Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

Aparente paradoja en la teoría del caos

En física , el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT) o anteriormente el problema de Fermi-Pasta-Ulam era la aparente paradoja en la teoría del caos de que muchos sistemas físicos suficientemente complicados exhibían un comportamiento casi exactamente periódico , llamado Fermi-Pasta-Ulam- Recurrencia de Tsingou (o recurrencia de Fermi-Pasta-Ulam ), en lugar del comportamiento ergódico esperado . Esto fue una sorpresa, ya que Enrico Fermi ciertamente esperaba que el sistema se termalizara en un tiempo bastante corto. Es decir, se esperaba que todos los modos vibratorios aparecieran eventualmente con la misma fuerza, según el teorema de equipartición o, más generalmente, la hipótesis ergódica . Sin embargo, aquí había un sistema que parecía evadir la hipótesis ergódica. Aunque la recurrencia se observa fácilmente, finalmente se hizo evidente que, durante períodos de tiempo mucho, mucho más largos, el sistema eventualmente se termaliza. Se han propuesto múltiples teorías en competencia para explicar el comportamiento del sistema, y ​​sigue siendo un tema de investigación activa.

La intención original era encontrar un problema de física digno de simulación numérica en la entonces nueva computadora MANIAC . Fermi consideró que la termalización plantearía tal desafío. Como tal, representa uno de los primeros usos de las computadoras digitales en la investigación matemática; Simultáneamente, los inesperados resultados lanzaron el estudio de los sistemas no lineales .

El experimento FPUT

Si no hay no linealidad (púrpura), toda la amplitud en un modo permanecerá en ese modo. Si se introduce una no linealidad cuadrática en la cadena elástica, la energía se puede distribuir entre todos los modos, pero si esperas lo suficiente (dos minutos, en esta animación), verás que toda la amplitud regresa al modo original.

En el verano de 1953, Enrico Fermi , John Pasta , Stanislaw Ulam y Mary Tsingou realizaron simulaciones por computadora de una cuerda vibrante que incluía un término no lineal (cuadrático en una prueba, cúbico en otra y una aproximación lineal por partes a una cúbica en otra). un tercio). Descubrieron que el comportamiento del sistema era bastante diferente de lo que la intuición les habría hecho esperar. Enrico Fermi pensó que después de muchas iteraciones, el sistema exhibiría termalización , un comportamiento ergódico en el que la influencia de los modos iniciales de vibración se desvanece y el sistema se vuelve más o menos aleatorio con todos los modos excitados más o menos por igual . En cambio, el sistema exhibió un comportamiento cuasiperiódico muy complicado . Publicaron sus resultados en un informe técnico de Los Álamos en 1955. Enrico Fermi murió en 1954, por lo que este informe técnico se publicó después de la muerte de Fermi.

En 2020, la revista National Security Science presentó un artículo sobre Tsingou que incluía sus comentarios y reflexiones históricas sobre el problema FPUT. En el artículo, Tsingou afirma: "Recuerdo estar sentado allí un día con Pasta y Ulam", mientras intercambiaban ideas sobre "algunos problemas que podríamos resolver en la computadora, algunos problemas realmente matemáticos". Intentaron varias cosas, pero finalmente "se les ocurrió esta cuerda vibrante". ^[1]

El experimento FPUT fue importante tanto para mostrar la complejidad del comportamiento de los sistemas no lineales como para el valor de la simulación por computadora en el análisis de sistemas.

Cambio de nombre

El artículo original nombra a Fermi, Pasta y Ulam como autores (aunque Fermi murió antes de que se escribiera el informe) con un reconocimiento a Tsingou por su trabajo en la programación de las simulaciones MANIAC . Las contribuciones de Mary Tsingou al problema FPUT fueron en gran medida ignoradas por la comunidad hasta que Thierry Dauxois (2008) publicó información adicional sobre el desarrollo y pidió que se cambiara el nombre del problema para otorgarle también su atribución.

