Martin David Kruskal ( / ˈ k r ʌ s k əl / ; 28 de septiembre de 1925 - 26 de diciembre de 2006) [1] fue un matemático y físico estadounidense . Hizo contribuciones fundamentales en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias, desde la física del plasma hasta la relatividad general y desde el análisis no lineal hasta el análisis asintótico . Su contribución más célebre fue la teoría de los solitones . [4]
Fue estudiante en la Universidad de Chicago y en la Universidad de Nueva York , donde completó su doctorado. bajo Richard Courant en 1952. Pasó gran parte de su carrera en la Universidad de Princeton , como científico investigador en el Laboratorio de Física del Plasma a partir de 1951, y luego como profesor de astronomía (1961), fundador y presidente del Programa de Ciencias Aplicadas y Computacionales. Matemáticas (1968) y profesor de matemáticas (1979). Se retiró de la Universidad de Princeton en 1989 y se unió al departamento de matemáticas de la Universidad de Rutgers , ocupando la Cátedra de Matemáticas David Hilbert.
Además de su trabajo matemático serio, Kruskal era conocido por sus diversiones matemáticas. Por ejemplo, inventó el conteo Kruskal , un efecto mágico que ha dejado perplejos a los magos profesionales porque no se basaba en un juego de manos sino en un fenómeno matemático.
Martin David Kruskal nació en una familia judía [5] en la ciudad de Nueva York y creció en New Rochelle . Generalmente era conocido como Martín en el mundo y David en su familia. Su padre, Joseph B. Kruskal Sr., era un exitoso mayorista de pieles. Su madre, Lillian Rose Vorhaus Kruskal Oppenheimer , se convirtió en una destacada promotora del arte del origami durante la era temprana de la televisión y fundó el Origami Center of America en la ciudad de Nueva York, que más tarde se convirtió en OrigamiUSA. [6] Era uno de cinco hijos. Sus dos hermanos, ambos eminentes matemáticos, fueron Joseph Kruskal (1928-2010; descubridor del escalamiento multidimensional , el teorema del árbol de Kruskal y el algoritmo de Kruskal ) y William Kruskal (1919-2005; descubridor de la prueba de Kruskal-Wallis ).
La esposa de Martin Kruskal, Laura Kruskal, fue conferenciante y escritora sobre origami y creadora de muchos modelos nuevos. [7] Estuvieron casados durante 56 años. Martin Kruskal también inventó varios modelos de origami, incluido un sobre para enviar mensajes secretos. El sobre se podía desplegar fácilmente, pero no se podía volver a doblar para ocultar la escritura. [8] [ verificación fallida ] Sus tres hijos son Karen (abogada [9] ), Kerry (autora de libros para niños [10] ) y Clyde , un científico informático.
Los intereses científicos de Martin Kruskal cubrieron una amplia gama de temas de matemáticas puras y aplicaciones de las matemáticas a las ciencias. Tuvo intereses de toda la vida en muchos temas de ecuaciones diferenciales parciales y análisis no lineal y desarrolló ideas fundamentales sobre expansiones asintóticas , invariantes adiabáticas y numerosos temas relacionados.
Su doctorado. La disertación, escrita bajo la dirección de Richard Courant y Bernard Friedman en la Universidad de Nueva York , versó sobre el tema "El teorema del puente para superficies mínimas ". Recibió su doctorado. en 1952.
En la década de 1950 y principios de la de 1960, trabajó principalmente en la física del plasma, desarrollando muchas ideas que ahora son fundamentales en este campo. Su teoría de las invariantes adiabáticas fue importante en la investigación de la fusión. Los conceptos importantes de la física del plasma que llevan su nombre incluyen la inestabilidad de Kruskal-Shafranov y los modos Bernstein-Greene-Kruskal (BGK) . Con IB Bernstein, EA Frieman y RM Kulsrud, desarrolló el principio energético MHD (o magnetohidrodinámico [11] ). Sus intereses se extendieron a la astrofísica del plasma y a los plasmas de laboratorio.
