Funciones hiperbólicas

Nombre colectivo de 6 funciones matemáticas

En matemáticas , las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias , pero definidas utilizando la hipérbola en lugar del círculo . Así como los puntos (cos t , sen t ) forman un círculo con un radio unitario , los puntos (cosh t , senh t ) forman la mitad derecha de la hipérbola unitaria . Además, de manera similar a cómo las derivadas de sin( t ) y cos( t ) son cos( t ) y –sin( t ) respectivamente, las derivadas de sinh( t ) y cosh( t ) son cosh( t ) y +sinh( t ) respectivamente.

Las funciones hiperbólicas se utilizan en los cálculos de ángulos y distancias en la geometría hiperbólica . También se utilizan en las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria ), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas . Las ecuaciones de Laplace son importantes en muchas áreas de la física , incluidas la teoría electromagnética , la transferencia de calor , la dinámica de fluidos y la relatividad especial .

Las funciones hiperbólicas básicas son: ^[1]

• seno hiperbólico " sinh " ( / ˈ s ɪ ŋ , ˈ s ɪ n tʃ , ˈ ʃ aɪ n / ), ^[2]
• coseno hiperbólico " cosh " ( / ˈ k ɒ ʃ , ˈ k oʊ ʃ / ), ^[3]

de donde se derivan: ^[4]

• tangente hiperbólica " tanh " ( / ˈ t æ ŋ , ˈ t æ n tʃ , ˈ θ æ n / ), ^[5]
• cotangente hiperbólica " coth " ( / ˈkɒθ , ˈkooʊθ / ) , [ 6 ] ^{[ 7} ]
• secante hiperbólica " sech " ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / ), ^[8]
• cosecante hiperbólica " csch " o " cosech " ( / ˈ k oʊ s ɛ tʃ , ˈ k oʊ ʃ ɛ k / ^[3] )

correspondiente a las funciones trigonométricas derivadas.

Las funciones hiperbólicas inversas son:

• área del seno hiperbólico " arsinh " (también denominado " sinh ⁻¹ ", " asinh " o a veces " arcsinh ") ^{[9] [10] [11]}
• área del coseno hiperbólico " arcosh " (también denominado " cosh ⁻¹ ", " acosh " o a veces " arccosh ")
• área tangente hiperbólica " artanh " (también denominada " tanh ⁻¹ ", " atanh " o a veces " arcthanh ")
• área cotangente hiperbólica " arcoth " (también denominada " coth ⁻¹ ", " acoth " o a veces " arcoth ")
• área secante hiperbólica " arsech " (también denominada " sech ⁻¹ ", " asech " o a veces " arcsech ")
• área cosecante hiperbólica " arcsch " (también denominada " arcosech ", " csch ⁻¹ ", " cosech ⁻¹ "," acsch ", " acosech ", o a veces " arccsch " o " arccosech ")

Un rayo que pasa por la hipérbola unitaria x ² − y ² = 1 en el punto (cosh a , sinh a ) , donde a es el doble del área entre el rayo, la hipérbola y el eje x . Para los puntos de la hipérbola que están debajo del eje x , el área se considera negativa (ver la versión animada con comparación con las funciones trigonométricas (circulares)).

Las funciones hiperbólicas toman un argumento real llamado ángulo hiperbólico . El tamaño de un ángulo hiperbólico es el doble del área de su sector hiperbólico . Las funciones hiperbólicas pueden definirse en términos de los catetos de un triángulo rectángulo que cubre este sector.

En el análisis complejo , las funciones hiperbólicas surgen al aplicar las funciones seno y coseno ordinarias a un ángulo imaginario. El seno hiperbólico y el coseno hiperbólico son funciones enteras . Como resultado, las demás funciones hiperbólicas son meromórficas en todo el plano complejo.

Según el teorema de Lindemann-Weierstrass , las funciones hiperbólicas tienen un valor trascendental para cada valor algebraico distinto de cero del argumento. ^[12]

Las funciones hiperbólicas fueron introducidas en la década de 1760 de forma independiente por Vincenzo Riccati y Johann Heinrich Lambert . ^[13] Riccati utilizó Sc. y Cc. ( seno/coseno circular ) para referirse a las funciones circulares y Sh. y Ch. ( seno/coseno hiperbólico ) para referirse a las funciones hiperbólicas. Lambert adoptó los nombres, pero alteró las abreviaturas a las que se utilizan hoy en día. ^[14] Las abreviaturas sh , ch , th , cth también se utilizan actualmente, según la preferencia personal.

Notación

Definiciones

sinh , cosh y tanh

csch , sech y coth

Hay varias formas equivalentes de definir las funciones hiperbólicas.

