Residuo (análisis complejo)

Atributo de una función matemática

En matemáticas , más específicamente en análisis complejo , el residuo es un número complejo proporcional a la integral de contorno de una función meromórfica a lo largo de un camino que encierra una de sus singularidades . (De manera más general, los residuos se pueden calcular para cualquier función que sea holomorfa excepto en los puntos discretos { a _k } _k , incluso si algunos de ellos son singularidades esenciales ). Los residuos se pueden calcular con bastante facilidad y, una vez conocidos, permiten la determinación de integrales de contorno generales a través del teorema de residuos . ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \smallsetminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }$

Definición

El residuo de una función meromórfica en una singularidad aislada , a menudo denotada como , o , es el único valor tal que tiene una antiderivada analítica en un disco perforado . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)}$ ${\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=a}f(z)}$ ${\displaystyle \mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(z)-R/(z-a)}$ ${\displaystyle 0<\vert z-a\vert <\delta }$

Alternativamente, los residuos se pueden calcular encontrando expansiones de series de Laurent , y se puede definir el residuo como el coeficiente a ₋₁ de una serie de Laurent.

El concepto se puede utilizar para proporcionar valores de integración de contorno de ciertos problemas de integral de contorno considerados en el teorema del residuo . Según el teorema del residuo , para una función meromórfica , el residuo en el punto se da como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.}$

donde es una curva cerrada simple orientada positivamente alrededor y sin incluir ninguna otra singularidad en o dentro de la curva. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a_{k}}$

La definición de residuo se puede generalizar a superficies de Riemann arbitrarias . Supongamos que es una 1-forma en una superficie de Riemann. Sea meromórfica en algún punto , de modo que podemos escribir en coordenadas locales como . Entonces, el residuo de en se define como el residuo de en el punto correspondiente a . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f(z)\;dz}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle x}$

Integración de contornos

Integral de contorno de un monomio

Calcular el residuo de un monomio

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}\,dz}$

hace que la mayoría de los cálculos de residuos sean fáciles de hacer. Dado que los cálculos de la integral de trayectoria son invariantes por homotopía , dejaremos que sea el círculo con radio que va en sentido antihorario. Luego, utilizando el cambio de coordenadas, encontramos que ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z\to e^{i\theta }}$

${\displaystyle dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta }$

Por lo tanto, nuestra integral ahora se lee como

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Por lo tanto, el residuo de es 1 si es entero y 0 en caso contrario. ${\displaystyle z^{k}}$ ${\displaystyle k=-1}$

Generalización a la serie de Laurent

Si una función se expresa como una expansión en serie de Laurent alrededor de c de la siguiente manera: Entonces, el residuo en el punto c se calcula como: usando los resultados de la integral de contorno de un monomio para la integral de contorno en sentido antihorario alrededor de un punto c. Por lo tanto, si existe una representación en serie de Laurent de una función alrededor de c, entonces su residuo alrededor de c se conoce por el coeficiente del término. $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-c)^{n}\,dz=a_{-1}}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Aplicación en el teorema de residuos

Para una función meromórfica , con un conjunto finito de singularidades dentro de una curva cerrada simple orientada positivamente que no pasa por ninguna singularidad, el valor de la integral del contorno se da de acuerdo con el teorema del residuo , como: donde , el número de bobinado, es si está en el interior de y si no, simplificando a: donde son todas las singularidades aisladas dentro del contorno . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$ ${\displaystyle \operatorname {I} (C,a_{k})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle C}$

Cálculo de residuos

Supóngase que se da un disco perforado D = { z  : 0 < | z − c | < R } en el plano complejo y f es una función holomorfa definida (al menos) en D . El residuo Res( f , c ) de f en c es el coeficiente a ₋₁ de ( z − c ) ⁻¹ en la expansión en serie de Laurent de f alrededor de c . Existen varios métodos para calcular este valor, y la elección de cuál método utilizar depende de la función en cuestión y de la naturaleza de la singularidad.

Según el teorema del residuo , tenemos:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

donde γ traza un círculo alrededor de c en sentido antihorario y no pasa por otras singularidades ni las contiene en su interior. Podemos elegir que la trayectoria γ sea un círculo de radio ε alrededor de c. Dado que ε puede ser tan pequeño como queramos, se puede hacer que contenga solo la singularidad de c debido a la naturaleza de las singularidades aisladas. Esto se puede utilizar para el cálculo en casos en los que la integral se puede calcular directamente, pero normalmente se utilizan residuos para simplificar el cálculo de las integrales, y no al revés.

Singularidades removibles

Si la función f puede continuar hasta una función holomorfa en todo el disco , entonces Res( f ,  c ) = 0. Lo inverso no suele ser cierto. ${\displaystyle |y-c|<R}$

Postes simples

Si c es un polo simple de f , el residuo de f viene dado por:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

Si ese límite no existe, entonces f tiene una singularidad esencial en c . Si el límite es 0, entonces f es analítica en c o tiene una singularidad removible allí. Si el límite es igual a infinito, entonces el orden del polo es mayor que 1.

Es posible que la función f pueda expresarse como cociente de dos funciones, , donde g y h son funciones holomorfas en un entorno de c , con h ( c ) = 0 y  h' ( c ) ≠ 0. En tal caso, la regla de L'Hôpital puede utilizarse para simplificar la fórmula anterior a: ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

Fórmula límite para polos de orden superior

De manera más general, si c es un polo de orden n , entonces el residuo de f alrededor de z = c se puede encontrar mediante la fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

Esta fórmula puede ser muy útil para determinar los residuos de polos de orden bajo. Para polos de orden superior, los cálculos pueden volverse difíciles de manejar y la expansión en serie suele ser más sencilla. Para singularidades esenciales , no existe una fórmula tan simple y los residuos generalmente deben tomarse directamente de las expansiones en serie.

Residuo en el infinito

En general, el residuo en el infinito se define como:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

Si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

Entonces el residuo en el infinito se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

Si en cambio

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

entonces el residuo en el infinito es

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

Para funciones meromórficas en todo el plano complejo con un número finito de singularidades, la suma de los residuos en las singularidades (necesariamente) aisladas más el residuo en el infinito es cero, lo que da:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}$

Métodos de serie

Si partes o la totalidad de una función se pueden expandir en una serie de Taylor o una serie de Laurent , lo que puede ser posible si las partes o la totalidad de la función tienen una expansión en serie estándar, entonces calcular el residuo es significativamente más simple que con otros métodos. El residuo de la función simplemente se da por el coeficiente de en la expansión en serie de Laurent de la función. ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Ejemplos

Residuo de expansión en serie

Ejemplo 1

Como ejemplo, considere la integral de contorno

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

donde C es una curva cerrada simple alrededor de 0.

Evaluemos esta integral utilizando un resultado de convergencia estándar sobre integración por series. Podemos sustituir la serie de Taylor por en el integrando. La integral entonces se convierte en ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

Incorporamos el factor 1/ z ⁵ a la serie. La integral de contorno de la serie se escribe entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}$

Como la serie converge uniformemente en el soporte de la trayectoria de integración, se nos permite intercambiar integración y suma. La serie de las integrales de trayectoria se reduce entonces a una forma mucho más simple debido al cálculo anterior. Por lo tanto, ahora la integral alrededor de C de cada otro término que no esté en la forma cz ⁻¹ es cero, y la integral se reduce a

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

El valor 1/4! es el residuo de e ^z / z ⁵ en z = 0, y se denota

${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}$

Ejemplo 2

Como segundo ejemplo, considere calcular los residuos en las singularidades de la función que pueden usarse para calcular ciertas integrales de contorno. Esta función parece tener una singularidad en z = 0, pero si uno factoriza el denominador y, por lo tanto, escribe la función como es evidente que la singularidad en z = 0 es una singularidad removible y, por lo tanto, el residuo en z = 0 es 0. La única otra singularidad está en z = 1. Recuerde la expresión para la serie de Taylor para una función g ( z ) sobre z = a : Entonces, para g ( z ) = sen  z y a = 1 tenemos y para g ( z ) = 1/ z y a = 1 tenemos Multiplicando esas dos series e introduciendo 1/( z  − 1) obtenemos Entonces, el residuo de f ( z ) en z = 1 es sen 1. $${\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}$$ $${\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}$$ $${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }$$ $${\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$$ $${\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$$

Ejemplo 3

El siguiente ejemplo muestra que, al calcular un residuo por expansión en serie, el teorema de inversión de Lagrange juega un papel importante . Sea una función entera , y sea con radio de convergencia positivo, y con . Por lo tanto , tiene una inversa local en 0, y es meromórfica en 0. Entonces tenemos: En efecto, porque la primera serie converge uniformemente en cualquier círculo pequeño alrededor de 0. Usando el teorema de inversión de Lagrange y obtenemos la expresión anterior. Por ejemplo, si y también , entonces y El primer término contribuye 1 al residuo, y el segundo término contribuye 2 ya que es asintótico a . $${\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}$$ $${\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}$$ ${\textstyle v_{1}\neq 0}$ ${\textstyle v(z)}$ ${\textstyle V(z)}$ ${\textstyle u(1/V(z))}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},}$$ ${\displaystyle u(z)=z+z^{2}}$ ${\displaystyle v(z)=z+z^{2}}$ $${\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}}$$ $${\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.}$$ ${\displaystyle 1/z^{2}+2/z}$

Obsérvese que, con las suposiciones simétricas más fuertes correspondientes en y , también se deduce que donde es una inversa local de en 0. ${\textstyle u(z)}$ ${\textstyle v(z)}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}$$ ${\textstyle U(z)}$ ${\textstyle u(z)}$

Véase también

• El teorema de residuos relaciona una integral de contorno alrededor de algunos de los polos de una función con la suma de sus residuos.
• Fórmula integral de Cauchy
• Teorema integral de Cauchy
• Teorema de Mittag-Leffler
• Métodos de integración de contornos
• Teorema de Morera
• Fracciones parciales en análisis complejo

Referencias

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw Hill.
• Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). Análisis complejo básico (3.ª ed.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

Enlaces externos

• "Residuo de una función analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Residuo complejo". MathWorld .