En 1960, Kruskal descubrió la estructura espacio-temporal clásica completa del tipo más simple de agujero negro en la relatividad general . Un espaciotiempo esféricamente simétrico puede describirse mediante la solución de Schwarzschild , que fue descubierta en los primeros días de la relatividad general. Sin embargo, en su forma original, esta solución sólo describe la región exterior al horizonte de sucesos del agujero negro. Kruskal (en paralelo con George Szekeres ) descubrió la continuación analítica máxima de la solución de Schwarzschild, que exhibió elegantemente utilizando lo que ahora se llaman coordenadas Kruskal-Szekeres .
Esto llevó a Kruskal al sorprendente descubrimiento de que el interior del agujero negro parece un " agujero de gusano " que conecta dos universos idénticos y asintóticamente planos . Este fue el primer ejemplo real de una solución de agujero de gusano en la relatividad general. El agujero de gusano colapsa hasta convertirse en una singularidad antes de que cualquier observador o señal pueda viajar de un universo a otro. Ahora se cree que este es el destino general de los agujeros de gusano en la relatividad general. En la década de 1970, cuando se descubrió la naturaleza térmica de la física de los agujeros negros , la propiedad de agujero de gusano de la solución de Schwarzschild resultó ser un ingrediente importante. Hoy en día, se considera una pista fundamental en los intentos de comprender la gravedad cuántica .
El trabajo más conocido de Kruskal fue el descubrimiento en la década de 1960 de la integrabilidad de ciertas ecuaciones diferenciales parciales no lineales que involucran funciones de una variable espacial además del tiempo. Estos desarrollos comenzaron con una simulación por computadora pionera realizada por Kruskal y Norman Zabusky (con cierta ayuda de Harry Dym ) de una ecuación no lineal conocida como ecuación de Korteweg-de Vries (KdV). La ecuación KdV es un modelo asintótico de la propagación de ondas dispersivas no lineales . Pero Kruskal y Zabusky hicieron el sorprendente descubrimiento de una solución de "onda solitaria" de la ecuación de KdV que se propaga de forma no dispersiva e incluso recupera su forma después de una colisión con otras ondas similares. Debido a las propiedades similares a partículas de dicha onda, la llamaron " solitón ", término que se hizo popular casi de inmediato.
Este trabajo fue motivado en parte por la paradoja de la casi recurrencia que había sido observada en una simulación por computadora muy temprana [12] de cierta red no lineal realizada por Enrico Fermi , John Pasta , Stanislaw Ulam y Mary Tsingou en Los Álamos en 1955. Esos autores habían observaron un comportamiento casi recurrente durante mucho tiempo de una cadena unidimensional de osciladores anarmónicos, en contraste con la rápida termalización que se esperaba. Kruskal y Zabusky simularon la ecuación KdV, que Kruskal había obtenido como límite continuo de esa cadena unidimensional, y encontraron un comportamiento solitónico, que es lo opuesto a la termalización. Ése resultó ser el meollo del fenómeno.
Los fenómenos de ondas solitarias habían sido un misterio del siglo XIX que se remontaba al trabajo de John Scott Russell , quien, en 1834, observó lo que ahora llamamos un solitón, propagándose en un canal, y lo persiguió a caballo. [13] A pesar de sus observaciones de solitones en experimentos con tanques de olas, Scott Russell nunca los reconoció como tales, debido a su enfoque en la "gran ola de traslación", la onda solitaria de mayor amplitud. Sus observaciones experimentales, presentadas en su Informe sobre las ondas a la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia en 1844, fueron vistas con escepticismo por George Airy y George Stokes porque sus teorías de las ondas lineales del agua no podían explicarlas. Joseph Boussinesq (1871) y Lord Rayleigh (1876) publicaron teorías matemáticas que justificaban las observaciones de Scott Russell. En 1895, Diederik Korteweg y Gustav de Vries formularon la ecuación KdV para describir ondas en aguas poco profundas (como las olas en el canal observadas por Russell), pero las propiedades esenciales de esta ecuación no se entendieron hasta el trabajo de Kruskal y sus colaboradores en la década de 1960.