Definiciones exponenciales

sinh x es la mitad de la diferencia de e ^x y e ^{− x}

cosh x es el promedio de e ^x y e ^{− x}

En términos de la función exponencial : ^{[1] [4]}

• Seno hiperbólico: la parte impar de la función exponencial, es decir, $${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• Coseno hiperbólico: la parte par de la función exponencial, es decir, $${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• Tangente hiperbólica: $${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$$
• Cotangente hiperbólica: para x ≠ 0 , $${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$$
• Secante hiperbólica: $${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$$
• Cosecante hiperbólica: para x ≠ 0 , $${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$$

Definiciones de ecuaciones diferenciales

Las funciones hiperbólicas pueden definirse como soluciones de ecuaciones diferenciales : El seno y el coseno hiperbólicos son la solución ( s , c ) del sistema con las condiciones iniciales Las condiciones iniciales hacen que la solución sea única; sin ellas cualquier par de funciones sería una solución. $${\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle s(0)=0,c(0)=1.}$ ${\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}$

sinh( x ) y cosh( x ) son también la única solución de la ecuación f  ″( x ) = f  ( x ) , tal que f  (0) = 1 , f  ′(0) = 0 para el coseno hiperbólico, y f  (0) = 0 , f  ′(0) = 1 para el seno hiperbólico.

Definiciones trigonométricas complejas

Las funciones hiperbólicas también pueden deducirse a partir de funciones trigonométricas con argumentos complejos :

• Seno hiperbólico: ^[1] $${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).}$$
• Coseno hiperbólico: ^[1] $${\displaystyle \cosh x=\cos(ix).}$$
• Tangente hiperbólica: $${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).}$$
• Cotangente hiperbólica: $${\displaystyle \coth x=i\cot(ix).}$$
• Secante hiperbólica: $${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).}$$
• Cosecante hiperbólica: $${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).}$$

donde i es la unidad imaginaria con i ² = −1 .

Las definiciones anteriores están relacionadas con las definiciones exponenciales a través de la fórmula de Euler (ver § Funciones hiperbólicas para números complejos a continuación).

Propiedades caracterizantes

Coseno hiperbólico

Se puede demostrar que el área bajo la curva del coseno hiperbólico (sobre un intervalo finito) es siempre igual a la longitud del arco correspondiente a ese intervalo: ^[15] $${\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}$$

Tangente hiperbólica

La tangente hiperbólica es la solución (única) de la ecuación diferencial f  ′ = 1 − f  ² , con f  (0) = 0 . ^{[16] [17]}

Relaciones útiles

Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas ellas similares en forma a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn ^[18] establece que se puede convertir cualquier identidad trigonométrica (hasta pero sin incluir senos o senos implícitos de cuarto grado) para , , o y en una identidad hiperbólica, desarrollándola completamente en términos de potencias integrales de senos y cosenos, cambiando seno a seno y coseno a coseno, y cambiando el signo de cada término que contenga un producto de dos senos. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle 3\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

Funciones pares e impares: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}$$

Por eso: $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, cosh x y sech x son funciones pares ; las demás son funciones impares .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$$

El seno y el coseno hiperbólicos satisfacen: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}$$

El último de los cuales es similar a la identidad trigonométrica pitagórica .

Uno también tiene $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}$$

para las demás funciones.

Sumas de argumentos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$particularmente $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$$

También: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Fórmulas de resta

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$

También: ^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Fórmulas de medio argumento

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}$$

donde sgn es la función de signo .

Si x ≠ 0 , entonces ^[20]

$${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$$

Fórmulas cuadradas

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}$$

Desigualdades

La siguiente desigualdad es útil en estadística: ^[21] $${\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}.}$$

Esto se puede demostrar comparando las series de Taylor de las dos funciones término por término.

Funciones inversas como logaritmos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

Derivados

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

Segundas derivadas

Cada una de las funciones sinh y cosh es igual a su segunda derivada , es decir: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$$

Todas las funciones con esta propiedad son combinaciones lineales de sinh y cosh , en particular las funciones exponenciales y . ^[22] ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{-x}}$

Integrales estándar

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$$

Las siguientes integrales se pueden demostrar mediante sustitución hiperbólica : $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$$

donde C es la constante de integración .

Expresiones de la serie de Taylor

Es posible expresar explícitamente la serie de Taylor en cero (o la serie de Laurent , si la función no está definida en cero) de las funciones anteriores.

$${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$Esta serie es convergente para cada valor complejo de x . Como la función senh x es impar , en su serie de Taylor solo aparecen exponentes impares para x .

$${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$$Esta serie es convergente para cada valor complejo de x . Como la función cosh x es par , en su serie de Taylor solo aparecen exponentes pares para x .

