Teorema de empaquetamiento circular

El teorema de empaquetamiento de círculos (también conocido como teorema de Koebe-Andreev-Thurston ) describe las posibles relaciones de tangencia entre círculos en el plano cuyos interiores son disjuntos. Un empaquetamiento de círculos es una colección conexa de círculos (en general, en cualquier superficie de Riemann ) cuyos interiores son disjuntos. El gráfico de intersección de un empaquetamiento de círculos es el gráfico que tiene un vértice para cada círculo y una arista para cada par de círculos que son tangentes . Si el empaquetamiento de círculos está en el plano o, equivalentemente, en la esfera, entonces su gráfico de intersección se llama gráfico de moneda ; de manera más general, los gráficos de intersección de objetos geométricos disjuntos en el interior se denominan gráficos de tangencia o gráficos de contacto . Los gráficos de moneda siempre son conexos, simples y planos . El teorema de empaquetamiento de círculos establece que estos son los únicos requisitos para que un gráfico sea un gráfico de moneda:

Teorema de empaquetamiento circular : para cada grafo plano simple conexo finito G existe un empaquetamiento circular en el plano cuyo grafo de intersección es ( isomorfo a ) G.

Unicidad

Un grafo planar maximal G es un grafo planar simple finito al que no se le pueden añadir más aristas mientras se preserva la planaridad. Un grafo de este tipo siempre tiene una incrustación planar única, en la que cada cara de la incrustación (incluida la cara exterior) es un triángulo. En otras palabras, cada grafo planar maximal G es el 1-esqueleto de un complejo simplicial que es homeomorfo a la esfera. El teorema de empaquetamiento de círculos garantiza la existencia de un empaquetamiento de círculos con un número finito de círculos cuyo grafo de intersección es isomorfo a G . Como establece más formalmente el siguiente teorema, cada grafo planar maximal puede tener como máximo un empaquetamiento.

Teorema de Koebe-Andreev-Thurston : si G es un grafo plano maximo finito, entonces el empaquetamiento circular cuyo grafo de tangencia es isomorfo a G es único, salvo transformaciones de Möbius y reflexiones en líneas.

Thurston observa que esta unicidad es una consecuencia del teorema de rigidez de Mostow . Para ver esto, representemos a G mediante un empaquetamiento de círculos. Entonces, el plano en el que se empaquetan los círculos puede verse como el límite de un modelo de semiespacio para el espacio hiperbólico tridimensional ; con esta visión, cada círculo es el límite de un plano dentro del espacio hiperbólico. Se puede definir un conjunto de planos disjuntos de esta manera a partir de los círculos del empaquetamiento, y un segundo conjunto de planos disjuntos definido por los círculos que circunscriben cada espacio triangular entre tres de los círculos en el empaquetamiento. Estos dos conjuntos de planos se encuentran en ángulos rectos y forman los generadores de un grupo de reflexión cuyo dominio fundamental puede verse como una variedad hiperbólica . Por la rigidez de Mostow, la estructura hiperbólica de este dominio está determinada de manera única, hasta la isometría del espacio hiperbólico; estas isometrías, cuando se las ve en términos de sus acciones en el plano euclidiano en el límite del modelo de semiplano, se traducen en transformaciones de Möbius. ^[1]

También hay una prueba más elemental de la misma propiedad de unicidad, basada en la existencia de un valor máximo en cualquier conjunto finito y en la observación de que, en el triángulo que conecta los centros de tres círculos mutuamente tangentes, el ángulo formado en el centro de uno de los círculos es monótono decreciente en su radio y monótono creciente en los otros dos radios. Dados dos empaquetamientos para el mismo grafo , se pueden aplicar reflexiones y transformaciones de Möbius para hacer que los círculos externos en estos dos empaquetamientos se correspondan entre sí y tengan los mismos radios. Entonces, sea un vértice interior de para el cual los círculos en los dos empaquetamientos tienen tamaños que están lo más separados posible: es decir, elija maximizar la razón de los radios de sus círculos en los dos empaquetamientos. Para cada cara triangular de que contiene , se sigue que el ángulo en el centro del círculo para en el primer empaquetamiento es menor o igual que el ángulo en el segundo empaquetamiento, con igualdad posible solo cuando los otros dos círculos que forman el triángulo tienen la misma razón de radios en los dos empaquetamientos. Pero la suma de los ángulos de todos estos triángulos que rodean el centro del triángulo debe estar en ambos empaquetamientos, por lo que todos los vértices vecinos a deben tener la misma razón que él mismo. Al aplicar el mismo argumento a estos otros círculos a su vez, se deduce que todos los círculos en ambos empaquetamientos tienen la misma razón. Pero los círculos exteriores se han transformado para que tengan razón uno, por lo que y los dos empaquetamientos tienen radios idénticos para todos los círculos. ${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización v}$ ${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización v}$ $estilo de visualización r_{1}/r_{2}}$ ${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización v}$ ${\estilo de visualización v}$ $estilo de visualización r_{1}/r_{2}}$ ${\estilo de visualización 2\pi}$ ${\estilo de visualización v}$ ${\estilo de visualización v}$ $estilo de visualización r_{1}/r_{2}=1$

