Seminorma

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , una seminorma es una norma que no necesita ser definida positiva . Las seminormas están íntimamente relacionadas con los conjuntos convexos : cada seminorma es la función de Minkowski de algún disco absorbente y, a la inversa, la función de Minkowski de cualquier conjunto de ese tipo es una seminorma.

Un espacio vectorial topológico es localmente convexo si y sólo si su topología es inducida por una familia de seminormas.

Definición

Sea un espacio vectorial sobre números reales o números complejos . Una función de valor real se denomina seminorma si satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. Subaditividad ^[1] / Desigualdad triangular : para todos ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Homogeneidad absoluta : ^[1] para todos y cada uno de los escalares ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$

Estas dos condiciones implican que ^{[prueba 1]} y que cada seminorma también tiene la siguiente propiedad: ^{[prueba 2]} ${\displaystyle p(0)=0}$ ${\displaystyle p}$

3. No negatividad : ^[1] para todos ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Algunos autores incluyen la no negatividad como parte de la definición de "seminorma" (y también a veces de "norma"), aunque esto no es necesario ya que se desprende de las otras dos propiedades.

Por definición, una norma es una seminorma que también separa puntos, lo que significa que tiene la siguiente propiedad adicional: ${\displaystyle X}$

4. Definitivo positivo / Positivo ^[1] /Separación de puntos : siempre quesatisfagaentonces ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle x=0.}$

AEl espacio seminormado es un parque consiste en un espacio vectorialy una seminorma.Si la seminormatambién es una norma, entonces el espacio seminormadose denomina espacio normado . ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,p)}$

Dado que la homogeneidad absoluta implica homogeneidad positiva, cada seminorma es un tipo de función llamada función sublineal . Una función se denomina función sublineal si es subaditiva y homogénea positiva . A diferencia de una seminorma, una función sublineal no es necesariamente no negativa. Las funciones sublineales se encuentran a menudo en el contexto del teorema de Hahn-Banach . Una función de valor real es una seminorma si y solo si es una función sublineal y balanceada . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

Ejemplos

• La seminorma trivial en la que se refiere al mapa constante en induce la topología indiscreta en ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$
• Sea una medida en un espacio . Para una constante arbitraria , sea el conjunto de todas las funciones para las que existe y es finito. Se puede demostrar que es un espacio vectorial y el funcional es una seminorma en . Sin embargo, no siempre es una norma (por ejemplo, si y es la medida de Lebesgue ) porque no siempre implica . Para hacer una norma, se obtiene el cociente por el subespacio cerrado de funciones con . El espacio resultante , , tiene una norma inducida por . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle c\geq 1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lVert f\rVert _{c}:=\left(\int _{\Omega }|f|^{c}\,d\mu \right)^{1/c}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$ ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$ ${\displaystyle L^{c}(\mu )}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$
• Si es cualquier forma lineal en un espacio vectorial, entonces su valor absoluto definido por es una seminorma. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|,}$ ${\displaystyle x\mapsto |f(x)|,}$
• Una función sublineal en un espacio vectorial real es una seminorma si y solo si es una función simétrica , lo que significa que para todos ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$
• Toda función sublineal de valor real en un espacio vectorial real induce una seminorma definida por ^[2] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.}$
• Toda suma finita de seminomas es una seminoma. La restricción de una seminoma (respectivamente, norma) a un subespacio vectorial es, una vez más, una seminoma (respectivamente, norma).
• Si y son seminormas (respectivamente, normas) en y entonces la función definida por es una seminorma (respectivamente, una norma) en En particular, las funciones en definidas por y son ambas seminormas en ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle r:X\times Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r(x,y)=p(x)+q(y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto p(x)}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto q(y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
• Si y son seminormas en entonces también lo son ^[3] y donde y ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}}$$ $${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}}$$ ${\displaystyle p\wedge q\leq p}$ ${\displaystyle p\wedge q\leq q.}$
• El espacio de seminormas en no es generalmente una red distributiva con respecto a las operaciones anteriores. Por ejemplo, sobre , son tales que mientras ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p(x,y):=\max(|x|,|y|),q(x,y):=2|x|,r(x,y):=2|y|}$ $${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (p\vee r))(x,y)=\inf\{\max(2|x_{1}|,|y_{1}|)+\max(|x_{2}|,2|y_{2}|):x=x_{1}+x_{2}{\text{ and }}y=y_{1}+y_{2}\}}$$ ${\displaystyle (p\vee q\wedge r)(x,y):=\max(|x|,|y|)}$
• Si es una función lineal y es una seminorma en entonces es una seminorma en La seminorma será una norma en si y solo si es inyectiva y la restricción es una norma en ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle q\circ L:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q\circ L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q{\big \vert }_{L(X)}}$ ${\displaystyle L(X).}$

