Espacio de Hausdorff

Tipo de espacio topológico

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Hausdorff ( / ˈh aʊ s d ɔːr f / HOWSS -dorf , / ˈh aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ^[1] ), espacio T ₂ o espacio separado , es un espacio topológico donde puntos distintos tienen vecindarios disjuntos . De los muchos axiomas de separación que se pueden imponer en un espacio topológico, la "condición de Hausdorff" (T ₂ ) es la más utilizada y discutida. Implica la unicidad de los límites de secuencias , redes y filtros . ^[2]

Los espacios de Hausdorff reciben su nombre en honor a Felix Hausdorff , uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico (en 1914) incluía la condición de Hausdorff como axioma .

Definiciones

Los puntos x e y, separados por sus respectivos vecindarios U y V.

Los puntos y en un espacio topológico pueden estar separados por vecindades si existe una vecindad de y una vecindad de tal que y son disjuntos . es un espacio de Hausdorff si dos puntos distintos en están separados por vecindades. Esta condición es el tercer axioma de separación (después de T ₀ y T ₁ ), por lo que los espacios de Hausdorff también se denominan espacios T ₂ . También se utiliza el nombre de espacio separado . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (U\cap V=\varnothing )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un concepto relacionado, pero más débil, es el de espacio prerregular . Un espacio prerregular es un espacio prerregular si dos puntos topológicamente distinguibles pueden separarse mediante vecindades disjuntas. Un espacio prerregular también se denomina espacio R ₁ . ${\displaystyle X}$

La relación entre estas dos condiciones es la siguiente. Un espacio topológico es de Hausdorff si y solo si es prerregular (es decir, los puntos topológicamente distinguibles están separados por vecindades) y de Kolmogorov (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles). Un espacio topológico es prerregular si y solo si su cociente de Kolmogorov es de Hausdorff.

Equivalencias

Para un espacio topológico , son equivalentes: ^[2] ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff.
• Los límites de las redes son únicos. ^[3] ${\displaystyle X}$
• Los límites de los filtros son únicos. ^[3] ${\displaystyle X}$
• Cualquier conjunto singleton es igual a la intersección de todos los vecindarios cerrados de . ^[4] (Un vecindario cerrado de es un conjunto cerrado que contiene un conjunto abierto que contiene ). ${\displaystyle \{x\}\subset X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• La diagonal está cerrada como un subconjunto del espacio del producto . ${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Cualquier inyección desde el espacio discreto con dos puntos a tiene la propiedad de elevación con respecto a la función del espacio topológico finito con dos puntos abiertos y un punto cerrado a un solo punto. ${\displaystyle X}$

Ejemplos de espacios de Hausdorff y no Hausdorff

Casi todos los espacios que se encuentran en el análisis son de Hausdorff; lo más importante es que los números reales (según la topología métrica estándar de los números reales) son un espacio de Hausdorff. En términos más generales, todos los espacios métricos son de Hausdorff. De hecho, muchos espacios de uso en el análisis, como los grupos topológicos y las variedades topológicas , tienen la condición de Hausdorff explícitamente establecida en sus definiciones.

Un ejemplo simple de una topología que es T 1 pero no es de Hausdorff es la topología cofinita definida en un conjunto infinito , así como la topología cocontable definida en un conjunto incontable .

Los espacios pseudométricos no suelen ser de Hausdorff, pero son preregulares, y su uso en el análisis suele ser solo en la construcción de espacios de calibración de Hausdorff . De hecho, cuando los analistas se encuentran con un espacio que no es de Hausdorff, es probable que siga siendo al menos preregular, y entonces simplemente lo reemplazan con su cociente de Kolmogorov, que es de Hausdorff. ^[5]

En cambio, los espacios no preregulares se encuentran con mucha más frecuencia en el álgebra abstracta y la geometría algebraica , en particular como la topología de Zariski sobre una variedad algebraica o el espectro de un anillo . También surgen en la teoría de modelos de la lógica intuicionista : toda álgebra de Heyting completa es el álgebra de conjuntos abiertos de algún espacio topológico, pero este espacio no necesita ser preregular, mucho menos de Hausdorff, y de hecho normalmente no lo es. El concepto relacionado de dominio de Scott también consta de espacios no preregulares.

Si bien la existencia de límites únicos para redes y filtros convergentes implica que un espacio es de Hausdorff, existen espacios T _{1 no Hausdorff en los que cada secuencia convergente tiene un límite único.} ^[6] Dichos espacios se denominan espacios US . ^[7] Para los espacios secuenciales , esta noción es equivalente a ser débilmente Hausdorff .