El sistema de celosía FPUT

Fermi, Pasta, Ulam y Tsingou simularon la cuerda vibrante resolviendo el siguiente sistema discreto de osciladores acoplados al vecino más cercano. Seguimos la explicación dada en el artículo de Richard Palais . Sea N osciladores que representen una cuerda de longitud con posiciones de equilibrio , donde está el espaciado de la red. Entonces, la posición del j -ésimo oscilador en función del tiempo es , por lo que da el desplazamiento del equilibrio. FPUT utilizó las siguientes ecuaciones de movimiento: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p_{j}=jh,\ j=0,\dots ,N-1}$ ${\displaystyle h=\ell /(N-1)}$ ${\displaystyle X_{j}(t)=p_{j}+x_{j}(t)}$ ${\displaystyle x_{j}(t)}$

${\displaystyle m{\ddot {x}}_{j}=k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Esta es solo la segunda ley de Newton para la j -ésima partícula. El primer factor es simplemente la forma habitual de la ley de Hooke para la fuerza. El factor con es la fuerza no lineal. Podemos reescribir esto en términos de cantidades continuas definiendo la velocidad de la onda, donde es el módulo de Young de la cuerda y es la densidad: ${\displaystyle k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c={\sqrt {\kappa /\rho }}}$ ${\displaystyle \kappa =k/h}$ ${\displaystyle \rho =m/h^{3}}$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Conexión a la ecuación KdV

El límite continuo de las ecuaciones que rigen la cuerda (con el término de fuerza cuadrática) es la ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación KdV). El descubrimiento de esta relación y de las soluciones de solitón de la ecuación KdV por Martin David Kruskal y Norman Zabusky en 1965 supuso un importante paso adelante en la investigación de sistemas no lineales. Reproducimos a continuación una derivación de este límite, que es bastante complicada, como se encuentra en el artículo de Palais. A partir de la "forma continua" de las ecuaciones reticulares anteriores, primero definimos u ( x ,  t ) como el desplazamiento de la cuerda en la posición x y el tiempo t . Entonces querremos una correspondencia, así que así es . ${\displaystyle u(p_{j},t)}$ ${\displaystyle x_{j}(t)}$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Podemos usar el teorema de Taylor para reescribir el segundo factor para pequeño (los subíndices de u denotan derivadas parciales): ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j}}{h^{2}}}\right)&={\frac {u(x+h,t)+u(x-h,t)-2u(x,t)}{h^{2}}}\\&=u_{xx}(x,t)+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}(x,t)+O(h^{4}).\end{aligned}}}$

De manera similar, el segundo término en el tercer factor es

${\displaystyle \alpha (x_{j+1}-x_{j-1})=2\alpha hu_{x}(x,t)+\left({\frac {\alpha h^{3}}{3}}\right)u_{xxx}(x,t)+O(h^{5}).}$

Por lo tanto, el sistema FPUT es

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}+O(\alpha h^{2},h^{4}).}$

Si uno mantuviera los términos hasta O ( h ) únicamente y supusiera que se acerca a un límite, la ecuación resultante es una que desarrolla shocks , que no se observan. Por lo tanto , también se mantiene el término O ( h ^{2 ):} ${\displaystyle 2\alpha h}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}.}$

Ahora hacemos las siguientes sustituciones, motivadas por la descomposición de las soluciones de ondas viajeras (de la ecuación de onda ordinaria , a la que se reduce cuando desaparece) en ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha, de modo que solo consideramos una onda que se mueve hacia la derecha. Dejar . Bajo este cambio de coordenadas, la ecuación se convierte en ${\displaystyle \alpha ,h}$ ${\displaystyle \xi =x-ct,\ \tau =(\alpha h)ct,\ y(\xi ,\tau )=u(x,t)}$

${\displaystyle y_{\xi \tau }-\left({\frac {\alpha h}{2}}\right)y_{\tau \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\left({\frac {h}{24\alpha }}\right)y_{\xi \xi \xi \xi }.}$

