Representación restringida

En la teoría de grupos , la restricción forma una representación de un subgrupo utilizando una representación conocida de todo el grupo . La restricción es una construcción fundamental en la teoría de la representación de grupos. A menudo, la representación restringida es más sencilla de entender. Las reglas para descomponer la restricción de una representación irreducible en representaciones irreducibles del subgrupo se denominan reglas de ramificación y tienen aplicaciones importantes en física . Por ejemplo, en caso de ruptura explícita de simetría , el grupo de simetría del problema se reduce del grupo completo a uno de sus subgrupos. En mecánica cuántica , esta reducción de la simetría aparece como una división de niveles de energía degenerados en multipletes , como en el efecto Stark o Zeeman .

La representación inducida es una operación relacionada que forma una representación de todo el grupo a partir de una representación de un subgrupo. La relación entre restricción e inducción se describe mediante la reciprocidad de Frobenius y el teorema de Mackey. La restricción a un subgrupo normal se comporta particularmente bien y a menudo se la denomina teoría de Clifford en honor al teorema de AH Clifford. ^[1] La restricción se puede generalizar a otros homomorfismos de grupo y a otros anillos .

Para cualquier grupo G , su subgrupo H y una representación lineal ρ de G , la restricción de ρ a H , denotada

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}}$

es una representación de H en el mismo espacio vectorial por los mismos operadores:

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}(h)=\rho (h).}$

Reglas de ramificación clásicas

Las reglas de ramificación clásicas describen la restricción de una representación compleja irreducible ( π ,  V ) de un grupo clásico G a un subgrupo clásico H , es decir, la multiplicidad con la que una representación irreducible ( σ ,  W ) de H ocurre en  π . Según la reciprocidad de Frobenius para grupos compactos , esto equivale a encontrar la multiplicidad de π en la representación unitaria inducida a partir de σ. Las reglas de ramificación para los grupos clásicos fueron determinadas por

• Weyl (1946) entre sucesivos grupos unitarios ;
• Murnaghan (1938) entre sucesivos grupos ortogonales especiales y grupos simplécticos unitarios ;
• Littlewood (1950) de los grupos unitarios a los grupos simplécticos unitarios y grupos ortogonales especiales.

Los resultados generalmente se expresan gráficamente utilizando diagramas de Young para codificar las firmas utilizadas clásicamente para etiquetar representaciones irreducibles, familiares de la teoría invariante clásica . Hermann Weyl y Richard Brauer descubrieron un método sistemático para determinar la regla de ramificación cuando los grupos G y H comparten un toro máximo común : en este caso el grupo Weyl de H es un subgrupo del de G , de modo que la regla puede deducirse de la fórmula del carácter de Weyl . ^{[2] [3]} Howe (1995) ha dado una interpretación moderna sistemática en el contexto de su teoría de los pares duales . El caso especial donde σ es la representación trivial de H fue utilizado extensamente por primera vez por Hua en su trabajo sobre los núcleos de Szegő de dominios simétricos acotados en varias variables complejas , donde la frontera de Shilov tiene la forma G / H . ^{[4] [5]} De manera más general, el teorema de Cartan-Helgason da la descomposición cuando G / H es un espacio simétrico compacto, en cuyo caso todas las multiplicidades son una; ^[6] Desde entonces, Kostant (2004) obtuvo una generalización a σ arbitraria. Knapp (2003) también ha utilizado consideraciones geométricas similares para volver a derivar las reglas de Littlewood, que involucran las célebres reglas de Littlewood-Richardson para tensorizar representaciones irreducibles de los grupos unitarios. Littelmann (1995) ha encontrado generalizaciones de estas reglas a grupos de Lie compactos y semisimples arbitrarios , utilizando su modelo de trayectoria , un enfoque de la teoría de la representación cercano en espíritu a la teoría de las bases cristalinas de Lusztig y Kashiwara . Sus métodos producen reglas de ramificación para restricciones a subgrupos que contienen un toro máximo. El estudio de las reglas de ramificación es importante en la teoría invariante clásica y su contraparte moderna, la combinatoria algebraica . ^{[7] [8]}

Ejemplo . El grupo unitario U ( N ) tiene representaciones irreductibles etiquetadas por firmas

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}}$

donde los f _i son números enteros. De hecho, si una matriz unitaria U tiene valores propios z _i , entonces el carácter de la representación irreducible correspondiente π _f está dado por

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i} \over \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})}.}$

La regla de bifurcación de U ( N ) a U ( N  – 1) establece que

Ejemplo . El grupo simpléctico unitario o grupo unitario cuaterniónico , denotado Sp( N ) o U ( N , H ), es el grupo ^de todas las transformaciones de HN que conmutan con la multiplicación correcta por los cuaterniones H y preservan el producto interno hermitiano valorado en H.

${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{N})\cdot (r_{1},\ldots ,r_{N})=\sum r_{i}^{*}q_{i}}$

en H ^N , donde q * denota el cuaternión conjugado con q . Al realizar los cuaterniones como matrices complejas de 2 x 2, el grupo Sp( N ) es solo el grupo de matrices de bloques ( q _ij ) en SU(2 N ) con

${\displaystyle q_{ij}={\begin{pmatrix}\alpha _{ij}&\beta _{ij}\\-{\overline {\beta }}_{ij}&{\overline {\alpha }}_{ij}\end{pmatrix}},}$

donde α _ij y β _ij son números complejos .

Cada matriz U en Sp( N ) se conjuga con una matriz diagonal de bloques con entradas

${\displaystyle q_{i}={\begin{pmatrix}z_{i}&0\\0&{\overline {z}}_{i}\end{pmatrix}},}$

donde | z _i | = 1. Por tanto, los valores propios de U son ( z _i ^±1 ). Las representaciones irreductibles de Sp( N ) están etiquetadas con firmas.

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}\geq 0}$

donde los f _i son números enteros. El carácter de la correspondiente representación irreducible σ _f viene dado por ^[9]

${\displaystyle \operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i+1}-z_{j}^{-f_{i}-N+i-1} \over \prod (z_{i}-z_{i}^{-1})\cdot \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}.}$

La regla de bifurcación de Sp( N ) a Sp( N  – 1) establece que ^[10]

Aquí f _{N + 1} = 0 y la multiplicidad m ( f , g ) viene dada por

${\displaystyle m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\prod _{i=1}^{N}(a_{i}-b_{i}+1)}$

dónde

${\displaystyle a_{1}\geq b_{1}\geq a_{2}\geq b_{2}\geq \cdots \geq a_{N}\geq b_{N}=0}$

es el reordenamiento no creciente de los 2 N enteros no negativos ( f _i ), ( g _j ) y 0.

Ejemplo . La ramificación de U(2 N ) a Sp( N ) se basa en dos identidades de Littlewood : ^{[11] [12] [13] [14]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \Pi _{\mathbf {f} ,0}(z_{1},z_{1}^{-1},\ldots ,z_{N},z_{N}^{-1})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\\[5pt]={}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(z_{1},\ldots ,z_{N})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\cdot \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1},\end{aligned}}}$

donde Π _{f ,0} es la representación irreducible de U (2 N ) con firma f ₁ ≥ ··· ≥ f _N ≥ 0 ≥ ··· ≥ 0.

${\displaystyle \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1}=\sum _{f_{2i-1}=f_{2i}}\operatorname {Tr} \pi _{f}(z_{1},\ldots ,z_{N}),}$

donde f _yo ≥ 0.

La regla de bifurcación de U(2 N ) a Sp( N ) viene dada por

donde todas las firmas son no negativas y el coeficiente M ( g , h ; k ) es la multiplicidad de la representación irreducible π _k de U ( N ) en el producto tensorial π _g π _h . Está dado combinatoriamente por la regla de Littlewood-Richardson, el número de permutaciones reticulares del diagrama sesgado k / h de peso g . ^[8] ${\displaystyle \otimes }$

Hay una extensión de la regla de ramificación de Littlewood a firmas arbitrarias debido a Sundaram (1990, p. 203). Los coeficientes M de Littlewood-Richardson ( g , h ; f ) se amplían para permitir que la firma f tenga 2 N partes pero restringe g para que tenga longitudes de columna pares ( g _{2 i – 1} = g _{2 i} ). En este caso la fórmula dice

donde M _N ( g , h ; f ) cuenta el número de permutaciones de red de f / h de peso g para las cuales 2 j + 1 no aparece por debajo de la fila N + j de f para 1 ≤ j ≤ | g |/2.

Ejemplo . El grupo ortogonal especial SO ( N ) tiene representaciones ordinarias y de espín irreducibles etiquetadas por firmas ^{[2] [7] [15] [16]}

• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|}$para norte = 2 norte ;
• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0}$para norte = 2 norte +1.

Los f _i se toman en Z para representaciones ordinarias y en ½ + Z para representaciones de espín. De hecho, si una matriz ortogonal U tiene valores propios z _i ^±1 para 1 ≤ i ≤ n , entonces el carácter de la representación irreducible correspondiente π _f viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,\pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+n-i}+z_{j}^{-f_{i}-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}}$

para N = 2 n y por

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+1/2+n-i}-z_{j}^{-f_{i}-1/2-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})\cdot \prod _{k}(z_{k}^{1/2}-z_{k}^{-1/2})}}$

para norte = 2 norte +1.

Las reglas de bifurcación de SO( N ) a SO( N  – 1) establecen que ^[17]

para norte = 2 norte  + 1 y

para N = 2 n , donde las diferencias f _i  −  g _i deben ser números enteros.

Base Gelfand-Tsetlin

Dado que las reglas de ramificación desde hasta o hasta tienen multiplicidad uno, los sumandos irreducibles correspondientes a N cada vez más pequeño eventualmente terminarán en subespacios unidimensionales. De esta manera, Gelfand y Tsetlin pudieron obtener una base para cualquier representación irreductible o etiquetada por una cadena de firmas entrelazadas, llamada patrón Gelfand-Tsetlin . En Želobenko (1973) se dan fórmulas explícitas para la acción del álgebra de Lie sobre la base de Gelfand-Tsetlin . Específicamente, para , la base de Gelfand-Testlin de la representación irreducible de con dimensión viene dada por los armónicos esféricos complejos . ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle U(N-1)}$ ${\displaystyle SO(N)}$ ${\displaystyle SO(N-1)}$ ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle SO(N)}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle 2l+1}$ ${\displaystyle \{Y_{m}^{l}|-l\leq m\leq l\}}$

Para el grupo clásico restante , la ramificación ya no está libre de multiplicidad, de modo que si V y W son representaciones irreducibles de y el espacio de entrelazadores puede tener una dimensión mayor que uno. Resulta que el Yangian , un álgebra de Hopf introducida por Ludwig Faddeev y colaboradores , actúa irreductiblemente en este espacio de multiplicidad, un hecho que permitió a Molev (2006) extender la construcción de las bases Gelfand-Tsetlin a . ^[18] ${\displaystyle Sp(N)}$ ${\displaystyle Sp(N-1)}$ ${\displaystyle Sp(N)}$ ${\displaystyle Hom_{Sp(N-1)}(V,W)}$ ${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}}_{2})}$ ${\displaystyle Sp(N)}$

teorema de clifford

En 1937, Alfred H. Clifford demostró el siguiente resultado sobre la restricción de representaciones irreducibles de dimensión finita de un grupo G a un subgrupo normal N de índice finito : ^[19]

Teorema . Sea π : G GL( n , K ) una representación irreducible con K un campo . Entonces la restricción de π a N se descompone en una suma directa de representaciones irreducibles de N de iguales dimensiones. Estas representaciones irreducibles de N se encuentran en una órbita para la acción de G por conjugación sobre las clases de equivalencia de representaciones irreducibles de N. En particular , el número de sumandos distintos no es mayor que el índice de N en  G. ${\displaystyle \rightarrow }$

Veinte años más tarde , George Mackey encontró una versión más precisa de este resultado para la restricción de representaciones unitarias irreducibles de grupos localmente compactos a subgrupos normales cerrados en lo que se conoce como la "máquina Mackey" o "análisis de subgrupos normales de Mackey". ^[20]

Configuración algebraica abstracta

Desde el punto de vista de la teoría de categorías , la restricción es un ejemplo de funtor olvidadizo . Este funtor es exacto y su funtor adjunto izquierdo se llama inducción . La relación entre restricción e inducción en varios contextos se denomina reciprocidad de Frobenius. En conjunto, las operaciones de inducción y restricción forman un poderoso conjunto de herramientas para analizar representaciones. Esto es especialmente cierto siempre que las representaciones tienen la propiedad de reducibilidad completa , por ejemplo, en la teoría de representaciones de grupos finitos sobre un campo de característica cero .

Generalizaciones

Esta construcción bastante evidente puede ampliarse de numerosas y significativas maneras. Por ejemplo, podemos tomar cualquier homomorfismo de grupo φ de H a G , en lugar del mapa de inclusión , y definir la representación restringida de H por la composición

${\displaystyle \rho \circ \varphi \,}$

También podemos aplicar la idea a otras categorías del álgebra abstracta : álgebras asociativas , anillos, álgebras de Lie , superálgebras de Lie , álgebras de Hopf, por nombrar algunas. Las representaciones o módulos se restringen a subobjetos o mediante homomorfismos.

Notas

1. Weyl 1946, págs. 159-160.
2. Weyl 1946
3. Želobenko 1973
4. Helgason 1978
5. Hua 1963
6. Helgason 1984, págs. 534–543
7. Goodman y Wallach 1998
8. Macdonald 1979
9. Weyl 1946, pág. 218
10. Goodman y Wallach 1998, págs. 351–352, 365–370
11. Littlewood 1950
12. Weyl 1946, págs. 216-222
13. Koike y Terada 1987
14. Macdonald 1979, pág. 46
15. Littlewood 1950, págs. 223-263
16. Murnagan 1938
17. Goodman y Wallach 1998, pág. 351
18. GI Olshanski había demostrado que el Yangian retorcido , un álgebra sub-Hopf de , actúa naturalmente en el espacio de entrelazadores. Sus representaciones naturales irreducibles corresponden a productos tensoriales de la composición de evaluaciones puntuales con representaciones irreducibles de ₂ . Estos se extienden al Yangian y dan una explicación teórica de la representación de la forma de producto de los coeficientes de ramificación. ${\displaystyle Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})}$ ${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}}_{2})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$ ${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}})}$
19. Weyl 1946, págs. 159-160, 311
20. Mackey, George W. (1976), La teoría de las representaciones de grupos unitarios , Conferencias de Matemáticas de Chicago, ISBN 978-0-226-50052-2

Referencias

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• Howe, Roger (1995), Perspectivas sobre la teoría invariante, The Schur Lectures, 1992 , Israel Math. Conf. Proc., vol. 8, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, págs. 1–182
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• Molev, AI (2006), "Bases de Gelfand-Tsetlin para álgebras de Lie clásicas", en "Handbook of Algebra", vol. 4, (M. Hazewinkel, Ed.), Elsevier, págs. 109-170 , Manual de álgebra, Elsevier, 4 : 109–170, arXiv : math/0211289 , Bibcode : 2002math..... 11289M, ISBN 978-0-444-52213-9
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• Weyl, Hermann (1946), Los grupos clásicos , Princeton University Press
• Želobenko, DP (1973), Grupos de mentiras compactas y sus representaciones , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 40, Sociedad Matemática Estadounidense