Funcionales y seminormas de Minkowski

Las seminormas de un espacio vectorial están íntimamente ligadas, a través de los funcionales de Minkowski, a subconjuntos de que son convexos , equilibrados y absorbentes . Dado un subconjunto de este tipo de, el funcional de Minkowski de es una seminorma. Por el contrario, dada una seminorma de los conjuntos y que son convexos, equilibrados y absorbentes y, además, el funcional de Minkowski de estos dos conjuntos (así como de cualquier conjunto que se encuentre "entre ellos") es ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle p.}$

Propiedades algebraicas

Cada seminorma es una función sublineal y, por lo tanto, satisface todas las propiedades de una función sublineal , incluida la convexidad , y para todos los vectores : la desigualdad del triángulo inverso : ^{[2] [6]} y también y ^{[2] [6]} ${\displaystyle p(0)=0,}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ $${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y)}$$ ${\textstyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$ ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$

Para cualquier vector y real positivo ^[7] y además, es un disco absorbente en ^[3] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0:}$ $${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(x-y)<r\}}$$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle X.}$

Si es una función sublineal en un espacio vectorial real entonces existe una función lineal en tal que ^[6] y además, para cualquier función lineal en en si y sólo si ^[6] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Otras propiedades de las seminomas

Toda seminorma es una función balanceada . Una seminorma es una norma en si y solo si no contiene un subespacio vectorial no trivial. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

Si es una seminorma en entonces es un subespacio vectorial de y para cada es constante en el conjunto e igual a ^{[prueba 3]} ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker p:=p^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x+\ker p=\{x+k:p(k)=0\}}$ ${\displaystyle p(x).}$

Además, para cualquier ^{[3] real} ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}.}$$

Si es un conjunto que satisface entonces es absorbente en y donde denota el funcional de Minkowski asociado con (es decir, el calibre de ). ^[5] En particular, si es como el anterior y es cualquier seminorma en entonces si y solo si ^[5] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=p_{D}}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q=p}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.}$

Si es un espacio normado y entonces para todo en el intervalo ^[8] ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [x,y].}$

Toda norma es una función convexa y, en consecuencia, encontrar un máximo global de una función objetivo basada en una norma a veces es factible.

Relación con otros conceptos normativos

Sea una función no negativa. Las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$es una seminorma.
2. ${\displaystyle p}$es una seminorma convexa . ${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle p}$ is a convex balanced G-seminorm.^[9]

If any of the above conditions hold, then the following are equivalent:

1. ${\displaystyle p}$ is a norm;
2. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ does not contain a non-trivial vector subspace.^[10]
3. There exists a norm on ${\displaystyle X,}$ with respect to which, ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ is bounded.

If ${\displaystyle p}$ is a sublinear function on a real vector space ${\displaystyle X}$ then the following are equivalent:^[6]

1. ${\displaystyle p}$ is a linear functional;
2. ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0{\text{ for every }}x\in X}$;
3. ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0{\text{ for every }}x\in X}$;

Inequalities involving seminorms

If ${\displaystyle p,q:X\to [0,\infty )}$ are seminorms on ${\displaystyle X}$ then:

• ${\displaystyle p\leq q}$ if and only if ${\displaystyle q(x)\leq 1}$ implies ${\displaystyle p(x)\leq 1.}$^[11]
• If ${\displaystyle a>0}$ and ${\displaystyle b>0}$ are such that ${\displaystyle p(x)<a}$ implies ${\displaystyle q(x)\leq b,}$ then ${\displaystyle aq(x)\leq bp(x)}$ for all ${\displaystyle x\in X.}$ ^[12]
• Suppose ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ are positive real numbers and ${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$ are seminorms on ${\displaystyle X}$ such that for every ${\displaystyle x\in X,}$ if ${\displaystyle \max\{p_{1}(x),\ldots ,p_{n}(x)\}<a}$ then ${\displaystyle q(x)<b.}$ Then ${\displaystyle aq\leq b\left(p_{1}+\cdots +p_{n}\right).}$^[10]
• If ${\displaystyle X}$ is a vector space over the reals and ${\displaystyle f}$ is a non-zero linear functional on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle f\leq p}$ if and only if ${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}.}$^[11]