Relación con la teoría de mapeo conforme

Los empaquetamientos circulares se pueden utilizar para aproximar mapeos conformes entre dominios específicos. Cada círculo de la izquierda corresponde a un círculo de la derecha.

Una función conforme entre dos conjuntos abiertos en el plano o en un espacio de dimensiones superiores es una función continua de un conjunto al otro que preserva los ángulos entre dos curvas cualesquiera. El teorema de funciones de Riemann , formulado por Bernhard Riemann en 1851, establece que, para cualesquiera dos discos topológicos abiertos en el plano, existe una función conforme de un disco al otro. Las funciones conformes tienen aplicaciones en la generación de mallas , la proyección de mapas y otras áreas. Sin embargo, no siempre es fácil construir una función conforme entre dos dominios dados de manera explícita. ^[2]

En la conferencia de Bieberbach de 1985, William Thurston conjeturó que los empaquetamientos circulares podían utilizarse para aproximar aplicaciones conformes. Más precisamente, Thurston utilizó empaquetamientos circulares para encontrar una aplicación conforme de un disco abierto arbitrario A al interior de un círculo; la aplicación de un disco topológico A a otro disco B podía entonces encontrarse componiendo la aplicación de A a un círculo con la inversa de la aplicación de B a un círculo. ^[2]

La idea de Thurston era empaquetar círculos de un radio pequeño r en una teselación hexagonal del plano, dentro de la región A , dejando una región estrecha cerca del límite de A , de ancho r , donde no pueden caber más círculos de este radio. Luego construye un grafo planar máximo G a partir del grafo de intersección de los círculos, junto con un vértice adicional adyacente a todos los círculos en el límite del empaquetamiento. Por el teorema de empaquetamiento de círculos, este grafo planar puede representarse por un empaquetamiento de círculos C en el que todas las aristas (incluidas las incidentes al vértice límite) están representadas por tangencias de círculos. Los círculos del empaquetamiento de A se corresponden uno a uno con los círculos de C , excepto el círculo límite de C que corresponde al límite de A . Esta correspondencia de círculos se puede utilizar para construir una función continua de A a C en la que cada círculo y cada espacio entre tres círculos se asigna de un empaquetamiento al otro mediante una transformación de Möbius . Thurston conjeturó que, en el límite a medida que el radio r se acerca a cero, las funciones de A a C construidas de esta manera se aproximarían a la función conforme dada por el teorema de aplicación de Riemann. ^[2]

La conjetura de Thurston fue demostrada por Rodin y Sullivan (1987). Más precisamente, demostraron que, cuando n tiende a infinito, la función f _n determinada utilizando el método de Thurston a partir de empaquetamientos hexagonales de círculos de radio 1/ n converge uniformemente en subconjuntos compactos de A a una función conforme de A a C . ^[2]

A pesar del éxito de la conjetura de Thurston, las aplicaciones prácticas de este método se han visto obstaculizadas por la dificultad de calcular empaquetamientos de círculos y por su tasa de convergencia relativamente lenta. ^[3] Sin embargo, tiene algunas ventajas cuando se aplica a dominios no simplemente conexos y en la selección de aproximaciones iniciales para técnicas numéricas que calculan mapeos de Schwarz-Christoffel , una técnica diferente para el mapeo conforme de dominios poligonales . ^[2]