Para tomar el límite del continuo, supongamos que tiende a una constante y tiende a cero. Si tomamos , entonces ${\displaystyle \alpha /h}$ ${\displaystyle \alpha ,h}$ ${\displaystyle \delta =\lim _{h\to 0}{\sqrt {h/(24\alpha )}}}$

${\displaystyle y_{\xi \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\delta ^{2}y_{\xi \xi \xi \xi }.}$

Tomando resultados en la ecuación KdV: ${\displaystyle v=y_{\xi }}$

${\displaystyle v_{\tau }+vv_{\xi }+\delta ^{2}v_{\xi \xi \xi }=0.}$

Zabusky y Kruskal argumentaron que fue el hecho de que las soluciones de solitón de la ecuación KdV pueden atravesarse entre sí sin afectar las formas asintóticas lo que explica la cuasiperiodicidad de las ondas en el experimento FPUT. En resumen, la termalización no pudo ocurrir debido a una cierta "simetría de solitones" en el sistema, que rompía la ergodicidad.

Un conjunto similar de manipulaciones (y aproximaciones) conducen a la red de Toda , que también es famosa por ser un sistema completamente integrable . También tiene soluciones de solitones , los pares Lax , por lo que también puede usarse para argumentar la falta de ergodicidad en el modelo FPUT. ^{[2] [3]}

Rutas hacia la termalización

En 1966, Félix Izrailev y Boris Chirikov propusieron que el sistema se termalizará si se proporciona una cantidad suficiente de energía inicial. ^[4] La idea aquí es que la no linealidad cambia la relación de dispersión , permitiendo que se produzcan interacciones resonantes que sangrarán energía de un modo a otro. Se puede encontrar una revisión de tales modelos en Roberto Livi et al . ^[5] Sin embargo, en 1970, Joseph Ford y Gary H. Lunsford insisten en que la mezcla se puede observar incluso con energías iniciales arbitrariamente pequeñas. ^[6] Existe una larga y compleja historia de enfoques del problema; véase Thierry Dauxois (2008) para un estudio (parcial). ^[7]

Trabajo reciente de Miguel Onorato et al. demuestra una ruta muy interesante hacia la termalización. ^[8] Reescribiendo el modelo FPUT en términos de modos normales , el término no lineal se expresa como una interacción de tres modos (usando el lenguaje de la mecánica estadística , esto podría llamarse una "interacción de tres fonones "). sin embargo, no es una interacción resonante , ^[9] y por lo tanto no es capaz de difundir energía de un modo a otro; solo puede generar la recurrencia de FPUT. La interacción de los tres fonones no puede termalizar el sistema.

Sin embargo, una idea clave es que estos modos son combinaciones de modos "libres" y "ligados". Es decir, los armónicos superiores están "ligados" a la fundamental, de la misma manera que los armónicos superiores en las soluciones de la ecuación de KdV están vinculados a la fundamental. No tienen ninguna dinámica propia y, por el contrario, están sincronizados con lo fundamental. La termalización, si está presente, sólo puede estar entre los modos libres.

Para obtener los modos libres, se puede aplicar una transformación canónica que elimine todos los modos que no son libres (que no participan en interacciones resonantes). Hacerlo para el sistema FPUT da como resultado modos de oscilador que tienen una interacción de cuatro ondas (se ha eliminado la interacción de tres ondas). Estos cuartetos interactúan de manera resonante, es decir, mezclan cuatro modos a la vez. Sin embargo, curiosamente, cuando la cadena FPUT tiene solo 16, 32 o 64 nodos, estos cuartetos están aislados unos de otros. Cualquier modo pertenece a un solo cuarteto y la energía no puede traspasarse de un cuarteto a otro. Continuando con órdenes superiores de interacción, hay una interacción de seis ondas que es resonante; Además, cada modo participa en al menos dos interacciones diferentes de seis ondas. En otras palabras, todos los modos quedan interconectados y la energía se transferirá entre todos los modos diferentes.