If ${\displaystyle p}$ is a seminorm on ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle f}$ is a linear functional on ${\displaystyle X}$ then:

• ${\displaystyle |f|\leq p}$ on ${\displaystyle X}$ if and only if ${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq p}$ on ${\displaystyle X}$ (see footnote for proof).^[13][14]
• ${\displaystyle f\leq p}$ on ${\displaystyle X}$ if and only if ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.}$^[6][11]
• If ${\displaystyle a>0}$ and ${\displaystyle b>0}$ are such that ${\displaystyle p(x)<a}$ implies ${\displaystyle f(x)\neq b,}$ then ${\displaystyle a|f(x)|\leq bp(x)}$ for all ${\displaystyle x\in X.}$^[12]

Hahn–Banach theorem for seminorms

Seminorms offer a particularly clean formulation of the Hahn–Banach theorem:

If ${\displaystyle M}$ is a vector subspace of a seminormed space ${\displaystyle (X,p)}$ and if ${\displaystyle f}$ is a continuous linear functional on ${\displaystyle M,}$ then ${\displaystyle f}$ may be extended to a continuous linear functional ${\displaystyle F}$ on ${\displaystyle X}$ that has the same norm as ${\displaystyle f.}$^[15]

A similar extension property also holds for seminorms:

Theorem^[16][12] (Extending seminorms) — If ${\displaystyle M}$ is a vector subspace of ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ is a seminorm on ${\displaystyle M,}$ and ${\displaystyle q}$ is a seminorm on ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle p\leq q{\big \vert }_{M},}$ then there exists a seminorm ${\displaystyle P}$ on ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle P{\big \vert }_{M}=p}$ and ${\displaystyle P\leq q.}$

Proof: Let ${\displaystyle S}$ be the convex hull of ${\displaystyle \{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$ Then ${\displaystyle S}$ is an absorbing disk in ${\displaystyle X}$ and so the Minkowski functional ${\displaystyle P}$ of ${\displaystyle S}$ is a seminorm on ${\displaystyle X.}$ This seminorm satisfies ${\displaystyle p=P}$ on ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle P\leq q}$ on ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Topologies of seminormed spaces

Pseudometrics and the induced topology

Una seminorma en induce una topología, llamada topología inducida por seminorma , a través de la pseudométrica invariante en la traducción canónica ; Esta topología es de Hausdorff si y solo si es una métrica, lo que ocurre si y solo si es una norma . ^[4] Esta topología se convierte en un espacio vectorial topológico pseudometrizable localmente convexo que tiene una vecindad acotada del origen y una base de vecindad en el origen que consiste en las siguientes bolas abiertas (o las bolas cerradas) centradas en el origen: como rangos sobre los reales positivos. Se debe suponer que todo espacio seminormizado está dotado de esta topología a menos que se indique lo contrario. Un espacio vectorial topológico cuya topología es inducida por alguna seminorma se llama seminormable . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{p}:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{p}(x,y):=p(x-y)=p(y-x).}$ ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}\quad {\text{ or }}\quad \{x\in X:p(x)\leq r\}}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (X,p)}$

De manera equivalente, cada espacio vectorial con seminorma induce un cociente de espacio vectorial donde es el subespacio de que consiste en todos los vectores con Entonces lleva una norma definida por La topología resultante, retrotraída a es precisamente la topología inducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X/W,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0.}$ ${\displaystyle X/W}$ ${\displaystyle p(x+W)=p(x).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p.}$

Cualquier topología inducida por seminorma hace localmente convexo , como sigue. Si es una seminorma en y llamamos al conjunto la bola abierta de radio alrededor del origen ; asimismo, la bola cerrada de radio es El conjunto de todas las bolas abiertas (o cerradas) en el origen forma una base de vecindad de conjuntos equilibrados convexos que son abiertos (o cerrados) en la topología en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Seminormas más fuertes, más débiles y equivalentes

Las nociones de seminormas más fuertes y más débiles son similares a las nociones de normas más fuertes y más débiles . Si y son seminormas en entonces decimos que es más fuerte que y que es más débil que si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

1. La topología inducida por es más fina que la topología inducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$
2. Si es una secuencia en entonces en implica en ^[4] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
3. Si es una red en entonces en implica en ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
4. ${\displaystyle p}$está delimitado por ^[4] ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}.}$
5. Si entonces para todos ^[4] ${\displaystyle \inf {}\{q(x):p(x)=1,x\in X\}=0}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. Existe un real tal que en ^[4] ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle p\leq Kq}$ ${\displaystyle X.}$