Propiedades

Los subespacios y productos de espacios de Hausdorff son Hausdorff, pero los espacios cocientes de espacios de Hausdorff no necesariamente son Hausdorff. De hecho, cada espacio topológico puede realizarse como el cociente de algún espacio de Hausdorff. ^[8]

Los espacios de Hausdorff son T 1 , lo que significa que cada singleton es un conjunto cerrado. De manera similar, los espacios preregulares son R 0 . Todo espacio de Hausdorff es un espacio sobrio , aunque la recíproca en general no es cierta.

Otra propiedad de los espacios de Hausdorff es que cada conjunto compacto es un conjunto cerrado. Para los espacios no Hausdorff, puede ser que cada conjunto compacto sea un conjunto cerrado (por ejemplo, la topología cocontable sobre un conjunto incontable) o no (por ejemplo, la topología cofinita sobre un conjunto infinito y el espacio de Sierpiński ).

La definición de un espacio de Hausdorff dice que los puntos pueden estar separados por vecindades. Resulta que esto implica algo que parece más fuerte: en un espacio de Hausdorff, cada par de conjuntos compactos disjuntos también puede estar separado por vecindades ^[9] , en otras palabras, hay una vecindad de un conjunto y una vecindad del otro, de modo que las dos vecindades son disjuntas. Este es un ejemplo de la regla general de que los conjuntos compactos a menudo se comportan como puntos.

Las condiciones de compacidad junto con la preregularidad a menudo implican axiomas de separación más fuertes. Por ejemplo, cualquier espacio preregular localmente compacto es completamente regular . ^{[10] [11]} Los espacios preregulares compactos son normales , ^[12] lo que significa que satisfacen el lema de Urysohn y el teorema de extensión de Tietze y tienen particiones de unidad subordinadas a cubiertas abiertas localmente finitas . Las versiones de Hausdorff de estas afirmaciones son: todo espacio de Hausdorff localmente compacto es de Tychonoff , y todo espacio de Hausdorff compacto es de Hausdorff normal.

Los siguientes resultados son algunas propiedades técnicas relacionadas con los mapas ( continuos y otros) hacia y desde espacios de Hausdorff.

Sea una función continua y supongamos que es Hausdorff. Entonces el gráfico de , , es un subconjunto cerrado de . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Sea una función y sea su núcleo considerado como un subespacio de . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \ker(f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$ ${\displaystyle X\times X}$

• Si es continuo y es Hausdorff entonces es un conjunto cerrado. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker(f)}$
• Si es una sobreyección abierta y es un conjunto cerrado entonces es Hausdorff. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle Y}$
• Si es una sobreyección continua y abierta (es decir, una función cociente abierta), entonces es Hausdorff si y sólo si es un conjunto cerrado. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker(f)}$

Si son funciones continuas y es Hausdorff entonces el ecualizador es un conjunto cerrado en . De ello se deduce que si es Hausdorff y y concuerdan en un subconjunto denso de entonces . En otras palabras, las funciones continuas en espacios de Hausdorff están determinadas por sus valores en subconjuntos densos. ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=g}$

Sea una sobreyección cerrada tal que sea compacta para todo . Entonces, si es Hausdorff, entonces es . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Sea una función cociente con un espacio de Hausdorff compacto. Entonces, las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle Y}$es Hausdorff.
• ${\displaystyle f}$es un mapa cerrado .
• ${\displaystyle \ker(f)}$es un conjunto cerrado.

Preregularidad versus regularidad

Todos los espacios regulares son preregulares, al igual que todos los espacios de Hausdorff. Existen muchos resultados para espacios topológicos que se aplican tanto a espacios regulares como a espacios de Hausdorff. La mayoría de las veces, estos resultados se aplican a todos los espacios preregulares; se enumeraron por separado para espacios regulares y de Hausdorff porque la idea de los espacios preregulares surgió más tarde. Por otro lado, aquellos resultados que realmente se refieren a la regularidad generalmente no se aplican también a los espacios de Hausdorff no regulares.

Existen muchas situaciones en las que otra condición de los espacios topológicos (como la paracompacidad o la compacidad local ) implicará regularidad si se satisface la preregularidad. Dichas condiciones suelen presentarse en dos versiones: una versión regular y una versión de Hausdorff. Aunque los espacios de Hausdorff no son, en general, regulares, un espacio de Hausdorff que también sea (por ejemplo) localmente compacto será regular, porque cualquier espacio de Hausdorff es preregular. Por lo tanto, desde cierto punto de vista, es realmente la preregularidad, más que la regularidad, lo que importa en estas situaciones. Sin embargo, las definiciones generalmente todavía se formulan en términos de regularidad, ya que esta condición es más conocida que la preregularidad.