El comportamiento solitónico sugirió que la ecuación KdV debe tener leyes de conservación más allá de las leyes de conservación obvias de la masa, la energía y el momento. Gerald Whitham descubrió una cuarta ley de conservación y Kruskal y Zabusky descubrieron una quinta. Robert Miura descubrió a mano varias leyes de conservación nuevas , quien también demostró que existían muchas leyes de conservación para una ecuación relacionada conocida como ecuación modificada de Korteweg-de Vries (MKdV). [14] Con estas leyes de conservación, Miura mostró una conexión (llamada transformación de Miura) entre las soluciones de las ecuaciones KdV y MKdV. Esta fue una pista que permitió a Kruskal, con Clifford S. Gardner , John M. Greene y Miura (GGKM), [15] descubrir una técnica general para la solución exacta de la ecuación de KdV y la comprensión de sus leyes de conservación. Este fue el método de dispersión inversa , un método sorprendente y elegante que demuestra que la ecuación de KdV admite un número infinito de cantidades conservadas con conmutación de Poisson y es completamente integrable. Este descubrimiento sentó las bases modernas para la comprensión del fenómeno del solitón: la onda solitaria se recrea en el estado saliente porque es la única manera de cumplir todas las leyes de conservación. Poco después de GGKM, Peter Lax interpretó el método de dispersión inversa en términos de deformaciones isoespectrales y pares de Lax .
El método de dispersión inversa ha tenido una asombrosa variedad de generalizaciones y aplicaciones en diferentes áreas de las matemáticas y la física. El propio Kruskal fue pionero en algunas de las generalizaciones, como la existencia de infinitas cantidades conservadas para la ecuación seno-Gordon . Esto llevó al descubrimiento de un método de dispersión inversa para esa ecuación por parte de MJ Ablowitz , DJ Kaup, AC Newell y H. Segur (AKNS). [16] La ecuación seno-Gordon es una ecuación de onda relativista en 1+1 dimensiones que también exhibe el fenómeno del solitón y que se convirtió en un modelo importante de la teoría relativista de campos con solución. En un trabajo fundamental que precede a AKNS, Zakharov y Shabat descubrieron un método de dispersión inversa para la ecuación de Schrödinger no lineal.
Ahora se sabe que los solitones están en todas partes en la naturaleza, desde la física hasta la biología. En 1986, Kruskal y Zabusky compartieron la Medalla de Oro Howard N. Potts del Instituto Franklin "por sus contribuciones a la física matemática y las primeras combinaciones creativas de análisis y computación, pero más especialmente por su trabajo fundamental en las propiedades de los solitones". Al otorgar el Premio Steele 2006 a Gardner, Greene, Kruskal y Miura, la Sociedad Matemática Estadounidense afirmó que antes de su trabajo "no existía una teoría general para la solución exacta de ninguna clase importante de ecuaciones diferenciales no lineales". El AMS agregó: "En las aplicaciones de las matemáticas, los solitones y sus descendientes (kinks, anti-kinks, instantones y respiradores) han entrado y cambiado campos tan diversos como la óptica no lineal, la física del plasma y las ciencias oceánicas, atmosféricas y planetarias. ha experimentado una revolución: de una molestia que hay que eliminar a una nueva herramienta que hay que explotar."
Kruskal recibió la Medalla Nacional de Ciencias en 1993 "por su influencia como líder en ciencia no lineal durante más de dos décadas como arquitecto principal de la teoría de las soluciones solitón de ecuaciones no lineales de evolución".