Pruebas

Existen muchas pruebas conocidas del teorema de empaquetamiento de círculos. La prueba original de Paul Koebe se basa en su teorema de uniformización conforme, que dice que un dominio plano finitamente conectado es conformemente equivalente a un dominio circular. Existen varias pruebas topológicas diferentes que se conocen. La prueba de Thurston se basa en el teorema del punto fijo de Brouwer . Como estudiante de posgrado, Oded Schramm fue supervisado por Thurston en la Universidad de Princeton . Como relata Rohde (2011, p. 1628), hay una "descripción poética" en la disertación de Schramm de cómo se puede deducir la existencia del empaquetamiento de círculos a partir del teorema del punto fijo: "Uno puede simplemente ver al terrible monstruo agitando sus brazos con pura rabia, los tentáculos causando un silbido espantoso, mientras se frotan entre sí". También hay una prueba que utiliza una variante discreta del método de Perron para construir soluciones al problema de Dirichlet . ^[4] Yves Colin de Verdière demostró la existencia del empaquetamiento circular como minimizador de una función convexa en un cierto espacio de configuración. ^[5]

Aplicaciones

El teorema de empaquetamiento de círculos es una herramienta útil para estudiar varios problemas en geometría plana, aplicaciones conformes y grafos planares. De esta manera se ha obtenido una prueba alternativa del teorema del separador planar , originalmente debida a Lipton y Tarjan, ^{[6] .}^[7] Otra aplicación del teorema de empaquetamiento de círculos es que los límites imparciales de grafos planares de grado acotado son casi seguramente recurrentes. ^[8] Otras aplicaciones incluyen implicaciones para el tiempo de cobertura.< ^{[9] y estimaciones para el}valor propio más grande de grafos de género acotado . ^[10]

En el dibujo de grafos , el empaquetamiento de círculos se ha utilizado para encontrar dibujos de grafos planares con resolución angular acotada ^[11] y con número de pendiente acotado . ^[12]El teorema de Fáry , que establece que todo grafo que se puede dibujar sin cruces en el plano utilizando aristas curvas también se puede dibujar sin cruces utilizando aristas de segmentos de línea recta , se deduce como un corolario simple del teorema de empaquetamiento de círculos: al colocar vértices en los centros de los círculos y dibujar aristas rectas entre ellos, se obtiene una incrustación plana de línea recta.

Un poliedro y su esfera media. El teorema de empaquetamiento de círculos implica que todo grafo poliédrico puede representarse como el grafo de un poliedro que tiene una esfera media.

Una forma más fuerte del teorema de empaquetamiento de círculos afirma que cualquier grafo poliédrico y su grafo dual pueden representarse mediante dos empaquetamientos de círculos, de modo que los dos círculos tangentes que representan una arista primaria del grafo y los dos círculos tangentes que representan el dual de la misma arista siempre tienen sus tangencias en ángulos rectos entre sí en el mismo punto del plano. Un empaquetamiento de este tipo puede usarse para construir un poliedro convexo que represente el grafo dado y que tenga una esfera media , una esfera tangente a todas las aristas del poliedro . Por el contrario, si un poliedro tiene una esfera media, entonces los círculos formados por las intersecciones de la esfera con las caras del poliedro y los círculos formados por los horizontes en la esfera vistos desde cada vértice del poliedro forman un empaquetamiento dual de este tipo.

Aspectos algorítmicos

Collins y Stephenson (2003) describen un algoritmo de relajación numérica para encontrar empaquetamientos de círculos, basándose en las ideas de William Thurston . La versión del problema de empaquetamiento de círculos que resuelven toma como entrada un grafo plano, en el que todas las caras internas son triángulos y para el que los vértices externos han sido etiquetados con números positivos. Produce como salida un empaquetamiento de círculos cuyas tangencias representan el grafo dado, y para el que los círculos que representan los vértices externos tienen los radios especificados en la entrada. Como sugieren, la clave del problema es calcular primero los radios de los círculos en el empaquetamiento; una vez que se conocen los radios, las posiciones geométricas de los círculos no son difíciles de calcular. Comienzan con un conjunto de radios tentativos que no corresponden a un empaquetamiento válido, y luego realizan repetidamente los siguientes pasos:

Elija un vértice interno v del gráfico de entrada.
Calcula el ángulo total θ que sus k círculos vecinos cubrirían alrededor del círculo para v , si los vecinos se colocaran tangentes entre sí y al círculo central usando sus radios tentativos.
Determinar un radio representativo r para los círculos vecinos, tal que k círculos de radio r darían el mismo ángulo de cobertura θ que los vecinos de v .
Establezca el nuevo radio para v como el valor para el cual k círculos de radio r darían un ángulo de cobertura de exactamente 2π.