Las seminormas y se denominan equivalentes si ambas son más débiles (o ambas más fuertes) que la otra. Esto sucede si cumplen alguna de las siguientes condiciones: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

1. La topología inducida por es la misma que la topología inducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$
2. ${\displaystyle q}$es más fuerte que y es más fuerte que ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q.}$
3. Si es una secuencia en entonces si y sólo si ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0.}$
4. Existen números reales positivos y tales que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle rq\leq p\leq Rq.}$

Normabilidad y seminormabilidad

Se dice que un espacio vectorial topológico (TVS) es unespacio seminormable (respectivamente, unespacio normable ) si su topología es inducida por una sola seminorma (resp. una sola norma). Un TVS es normable si y solo si es seminormable y Hausdorff o, equivalentemente, si y solo si es seminormable yT 1 (porque un TVS es Hausdorff si y solo si es unespacioT 1 ).El espacio vectorial topológico acotado localmente es un espacio vectorial topológico que posee una vecindad acotada del origen.

La normabilidad de los espacios vectoriales topológicos se caracteriza por el criterio de normabilidad de Kolmogorov . Un TVS es seminormable si y solo si tiene un entorno acotado convexo del origen. ^[17] Por lo tanto, un TVS localmente convexo es seminormable si y solo si tiene un conjunto abierto acotado no vacío. ^[18] Un TVS es normable si y solo si es un espacio T 1 y admite un entorno acotado convexo del origen.

Si es un TVS localmente convexo de Hausdorff , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es normalizable.
2. ${\displaystyle X}$es seminormable.
3. ${\displaystyle X}$tiene un vecindario acotado del origen.
4. El dual fuerte de es normable. ^[19] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
5. El dual fuerte de es metrizable . ^[19] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Además, es de dimensión finita si y sólo si es normable (aquí denota que está dotado de la topología débil-* ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

El producto de un número infinito de espacios seminormables es a su vez seminormable si y sólo si todos, excepto un número finito, de estos espacios son triviales (es decir, de dimensión 0). ^[18]

Propiedades topológicas

• Si es un TVS y es una seminorma continua en entonces el cierre de en es igual a ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$
• El cierre de en un espacio localmente convexo cuya topología está definida por una familia de seminormas continuas es igual a ^[11] ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$
• Un subconjunto en un espacio semirnormalizado está acotado si y sólo si está acotado. ^[20] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p(S)}$
• Si es un espacio semirregulado entonces la topología localmente convexa que induce en se convierte en un TVS pseudometrizable con una pseudometría canónica dada por para todo ^[21] ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
• El producto de infinitos espacios seminormables es nuevamente seminormable si y sólo si todos, excepto un número finito, de estos espacios son triviales (es decir, de dimensión 0). ^[18]

Continuidad de las seminormas

Si es una seminorma en un espacio vectorial topológico entonces las siguientes son equivalentes: ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle p}$es continua
2. ${\displaystyle p}$es continua en 0; ^[3]
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$está abierto en ; ^[3] ${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$es un vecindario cerrado de 0 en ; ^[3] ${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle p}$es uniformemente continua en ; ^[3] ${\displaystyle X}$
6. Existe una seminorma continua en tal que ^[3] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q.}$

En particular, si es un espacio seminormado, entonces una seminorma en es continua si y solo si está dominada por un múltiplo escalar positivo de ^[3] ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$

Si es una TVS real, es una funcional lineal en y es una seminorma continua (o más generalmente, una función sublineal) en entonces en implica que es continua. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Continuidad de aplicaciones lineales

Si es una función entre espacios seminormados entonces sea ^[15] ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$ $${\displaystyle \|F\|_{p,q}:=\sup\{q(F(x)):p(x)\leq 1,x\in X\}.}$$

Si es una función lineal entre espacios semirregulados entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$

1. ${\displaystyle F}$es continuo;
2. ${\displaystyle \|F\|_{p,q}<\infty }$; ^[15]
3. Existe un real tal que ; ^[15] ${\displaystyle K\geq 0}$ ${\displaystyle p\leq Kq}$
   • En este caso, ${\displaystyle \|F\|_{p,q}\leq K.}$

Si es continua entonces para todo ^[15] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle q(F(x))\leq \|F\|_{p,q}p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

El espacio de todos los mapas lineales continuos entre espacios seminormados es en sí mismo un espacio seminormado bajo la seminorma. Esta seminorma es una norma si es una norma. ^[15] ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$ ${\displaystyle \|F\|_{p,q}.}$ ${\displaystyle q}$

Generalizaciones

El concepto de norma en las álgebras de composición no comparte las propiedades habituales de una norma.

