la incertidumbre , incorporando cualquier correlación entre ellos, reflejando matemáticamente sus "características aleatorias". Luego, estos resultados se combinan en un histograma de VAN (es decir, la distribución de probabilidad del proyecto ), y se observa el VAN promedio de la inversión potencial, así como su volatilidad y otras sensibilidades. Esta distribución permite, por ejemplo, estimar la probabilidad de que el proyecto tenga un valor presente neto mayor que cero (o cualquier otro valor). ^[11] Véase más adelante en Finanzas corporativas.

• Al valorar una opción sobre acciones , la simulación genera varios miles de trayectorias de precios posibles (pero aleatorias) para la acción subyacente, con el valor de ejercicio asociado (es decir, "recompensa") de la opción para cada trayectoria. Luego, estos pagos se promedian y se descuentan hasta el día de hoy, y este resultado es el valor de la opción hoy. ^[12] Tenga en cuenta que, mientras que las opciones sobre acciones se valoran más comúnmente utilizando otros modelos de fijación de precios , como los modelos basados ​​en celosía , para los derivados exóticos dependientes de la trayectoria , como las opciones asiáticas , la simulación es el método de valoración más comúnmente empleado; consulte los métodos de Monte Carlo para la fijación de precios de opciones para una discusión sobre modelos de opciones adicionales (y más complejos ).

• Para valorar instrumentos de renta fija y derivados de tipos de interés, la fuente subyacente de incertidumbre que se simula es el tipo corto : el tipo de interés anualizado al que una entidad puede pedir prestado dinero durante un período de tiempo determinado; ver modelo de tasa corta . Por ejemplo, para los bonos y las opciones sobre bonos , ^[13] bajo cada posible evolución de las tasas de interés observamos una curva de rendimiento diferente y un precio del bono resultante diferente . Para determinar el valor de los bonos, luego se promedian los precios de estos bonos; para valorar la opción sobre bonos, al igual que para las opciones sobre acciones, se promedian los valores de ejercicio correspondientes y se valoran en el presente. Se utiliza un enfoque similar para valorar swaps , swaptions , ^[14] y bonos convertibles . ^[15] En cuanto a la renta variable, para los derivados de tipos de interés dependientes de la trayectoria –como los CMO– la simulación es la principal técnica empleada; ^[16] (Tenga en cuenta que "para crear simulaciones realistas de tasas de interés", a veces se emplean modelos multifactoriales de tasas cortas . ^[17] )

• Los métodos de Monte Carlo se utilizan para la evaluación de carteras . ^[18] Aquí, para cada muestra, se simula el comportamiento correlacionado de los factores que impactan los instrumentos componentes a lo largo del tiempo, se calcula el valor resultante de cada instrumento y luego se observa el valor de la cartera. En cuanto a las finanzas corporativas, arriba, los distintos valores de la cartera se combinan en un histograma , se observan las características estadísticas de la cartera y se evalúa la cartera según sea necesario. Aquí los analistas pueden aplicar el análisis de componentes principales , donde a través de la reducción de dimensionalidad , se puede simular un conjunto limitado de factores en lugar de cada una de las fuentes individuales de incertidumbre.

• Se utiliza un enfoque similar para calcular el valor en riesgo , ^{[19] [20]} , o "VaR", una estimación de cuánto podría perder una posición, "escritorio" u otra área con una probabilidad determinada (o nivel de confianza ) y en un periodo de tiempo determinado. Una aplicación típica del VaR es en la banca de inversión , donde el banco posee “capital de riesgo” económico correspondiente a la cantidad estimada; ver Gestión de riesgos financieros § Banca . El VaR también se utiliza en la gestión de riesgos de cartera , donde, como anteriormente, la simulación permite al administrador del fondo estimar las pérdidas en un horizonte y nivel de confianza determinados, ^[21] y luego cubrirse según corresponda.