La interacción de tres ondas es fuerte (la misma que en las secciones anteriores). La interacción de cuatro ondas es de fuerza y ​​la interacción de seis ondas es de fuerza . Basado en principios generales de correlación de interacciones (derivados de la jerarquía BBGKY ), se espera que el tiempo de termalización sea el cuadrado de la interacción. Por lo tanto, la red FPUT original (de tamaño 16, 32 o 64) eventualmente se termalizará, en una escala de tiempo de orden : claramente, esto se convierte en un tiempo muy largo para interacciones débiles ; Mientras tanto, la recurrencia de FPUT parecerá continuar sin cesar. Este resultado particular es válido para estos tamaños de red particulares; las interacciones resonantes de cuatro o seis ondas para diferentes tamaños de red pueden mezclar o no modos (debido a que las zonas de Brillouin son de diferentes tamaños, por lo que se altera la combinatoria de los vectores de onda que pueden sumar cero). Genérico Los procedimientos para obtener transformaciones canónicas que linealicen los modos ligados siguen siendo un tema de investigación activa. ${\displaystyle 1/\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1/\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle 1/\alpha ^{4}}$ ${\displaystyle 1/\alpha ^{8}}$ ${\displaystyle \alpha \ll 1}$

Sin embargo, un estudio reciente ^[10] encontró que existen divergencias en la transformación canónica utilizada para eliminar las interacciones de tres ondas debido a la presencia de denominadores pequeños. Estos pequeños denominadores se vuelven más prominentes cuando se excitan los modos inferiores y son más significativos a medida que aumenta el tamaño del sistema. Estos resultados también muestran una indicación de que podría haber un umbral de estocasticidad en el sistema -Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou. ${\displaystyle \alpha }$

Referencias

1. Subvención, Virginia (2020). "Agradecemos a la señorita Mary Tsingou". Ciencia de la seguridad nacional .
2. Benettin, G.; Christodoulidi, H.; Ponno, A. (2013). "El problema de Fermi-Pasta-Ulam y su dinámica integrable subyacente". Revista de Física Estadística . 152 (2): 195–212. Código Bib : 2013JSP...152..195B. doi :10.1007/s10955-013-0760-6. S2CID  120275594.
3. Casetti, Lapo; Cerruti-Sola, Mónica; Pettini, Marco; Cohen, EGD (1997). "Revisión del problema de Fermi-Pasta-Ulam: umbrales de estocasticidad en sistemas hamiltonianos no lineales". Revisión física E. 55 (6): 6566–6574. arXiv : chao-dyn/9609017 . Código bibliográfico : 1997PhRvE..55.6566C. doi : 10.1103/PhysRevE.55.6566. S2CID  123324018.
4. Izrailev, FM; Chirikov, BV (1966). "Propiedades estadísticas de una cadena no lineal". Física soviética Doklady . 11 : 30. Código bibliográfico : 1966SPhD...11...30I.
5. Livi, Roberto; Pettini, Marco; Ruffo, Stefano; Sparpaglione, Massimo; Vulpiani, Angelo (1985). "Umbral de equipartición en grandes sistemas hamiltonianos no lineales: el modelo de Fermi-Pasta-Ulam". Revisión física A. 31 (2): 1039–1045. Código bibliográfico : 1985PhRvA..31.1039L. doi :10.1103/PhysRevA.31.1039. PMID  9895584.
6. Ford, José; Lunsford, Gary H. (1970). "Comportamiento estocástico de sistemas osciladores resonantes casi lineales en el límite de acoplamiento no lineal cero". Revisión física A. 1 (1): 59–70. Código bibliográfico : 1970PhRvA...1...59F. doi :10.1103/PhysRevA.1.59.
7. Ruffo, Stefano; Dauxois, Thierry (2008). "Oscilaciones de la red no lineal de Fermi-Pasta-Ulam". Scholarpedia . 3 (8): 5538. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.5538D. doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
8. Onorato, Miguel; Vozella, Lara; Promento, Davide; Lvov, Yuri V. (2015). "Ruta hacia la termalización en el sistema α -Fermi-Pasta-Ulam". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 112 (14): 4208–4213. arXiv : 1402.1603 . Código Bib : 2015PNAS..112.4208O. doi : 10.1073/pnas.1404397112 . PMC 4394280 . PMID  25805822. S2CID  1823791. 
9. Una interacción resonante es aquella en la que todos los vectores de onda se suman/restan a cero, módulo de la zona de Brillouin , así como las frecuencias correspondientes obtenidas de la relación de dispersión . Como suman cero, no existe una base vectorial preferida para el espacio vectorial correspondiente, por lo que todas las amplitudes se pueden reorganizar libremente. En efecto, esto coloca todos los modos en el mismo componente ergódico, donde pueden mezclarse "instantáneamente". En la matriz S y/o el formalismo de Feynman, esto es equivalente a la declaración de conservación de energía/momento: la suma de la energía/momento de los estados entrantes debe ser igual a la de los estados salientes. A menos que esto se cumpla, los estados no pueden interactuar.
10. Ganapa, Santhosh (2023). "Revisión de la cuasiperiodicidad en el problema -Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: un enfoque que utiliza ideas de la turbulencia de las ondas". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 33 (9). Publicación AIP. arXiv : 2303.10297 . ${\displaystyle \alpha }$