Un álgebra de composición consiste en un álgebra sobre un cuerpo, una involución y una forma cuadrática que se denomina "norma". En varios casos es una forma cuadrática isótropa, de modo que tiene al menos un vector nulo , al contrario de la separación de puntos requerida para la norma habitual que se analiza en este artículo. ${\displaystyle (A,*,N)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \,*,}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$

Una ultraseminorma o una seminorma no arquimediana es una seminorma que también satisface ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ for all }}x,y\in X.}$

Debilitamiento de la subaditividad: cuasi-seminormas

Una función se denomina cuasi-seminorma si es (absolutamente) homogénea y existe alguna tal que El valor más pequeño de para el cual esto es válido se denomina multiplicador de ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b\leq 1}$ ${\displaystyle p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y)){\text{ for all }}x,y\in X.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p.}$

Una cuasiseminorma que separa puntos se llama cuasinorma . ${\displaystyle X.}$

Debilitando la homogeneidad - -seminormas ${\displaystyle k}$

Una función se llama -seminorma si es subaditiva y existe una tal que y para todos los escalares y Una -seminorma que separa puntos se llama -norma en ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0<k\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s,}$ $${\displaystyle p(sx)=|s|^{k}p(x)}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X.}$

Tenemos la siguiente relación entre cuasi-seminormas y -seminormas: ${\displaystyle k}$

Supongamos que es una cuasi-seminorma en un espacio vectorial con multiplicador. Si entonces existe -seminorma en equivalente a ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle 0<{\sqrt {k}}<\log _{2}b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q.}$

Véase también

• Norma asimétrica  – Generalización del concepto de norma
• Espacio de Banach  : espacio vectorial normado que es completo
• Mapeo de contracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• Topología localmente convexa más fina  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de Hahn-Banach  – Teorema sobre la extensión de funciones lineales acotadasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Norma de Gower
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Distancia de Mahalanobis  : medida estadística de distancia
• Norma matricial  – Norma en un espacio vectorial de matrices
• Funcional de Minkowski  : Función formada a partir de un conjunto
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Espacio vectorial normado  : espacio vectorial en el que se define una distancia
• Relación entre normas y métricas  – Espacio matemático con noción de distanciaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función sublineal  – Tipo de función en álgebra lineal

Notas

Pruebas

1. Si denota el vector cero en mientras denota el escalar cero, entonces la homogeneidad absoluta implica que ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(z)=p(0z)=|0|p(z)=0p(z)=0.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Supongamos que es una seminorma y sea Entonces la homogeneidad absoluta implica La desigualdad triangular ahora implica Como era un vector arbitrario en se sigue que lo que implica que (al restar de ambos lados). Por lo tanto lo que implica (al multiplicar por ). ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(-x)=p((-1)x)=|-1|p(x)=p(x).}$ ${\displaystyle p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)=p(x)+p(x)=2p(x).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p(0)\leq 2p(0),}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)}$ ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)\leq 2p(x)}$ ${\displaystyle 0\leq p(x)}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. Sea y Queda por demostrar que La desigualdad triangular implica Dado que como se desea. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k\in p^{-1}(0).}$ ${\displaystyle p(x+k)=p(x).}$ ${\displaystyle p(x+k)\leq p(x)+p(k)=p(x)+0=p(x).}$ ${\displaystyle p(-k)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(x)-p(-k)\leq p(x-(-k))=p(x+k),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

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11. Narici y Beckenstein 2011, págs. 149-153.
12. Wilansky 2013, págs. 18-21.
13. Es obvio que si es un espacio vectorial real. Para la dirección no trivial, suponga que en y sean y sean números reales tales que Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(x)=re^{it}.}$ ${\displaystyle |f(x)|=r=f\left(e^{-it}x\right)=\operatorname {Re} \left(f\left(e^{-it}x\right)\right)\leq p\left(e^{-it}x\right)=p(x).}$
14. Wilansky 2013, pág. 20.
15. Wilansky 2013, págs. 21–26.
16. Narici y Beckenstein 2011, págs. 150.
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Enlaces externos

• Funciones sublineales
• El teorema del sándwich para funcionales sublineales y superlineales