• Los estructuradores utilizan la simulación para estimar el pago probable (y la posibilidad de pérdidas) de sus pagarés estructurados a medida u otro producto estructurado , que generalmente comprende varios valores componentes. ^[22]

• Los Métodos Monte Carlo se utilizan para la planificación financiera personal . ^{[23] [24]} Por ejemplo, al simular el mercado general, se pueden calcular las posibilidades de que un 401(k) permita la jubilación con un ingreso objetivo. Según corresponda, el trabajador en cuestión puede entonces asumir mayores riesgos con la cartera de jubilación o empezar a ahorrar más dinero.

• La simulación de eventos discretos se puede utilizar para evaluar el impacto de una inversión de capital propuesta en las operaciones existentes. Aquí se construye un modelo de "estado actual". Una vez que funciona correctamente, después de haber sido probada y validada con datos históricos, la simulación se modifica para reflejar la inversión de capital propuesta. Este modelo de "estado futuro" se utiliza luego para evaluar la inversión, evaluando la mejora en el rendimiento (es decir, el rendimiento) en relación con el costo (mediante un histograma como se muestra arriba); También se puede utilizar para realizar pruebas de tensión del diseño. Ver Simulación de eventos discretos § Evaluación de decisiones de inversión de capital .

Aunque los métodos de Monte Carlo brindan flexibilidad y pueden manejar múltiples fuentes de incertidumbre, el uso de estas técnicas no siempre es apropiado. En general, se prefieren los métodos de simulación a otras técnicas de valoración sólo cuando existen varias variables de estado (es decir, varias fuentes de incertidumbre). ^[1] Estas técnicas también son de uso limitado para valorar los derivados del estilo americano. Vea abajo.

Aplicabilidad

Nivel de complejidad

Muchos problemas en finanzas matemáticas implican el cálculo de una integral particular (por ejemplo, el problema de encontrar el valor libre de arbitraje de una derivada particular ). En muchos casos, estas integrales se pueden valorar analíticamente y, en aún más casos, se pueden valorar mediante integración numérica o calcular mediante una ecuación diferencial parcial (PDE). Sin embargo, cuando el número de dimensiones (o grados de libertad) del problema es grande, las PDE y las integrales numéricas se vuelven intratables y, en estos casos, los métodos de Monte Carlo suelen dar mejores resultados.

Para más de tres o cuatro variables de estado, no existen fórmulas como la de Black-Scholes (es decir, soluciones analíticas ), mientras que otros métodos numéricos como el modelo de valoración de opciones binomiales y los métodos de diferencias finitas enfrentan varias dificultades y no son prácticos. En estos casos, los métodos de Monte Carlo convergen a la solución más rápidamente que los métodos numéricos, requieren menos memoria y son más fáciles de programar. Sin embargo, para situaciones más simples, la simulación no es la mejor solución porque requiere mucho tiempo y requiere mucho cálculo.

Los métodos de Monte Carlo pueden manejar derivados que tienen pagos dependientes de la trayectoria de una manera bastante sencilla. Por otro lado, los solucionadores de diferencias finitas (PDE) luchan con la dependencia de la ruta.

opciones americanas

Los métodos de Montecarlo son más difíciles de utilizar con las opciones americanas . Esto se debe a que, a diferencia de una ecuación diferencial parcial , el método de Monte Carlo en realidad sólo estima el valor de la opción suponiendo un punto de partida y un tiempo determinados.

Sin embargo, para el ejercicio temprano, también necesitaríamos conocer el valor de la opción en los momentos intermedios entre el momento de inicio de la simulación y el momento de vencimiento de la opción. En el método PDE de Black-Scholes, estos precios se obtienen fácilmente porque la simulación se ejecuta hacia atrás desde la fecha de vencimiento. En Montecarlo esta información es más difícil de obtener, pero se puede hacer, por ejemplo, utilizando el algoritmo de mínimos cuadrados de Carriere (ver enlace al artículo original) ^{[ cita necesaria ]} que se hizo popular unos años más tarde por Longstaff y Schwartz (ver enlace al artículo original) ^{[ cita requerida ]} .

Métodos de Montecarlo

Matemáticamente

El teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje establece que el valor de un derivado es igual al valor esperado descontado del pago del derivado cuando la expectativa se toma según la medida neutral al riesgo ^[1] . Una expectativa es, en el lenguaje de las matemáticas puras , simplemente una integral con respecto a la medida. Los métodos de Monte Carlo son ideales para evaluar integrales difíciles (ver también método de Monte Carlo ).

Por lo tanto, si suponemos que nuestro espacio de probabilidad neutral al riesgo es y que tenemos un derivado H que depende de un conjunto de instrumentos subyacentes . Luego, dada una muestra del espacio de probabilidad, el valor de la derivada es . El valor actual del derivado se calcula tomando la expectativa de todas las muestras posibles y descontando a la tasa libre de riesgo. Es decir, la derivada tiene valor: ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle S_{1},...,S_{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H(S_{1}(\omega ),S_{2}(\omega ),\dots ,S_{n}(\omega ))=:H(\omega )}$

${\displaystyle H_{0}={DF}_{T}\int _{\omega }H(\omega )\,d\mathbb {P} (\omega )}$

donde es el factor de descuento correspondiente a la tasa libre de riesgo a la fecha de vencimiento final T años en el futuro. ${\displaystyle {DF}_{T}}$

Ahora supongamos que la integral es difícil de calcular. Podemos aproximar la integral generando caminos de muestra y luego tomando un promedio. Supongamos que generamos N muestras entonces

${\displaystyle H_{0}\approx {DF}_{T}{\frac {1}{N}}\sum _{\omega \in {\text{sample set}}}H(\omega )}$

que es mucho más fácil de calcular.

Rutas de muestra para modelos estándar

En finanzas, generalmente se supone que las variables aleatorias subyacentes (como el precio de una acción subyacente) siguen una trayectoria que es función de un movimiento browniano ² . Por ejemplo, en el modelo estándar de Black-Scholes , el precio de las acciones evoluciona como

${\displaystyle dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW_{t}.}$

Para muestrear una trayectoria que sigue esta distribución desde el tiempo 0 hasta T, dividimos el intervalo de tiempo en M unidades de longitud y aproximamos el movimiento browniano a lo largo del intervalo mediante una única variable normal de media 0 y varianza . Esto conduce a una ruta de muestra de ${\displaystyle \delta t}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle S(k\delta t)=S(0)\exp \left(\sum _{i=1}^{k}\left[\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\delta t+\sigma \varepsilon _{i}{\sqrt {\delta t}}\right]\right)}$

para cada k entre 1 y M . Aquí cada uno es un sorteo de una distribución normal estándar. ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Supongamos que una derivada H paga el valor promedio de S entre 0 y T entonces un camino muestral corresponde a un conjunto y ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$

${\displaystyle H(\omega )={\frac {1}{M}}\sum _{k=1}^{M}S(k\delta t).}$

Obtenemos el valor de Monte-Carlo de esta derivada generando N lotes de M variables normales, creando N caminos de muestra y, por lo tanto, N valores de H , y luego tomando el promedio. Normalmente, el derivado dependerá de dos o más subyacentes (posiblemente correlacionados). El método aquí se puede ampliar para generar rutas de muestra de varias variables, donde las variables normales que forman las rutas de muestra están correlacionadas adecuadamente.

Del teorema del límite central se deduce que cuadruplicar el número de caminos de muestra reduce aproximadamente a la mitad el error en el precio simulado (es decir, el error tiene convergencia de orden en el sentido de la desviación estándar de la solución). ${\displaystyle \epsilon ={\mathcal {O}}\left(N^{-1/2}\right)}$

En la práctica, los métodos de Monte Carlo se utilizan para derivados de estilo europeo que involucran al menos tres variables (generalmente se pueden usar métodos más directos que involucran integración numérica para aquellos problemas con solo uno o dos subyacentes. Consulte el modelo de opciones de Monte Carlo) .

Griegos

Las estimaciones para los " griegos " de una opción, es decir, las derivadas (matemáticas) del valor de la opción con respecto a los parámetros de entrada, se pueden obtener mediante diferenciación numérica. Este puede ser un proceso que requiere mucho tiempo (se debe realizar una ejecución completa de Monte Carlo para cada "golpe" o pequeño cambio en los parámetros de entrada). Además, tomar derivadas numéricas tiende a enfatizar el error (o ruido) en el valor de Monte Carlo, lo que hace necesario simular con una gran cantidad de trayectorias de muestra. Los profesionales consideran estos puntos como un problema clave al utilizar los métodos de Monte Carlo.

Reducción de varianza

La convergencia de la raíz cuadrada es lenta, por lo que utilizar el enfoque ingenuo descrito anteriormente requiere utilizar una gran cantidad de rutas de muestra (1 millón, digamos, para un problema típico) para obtener un resultado preciso. Recuerde que un estimador del precio de un derivado es una variable aleatoria y, en el marco de una actividad de gestión de riesgos, la incertidumbre sobre el precio de una cartera de derivados y/o sobre sus riesgos puede llevar a decisiones de gestión de riesgos subóptimas.

Esta situación puede mitigarse mediante técnicas de reducción de la varianza .

Caminos antitéticos

Una técnica simple es, para cada camino de muestra obtenido, tomar su camino antitético, es decir, se le da un camino para tomar también . Dado que las variables y forman un par antitético, un valor grande de una va acompañado de un valor pequeño de la otra. Esto sugiere que una salida inusualmente grande o pequeña calculada a partir de la primera ruta puede equilibrarse con el valor calculado a partir de la ruta antitética, lo que resulta en una reducción de la varianza. ^[25] Esto no solo reduce el número de muestras normales que se deben tomar para generar N rutas, sino que también, en las mismas condiciones, como una correlación negativa entre dos estimaciones, reduce la varianza de las rutas de muestra, mejorando la precisión. ${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$ ${\displaystyle \{-\varepsilon _{1},\dots ,-\varepsilon _{M}\}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle -\varepsilon _{i}}$

Método de control variable

También es natural utilizar una variable de control . Supongamos que deseamos obtener el valor de Monte Carlo de una derivada H , pero conocemos analíticamente el valor de una derivada similar I. Entonces H * = (Valor de H según Monte Carlo) + B*[(Valor de I analíticamente ) − (Valor de I según los mismos caminos de Monte Carlo)] es una mejor estimación, donde B es covar(H,I)/var(H).

La intuición detrás de esta técnica, cuando se aplica a derivados, es la siguiente: tenga en cuenta que la fuente de la variación de un derivado dependerá directamente de los riesgos (por ejemplo, delta, vega) de este derivado. Esto se debe a que cualquier error en, digamos, el estimador del valor a plazo de un subyacente generará un error correspondiente dependiendo del delta de la derivada con respecto a este valor a plazo. El ejemplo más sencillo para demostrarlo consiste en comparar el error al fijar el precio de una opción call at-the-money y de una opción at-the-money straddle (es decir, call+put), que tiene un delta mucho más bajo.

Por lo tanto, una forma estándar de elegir el derivado I consiste en elegir carteras de opciones replicativas para H. En la práctica, se fijará el precio de H sin reducción de varianza, se calcularán deltas y vegas, y luego se utilizará una combinación de opciones de compra y venta que tengan los mismos deltas y vegas como variable de control.

Muestreo de importancia

El muestreo de importancia consiste en simular las trayectorias de Monte Carlo utilizando una distribución de probabilidad diferente (también conocida como cambio de medida) que dará más probabilidad de que el subyacente simulado se ubique en el área donde el pago del derivado tiene la mayor convexidad (por ejemplo, cercano a la huelga en el caso de una opción simple). Los pagos simulados no se promedian simplemente como en el caso de un Monte Carlo simple, sino que primero se multiplican por la relación de probabilidad entre la distribución de probabilidad modificada y la original (que se obtiene mediante fórmulas analíticas específicas para la distribución de probabilidad). Esto garantizará que las rutas cuya probabilidad haya sido mejorada arbitrariamente por el cambio en la distribución de probabilidad se ponderen con una ponderación baja (así es como se reduce la varianza).

Esta técnica puede resultar particularmente útil al calcular los riesgos de un derivado. A la hora de calcular el delta mediante un método de Monte Carlo, la forma más sencilla es la técnica de la caja negra, que consiste en hacer un Monte Carlo sobre los datos del mercado originales y otro sobre los datos del mercado modificados, y calcular el riesgo haciendo la diferencia. En cambio, el método de muestreo de importancia consiste en hacer un Monte Carlo con datos de mercado de referencia arbitrarios (idealmente uno en el que la varianza sea lo más baja posible) y calcular los precios utilizando la técnica de cambio de peso descrita anteriormente. Esto da como resultado un riesgo que será mucho más estable que el obtenido mediante el enfoque de caja negra .

Métodos cuasi aleatorios (baja discrepancia)

En lugar de generar rutas de muestra aleatoriamente, es posible seleccionar sistemáticamente (y de hecho de manera completamente determinista, a pesar de la palabra "cuasialeatoria" en el nombre) puntos en espacios de probabilidad para "llenar" el espacio de manera óptima. La selección de puntos es una secuencia de baja discrepancia como una secuencia de Sobol . Tomar promedios de los pagos de derivados en puntos de una secuencia de baja discrepancia suele ser más eficiente que tomar promedios de pagos en puntos aleatorios.

Notas

1. Con frecuencia es más práctico tomar las expectativas bajo diferentes medidas; sin embargo, éstas siguen siendo fundamentalmente integrales y, por lo tanto, se puede aplicar el mismo enfoque.
2. A veces también se utilizan procesos más generales, como los procesos de Lévy . Estos también pueden simularse.

Ver también

• Métodos cuasi-Montecarlo en finanzas
• Método Montecarlo
• Simulación histórica (finanzas)
• Simulador de bolsa
• Valoración de opciones reales

Referencias

Notas

1. "Opciones reales con simulación Monte Carlo". Archivado desde el original el 18 de marzo de 2010 . Consultado el 24 de septiembre de 2010 .
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Artículos

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Libros

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enlaces externos

General

• Simulación de Monte Carlo (Enciclopedia de finanzas cuantitativas), Peter Jaeckel y Eckhard Plateny
• Método Montecarlo, Riskglossary.com
• El Marco de Monte Carlo, Ejemplos de Finanzas, Martin Haugh, Universidad de Columbia
• Técnicas de Montecarlo aplicadas a las finanzas, Simon Leger

Valoración de derivados

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• Fijación de precios de opciones mediante simulación, Bernt Arne Ødegaard, Escuela Noruega de Gestión
• Aplicaciones de los métodos de Monte Carlo en finanzas: fijación de precios de opciones, Y. Lai y J. Spanier, Claremont Graduate University
• Valoración de derivados Monte Carlo, continuación, Timothy L. Krehbiel, Universidad Estatal de Oklahoma – Stillwater
• Fijación de precios de opciones complejas utilizando una simple simulación de Monte Carlo, Peter Fink - reimpresión en quantnotes.com
• Montecarlo de mínimos cuadrados para opciones americanas por Carriere, 1996, ideas.repec.org
• Montecarlo de mínimos cuadrados para opciones americanas por Longstaff y Schwartz, 2001, repositories.cdlib.org
• Utilizando la simulación para la valoración de opciones, John Charnes

Finanzas corporativas

• Opciones reales con simulación Monte Carlo, Marco Dias, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
• Uso de la simulación para calcular el VAN de un proyecto, Investmentscience.com
• Simulaciones, árboles de decisión y análisis de escenarios en valoración Prof. Aswath Damodaran , Stern School of Business
• El método Monte Carlo en Excel Prof. André Farber Solvay Business School
• Previsión de ventas, vertex42.com
• Tarificación mediante simulación de Monte Carlo, un ejemplo práctico, Prof. Giancarlo Vercellino

Finanzas personales

• Una mejor manera de evaluar sus ahorros, Businessweek Online: 22 de enero de 2001
• Planificador de jubilación Monte Carlo en línea con código fuente, Jim Richmond, 2006
• Calculadora de jubilación gratuita basada en hojas de cálculo y simulador de Monte Carlo, por Eric C., 2008
• Simulación de jubilación
• Planificación financiera mediante paseos aleatorios, John Norstad, 2005
• Calculadora de ahorros de Vanguard, Vanguard