En un artículo [17] que examinaba el estado de las matemáticas en el cambio de milenio, el eminente matemático Philip A. Griffiths escribió que el descubrimiento de la integrabilidad de la ecuación KdV "mostraba de la manera más hermosa la unidad de las matemáticas. Implicaba avances en computación y en análisis matemático, que es la forma tradicional de estudiar ecuaciones diferenciales. Resulta que uno puede comprender las soluciones de estas ecuaciones diferenciales a través de ciertas construcciones muy elegantes en geometría algebraica . Las soluciones también están íntimamente relacionadas con la teoría de la representación . en el sentido de que estas ecuaciones resultan tener un número infinito de simetrías ocultas. Finalmente, se relacionan con problemas de geometría elemental.
En la década de 1980, Kruskal desarrolló un gran interés por las ecuaciones de Painlevé . Con frecuencia surgen como reducciones de simetría de ecuaciones de solitones, y Kruskal estaba intrigado por la íntima relación que parecía existir entre las propiedades que caracterizaban estas ecuaciones y los sistemas completamente integrables. Gran parte de su investigación posterior estuvo impulsada por el deseo de comprender esta relación y desarrollar nuevos métodos directos y simples para estudiar las ecuaciones de Painlevé. Kruskal rara vez estaba satisfecho con los enfoques estándar de las ecuaciones diferenciales.
Las seis ecuaciones de Painlevé tienen una propiedad característica llamada propiedad de Painlevé: sus soluciones son univaluadas alrededor de todas las singularidades cuyas ubicaciones dependen de las condiciones iniciales. En opinión de Kruskal, dado que esta propiedad define las ecuaciones de Painlevé, se debería poder partir de ella, sin estructuras adicionales innecesarias, para obtener toda la información necesaria sobre sus soluciones. El primer resultado fue un estudio asintótico de las ecuaciones de Painlevé con Nalini Joshi , inusual en ese momento porque no requería el uso de problemas lineales asociados. Su persistente cuestionamiento de los resultados clásicos condujo a un método directo y simple, también desarrollado con Joshi, para demostrar la propiedad Painlevé de las ecuaciones de Painlevé.
En la última parte de su carrera, uno de los principales intereses de Kruskal fue la teoría de los números surrealistas . Los números surrealistas, que se definen de forma constructiva, tienen todas las propiedades y operaciones básicas de los números reales. Incluyen los números reales junto con muchos tipos de infinitos e infinitesimales. Kruskal contribuyó a la fundación de la teoría, a definir funciones surrealistas y a analizar su estructura. Descubrió un vínculo notable entre los números surrealistas, las asintóticas y las asintóticas exponenciales. Una importante cuestión abierta, planteada por Conway, Kruskal y Norton a finales de los años 1970, e investigada por Kruskal con gran tenacidad, es si las funciones surrealistas que se comportan suficientemente bien poseen integrales definidas. Esta pregunta fue respondida negativamente en general, por lo que Conway et al. había esperado, por Costin, Friedman y Ehrlich en 2015. [18] Sin embargo, el análisis de Costin et al. muestra que existen integrales definidas para una clase suficientemente amplia de funciones surrealistas para las cuales se cumple la visión de Kruskal del análisis asintótico, concebida de manera amplia. En el momento de su muerte, Kruskal estaba escribiendo un libro sobre análisis surrealista con O. Costin.
Kruskal acuñó el término asintotología para describir el "arte de tratar con sistemas matemáticos aplicados en casos límite". [19] Formuló siete principios de asintotología: 1. El principio de simplificación; 2. El Principio de Recursión; 3. El Principio de Interpretación; 4. El principio del comportamiento salvaje; 5. El Principio de Aniquilación; 6. El Principio del Equilibrio Máximo; 7. El principio del disparate matemático.
El término asintotología no se utiliza tan ampliamente como el término solitón . Se han utilizado con éxito métodos asintóticos de diversos tipos desde casi el nacimiento de la ciencia misma. Sin embargo, Kruskal intentó demostrar que la asintotología es una rama especial del conocimiento, intermedia, en cierto sentido, entre la ciencia y el arte. Su propuesta ha resultado muy fructífera. [20] [21] [22]
Los honores y premios de Kruskal incluyeron:
