En matemáticas, la teoría de Clifford , introducida por Alfred H. Clifford (1937), describe la relación entre las representaciones de un grupo y las de un subgrupo normal.
Alfred H. Clifford demostró el siguiente resultado sobre la restricción de representaciones irreducibles de dimensión finita de un grupo G a un subgrupo normal N de índice finito :
Teorema . Sea π: G → GL( n , K ) una representación irreducible con K un cuerpo . Entonces la restricción de π a N se descompone en una suma directa de representaciones irreducibles de N de dimensiones iguales. Estas representaciones irreducibles de N se encuentran en una órbita para la acción de G por conjugación en las clases de equivalencia de representaciones irreducibles de N . En particular, el número de sumandos no isomorfos por pares no es mayor que el índice de N en G .
El teorema de Clifford proporciona información sobre la restricción de un carácter irreducible complejo de un grupo finito G a un subgrupo normal N. Si μ es un carácter complejo de N , entonces para un elemento fijo g de G , se puede construir otro carácter, μ (g) , de N estableciendo
para todo n en N . El carácter μ (g) es irreducible si y sólo si μ es. El teorema de Clifford establece que si χ es un carácter irreducible complejo de G, y μ es un carácter irreducible de N con
donde e y t son números enteros positivos, y cada g i es un elemento de G. Los números enteros e y t dividen el índice [ G : N ]. El número entero t es el índice de un subgrupo de G , que contiene a N , conocido como el subgrupo inercial de μ. Este es
y a menudo se denota por
Los elementos g i pueden tomarse como representantes de todos los coconjuntos derechos del subgrupo I G (μ) en G .
De hecho, el entero e divide el índice
aunque la prueba de este hecho requiere algún uso de la teoría de representaciones proyectivas de Schur .
La prueba del teorema de Clifford se explica mejor en términos de módulos (y la versión de teoría de módulos funciona para representaciones modulares irreducibles ). Sea K un cuerpo, V un K [ G ]-módulo irreducible, V N su restricción a N y U un K [N]-submódulo irreducible de V N. Para cada g en G y n en N , la igualdad se cumple, ya que N era un subgrupo normal de G. Por lo tanto, gU es un K [ N ]-submódulo irreducible de V N , y es un K [ G ]-submódulo de V , por lo tanto debe ser todo V por irreducibilidad. Ahora V N se expresa como una suma de submódulos irreducibles, y esta expresión puede refinarse a una suma directa. La prueba del enunciado de teoría de caracteres del teorema puede ahora completarse en el caso K = C. Sea χ el carácter de G proporcionado por V y μ el carácter de N proporcionado por U. Para cada g en G , el submódulo C [ N ] gU proporciona el carácter μ (g) y . Las respectivas igualdades se deducen porque χ es una función de clase de G y N es un subgrupo normal. El entero e que aparece en el enunciado del teorema es esta multiplicidad común.
Un corolario del teorema de Clifford, que se explota a menudo, es que el carácter irreducible χ que aparece en el teorema se induce a partir de un carácter irreducible del subgrupo inercial I G (μ). Si, por ejemplo, el carácter irreducible χ es primitivo (es decir, χ no se induce a partir de ningún subgrupo propio de G ), entonces G = I G (μ) y χ N = e μ. Un caso en el que esta propiedad de los caracteres primitivos se utiliza con especial frecuencia es cuando N es abeliano y χ es fiel (es decir, su núcleo contiene sólo el elemento identidad). En ese caso, μ es lineal, N se representa mediante matrices escalares en cualquier representación que proporcione el carácter χ y, por tanto, N está contenido en el centro de G . Por ejemplo, si G es el grupo simétrico S 4 , entonces G tiene un carácter irreducible complejo fiel χ de grado 3. Hay un subgrupo normal abeliano N de orden 4 (un 4 -subgrupo de Klein) que no está contenido en el centro de G . Por lo tanto χ se induce a partir de un carácter de un subgrupo propio de G que contiene a N. La única posibilidad es que χ se induzca a partir de un carácter lineal de un 2 -subgrupo de Sylow de G .
El teorema de Clifford ha dado lugar a una rama de la teoría de la representación por derecho propio, conocida actualmente como teoría de Clifford . Esto es particularmente relevante para la teoría de la representación de grupos finitos resolubles, donde suelen abundar los subgrupos normales. Para grupos finitos más generales, la teoría de Clifford a menudo permite que las cuestiones de teoría de la representación se reduzcan a cuestiones sobre grupos que están cerca (en un sentido que puede precisarse) de ser simples.
George Mackey (1976) encontró una versión más precisa de este resultado para la restricción de representaciones unitarias irreducibles de grupos localmente compactos a subgrupos normales cerrados en lo que se conoce como la "máquina de Mackey" o "análisis de subgrupos normales de Mackey".
![{\displaystyle [I_{G}(\mu ):N],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8da4aba5edd3c5ca0d0991f503619e7d5544d73)