Otras lecturas

• Dauxois, Thierry (2008). "Fermi, Pasta, Ulam y una dama misteriosa". Física hoy . 6 (1): 55–57. arXiv : 0801.1590 . Código bibliográfico : 2008PhT....61a..55D. doi : 10.1063/1.2835154. S2CID  118607235.
• Fermi, E .; Pasta, J .; Ulam, S. (1955). «Estudios de Problemas No Lineales» (PDF) . Documento LA-1940. Laboratorio Nacional de Los Álamos.
• Grant, Virginia (2020). "Agradecemos a la señorita Mary Tsingou". Ciencia de la seguridad nacional. Invierno de 2020: 36–43.
• Zabusky, Nueva Jersey ; Kruskal, MD (1965). "Interacciones de solitones en un plasma sin colisiones y recurrencia de estados iniciales". Cartas de revisión física . 15 (6): 240–243. Código bibliográfico : 1965PhRvL..15..240Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
• Palais, R. (1997). "Las simetrías de los solitones" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 34 (4): 339–403. arXiv : dg-ga/9708004 . doi :10.1090/S0273-0979-97-00732-5. SEÑOR  1462745. S2CID  14550937.
• Dauxois, T.; Ruffo, S. (2008). "Oscilaciones de red no lineales de Fermi-Pasta-Ulam". Scholarpedia . 3 (8): 5538. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.5538D. doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
• Gallavotti, G. , ed. (2008). El problema Fermi-Pasta-Ulam: un informe de situación . Apuntes de conferencias de física . vol. 728. Saltador . ISBN 978-3-540-72994-5.
• Portero, MA; Zabusky, Nueva Jersey ; Centro.; Campbell, DK (2009). "Fermi, Pasta, Ulam y el nacimiento de las matemáticas experimentales" (PDF) . Científico americano . 97 (3): 214–221. doi :10.1511/2009.78.214.
• Onorato, M.; Vozella, L.; Promento, D.; Lviv, Y. (2015). "Ruta hacia la termalización en el sistema α-Fermi-Pasta-Ulam" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 112 (14): 4208–4213. arXiv : 1402.1603 . Código Bib : 2015PNAS..112.4208O. doi : 10.1073/pnas.1404397112 . PMC  4394280 . PMID  25805822.
• Ganapa, Santhosh (2023). "Revisión de la cuasiperiodicidad en el problema α-Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: un enfoque que utiliza ideas de la turbulencia de las ondas". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 33 (9). Publicaciones del Instituto Americano de Física. arXiv : 2303.10297 .

enlaces externos

• "Fermi Pasta Ulam: la paradoja que impulsó la informática científica".