La suma de las series sinh y cosh es la expresión de la serie infinita de la función exponencial .

Las siguientes series van seguidas de una descripción de un subconjunto de su dominio de convergencia , donde la serie es convergente y su suma es igual a la función. $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$$

dónde:

• ${\displaystyle B_{n}}$es el n -ésimo número de Bernoulli
• ${\displaystyle E_{n}}$es el n- ésimo número de Euler

Productos infinitos y fracciones continuas

Las siguientes expansiones son válidas en todo el plano complejo:

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

Comparación con funciones circulares

El círculo y la hipérbola tangente en (1,1) muestran la geometría de funciones circulares en términos del área del sector circular u y funciones hiperbólicas que dependen del área del sector hiperbólico u .

Las funciones hiperbólicas representan una expansión de la trigonometría más allá de las funciones circulares . Ambos tipos dependen de un argumento , ya sea un ángulo circular o un ángulo hiperbólico .

Como el área de un sector circular con radio r y ángulo u (en radianes) es r ² u /2 , será igual a u cuando r = √ 2 . En el diagrama, dicho círculo es tangente a la hipérbola xy = 1 en (1,1). El sector amarillo representa un área y una magnitud angular. De manera similar, las regiones amarilla y roja juntas representan un sector hiperbólico con un área que corresponde a la magnitud angular hiperbólica.

Los catetos de los dos triángulos rectángulos con hipotenusa en el rayo que define los ángulos tienen una longitud √ 2 veces las funciones circular e hiperbólica.

El ángulo hiperbólico es una medida invariante con respecto al mapeo de compresión , al igual que el ángulo circular es invariante bajo rotación. ^[23]

La función Gudermanniana da una relación directa entre las funciones circulares y las funciones hiperbólicas que no involucran números complejos.

La gráfica de la función a cosh( x / a ) es la catenaria , la curva formada por una cadena flexible y uniforme que cuelga libremente entre dos puntos fijos bajo gravedad uniforme.

Relación con la función exponencial

La descomposición de la función exponencial en sus partes pares e impares da las identidades y Combinado con la fórmula de Euler esto da para la función exponencial compleja general . $${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$$ $${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$$ $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$ $${\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}$$

Además, $${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$$

Funciones hiperbólicas para números complejos

Como la función exponencial se puede definir para cualquier argumento complejo , también podemos extender las definiciones de las funciones hiperbólicas a argumentos complejos. Las funciones sinh z y cosh z son entonces holomorfas .

Las relaciones con las funciones trigonométricas ordinarias están dadas por la fórmula de Euler para números complejos: así: $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$$

Así, las funciones hiperbólicas son periódicas con respecto al componente imaginario, con período ( para la tangente y la cotangente hiperbólicas). ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \pi i}$

Véase también

• e (constante matemática)
• Teorema de círculos iguales , basado en senh
• Funciones hiperbolásticas
• Crecimiento hiperbólico
• Funciones hiperbólicas inversas
• Lista de integrales de funciones hiperbólicas
• Espirales de Poinsot
• Función sigmoidea
• Tangente hiperbólica modificada de Soboleva
• Funciones trigonométricas

Referencias

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2. (1999) Collins Concise Dictionary , 4.ª edición, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4 , pág. 1386 
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5. Diccionario conciso Collins , pág. 1520
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7. tanh
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10. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
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13. Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler a los 300 años: una apreciación. Asociación Matemática de Estados Unidos, 2007. Página 100.
14. Georg F. Becker. Funciones hiperbólicas. Read Books, 1931. Página xlviii.
15. NP, Bali (2005). Cálculo integral áureo. Firewall Media. pág. 472. ISBN 81-7008-169-6.
16. Willi-hans Steeb (2005). Manual de trabajo no lineal: Caos, fractales, autómatas celulares, redes neuronales, algoritmos genéticos, programación de expresión génica, máquinas de vectores de soporte, wavelets, modelos ocultos de Markov, lógica difusa con programas en C++, Java y Symbolicc++ (3.ª ed.). World Scientific Publishing Company. pág. 281. ISBN 978-981-310-648-2.Extracto de la página 281 (utilizando lambda=1)
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18. Osborn, G. (julio de 1902). "Mnemónico para fórmulas hiperbólicas". The Mathematical Gazette . 2 (34): 189. doi :10.2307/3602492. JSTOR  3602492. S2CID  125866575.
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Enlaces externos

• "Funciones hiperbólicas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funciones hiperbólicas en PlanetMath
• GonioLab: Visualización del círculo unitario, funciones trigonométricas e hiperbólicas ( Java Web Start )
• Calculadora de funciones hiperbólicas basada en la web