Consulte Historia de los axiomas de separación para obtener más información sobre este tema.

Variantes

Los términos "Hausdorff", "separado" y "preregular" también se pueden aplicar a variantes de los espacios topológicos como espacios uniformes , espacios de Cauchy y espacios de convergencia . La característica que une el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de las redes y los filtros (cuando existen) son únicos (para espacios separados) o únicos hasta la indistinguibilidad topológica (para espacios preregulares).

Resulta que los espacios uniformes, y más generalmente los espacios de Cauchy, son siempre preregulares, por lo que la condición de Hausdorff en estos casos se reduce a la condición T _0. Estos son también los espacios en los que la completitud tiene sentido, y la Hausdorffidad es un acompañante natural de la completitud en estos casos. Específicamente, un espacio es completo si y solo si cada red de Cauchy tiene al menos un límite, mientras que un espacio es Hausdorff si y solo si cada red de Cauchy tiene como máximo un límite (ya que solo las redes de Cauchy pueden tener límites en primer lugar).

Álgebra de funciones

El álgebra de funciones continuas (reales o complejas) en un espacio de Hausdorff compacto es una C*-álgebra conmutativa y, a la inversa, mediante el teorema de Banach-Stone se puede recuperar la topología del espacio a partir de las propiedades algebraicas de su álgebra de funciones continuas. Esto conduce a la geometría no conmutativa , donde se consideran las C*-álgebras no conmutativas como álgebras representativas de funciones en un espacio no conmutativo.

Humor académico

• La condición de Hausdorff se ilustra con el juego de palabras de que en los espacios de Hausdorff dos puntos cualesquiera pueden estar "alojados" uno del otro por conjuntos abiertos . ^[13]
• En el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Bonn , en el que Felix Hausdorff realizó investigaciones y dio clases, hay una sala denominada Hausdorff-Raum . Se trata de un juego de palabras , ya que Raum significa tanto sala como espacio en alemán.

Véase también

• Espacio de punto fijo  : Espacio donde todas las funciones tienen puntos fijos, un espacio de Hausdorff X tal que cada función continua f  : X → X tiene un punto fijo.
• Espacio Hausdorff local
• Variedad no Hausdorff  – generalización de variedadesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio cuasitotopológico  : un conjunto X equipado con una función que asocia a cada espacio de Hausdorff compacto K una colección de aplicaciones K→C que satisfacen ciertas condiciones naturalesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Axioma de separación  – Axiomas en topología que definen nociones de “separación”
• Espacio débil de Hausdorff  : concepto en topología algebraicaPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. "Espacio de Hausdorff Definición y significado" www.dictionary.com . Consultado el 15 de junio de 2022 .
2. "Axiomas de separación en nLab". ncatlab.org .
3. Willard 2004, págs. 86-87
4. Bourbaki 1966, pág. 75
5. Véase, por ejemplo, espacios Lp#espacios Lp e integrales de Lebesgue , compactum de Banach-Mazur , etc.
6. van Douwen, Eric K. (1993). "Un espacio anti-Hausdorff Fréchet en el que las sucesiones convergentes tienen límites únicos". Topología y sus aplicaciones . 51 (2): 147–158. doi : 10.1016/0166-8641(93)90147-6 .
7. Wilansky, Albert (1967). "Entre T ₁ y T ₂ ". The American Mathematical Monthly . 74 (3): 261–266. doi :10.2307/2316017. JSTOR  2316017.
8. Shimrat, M. (1956). "Espacios de descomposición y propiedades de separación". Quarterly Journal of Mathematics . 2 : 128–129. doi :10.1093/qmath/7.1.128.
9. Willard 2004, págs. 124
10. Schechter 1996, 17.14 (d), pág. 460.
11. "Los espacios preregulares localmente compactos son completamente regulares". math.stackexchange.com .
12. Schechter 1996, 17,7 (g), pág. 457.
13. Adams, Colin ; Franzosa, Robert (2008). Introducción a la topología: pura y aplicada . Pearson Prentice Hall . pág. 42. ISBN 978-0-13-184869-6.

Referencias

• Arkhangelskii, AV; Pontryagin, LS (1990). Topología general I. Saltador . ISBN 3-540-18178-4.
• Bourbaki (1966). Elementos de matemáticas: topología general . Addison-Wesley .
• "Espacio de Hausdorff", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Willard, Stephen (2004). Topología general. Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-43479-6.