Cada uno de estos pasos se puede realizar con cálculos trigonométricos simples y, como sostienen Collins y Stephenson, el sistema de radios converge rápidamente a un único punto fijo para el cual todos los ángulos de cobertura son exactamente 2π. Una vez que el sistema ha convergido, los círculos se pueden colocar uno a la vez, utilizando en cada paso las posiciones y los radios de dos círculos vecinos para determinar el centro de cada círculo sucesivo.

Mohar (1993) describe una técnica iterativa similar para encontrar empaquetamientos simultáneos de un grafo poliédrico y su dual, en el que los círculos duales forman ángulos rectos con respecto a los círculos primarios. Demuestra que el método requiere un polinomio temporal en el número de círculos y en log 1/ε, donde ε es un límite en la distancia de los centros y radios del empaquetamiento calculado respecto de los de un empaquetamiento óptimo.

Generalizaciones

Una versión del empaquetamiento circular se aplica a algunos grafos infinitos . En particular, una triangulación plana infinita con exactamente un extremo tiene un empaquetamiento en el plano euclidiano o en el plano hiperbólico (pero no en ambos). En el caso euclidiano, el empaquetamiento es único hasta la similitud; en el caso hiperbólico, es único hasta la isometría. ^[13]

El teorema de empaquetamiento de círculos se generaliza a grafos que no son planos. Si G es un grafo que puede ser embebido en una superficie S , entonces hay una métrica de Riemann de curvatura constante d en S y un empaquetamiento de círculos en ( S , d ) cuyo grafo de contactos es isomorfo a G . Si S es cerrado ( compacto y sin borde ) y G es una triangulación de S , entonces ( S , d ) y el empaquetamiento son únicos hasta equivalencia conforme. Si S es la esfera, entonces esta equivalencia es hasta transformaciones de Möbius; si es un toro, entonces la equivalencia es hasta escalar por una constante e isometrías, mientras que si S tiene género al menos 2, entonces la equivalencia es hasta isometrías.

Otra generalización del teorema de empaquetamiento de círculos implica reemplazar la condición de tangencia con un ángulo de intersección especificado entre círculos correspondientes a vértices vecinos. Una versión particularmente elegante es la siguiente. Supóngase que G es un grafo planar finito 3-conectado (es decir, un grafo poliédrico ), entonces hay un par de empaquetamientos de círculos, uno cuyo grafo de intersección es isomorfo a G , otro cuyo grafo de intersección es isomorfo al dual planar de G , y para cada vértice en G y cara adyacente a él, el círculo en el primer empaquetamiento correspondiente al vértice interseca ortogonalmente con el círculo en el segundo empaquetamiento correspondiente a la cara. ^[14] Por ejemplo, aplicar este resultado al grafo del tetraedro da, para cualesquiera cuatro círculos mutuamente tangentes, un segundo conjunto de cuatro círculos mutuamente tangentes cada uno de los cuales es ortogonal a tres de los primeros cuatro. ^[15] Una generalización adicional, que reemplaza el ángulo de intersección con la distancia inversa , permite la especificación de empaquetamientos en los que se requiere que algunos círculos sean disjuntos entre sí en lugar de cruzarse o ser tangentes. ^[16]

Otra variedad de generalizaciones permite formas que no son círculos. Supóngase que G = ( V , E ) es un grafo plano finito, y a cada vértice v de G le corresponde una forma , que es homeomorfa al disco unitario cerrado y cuyo borde es suave. Entonces hay un empaquetamiento en el plano tal que si y solo si y para cada el conjunto se obtiene de mediante traslación y escalado. (Obsérvese que en el teorema de empaquetamiento de círculos original, hay tres parámetros reales por vértice, dos de los cuales describen el centro del círculo correspondiente y uno de los cuales describe el radio, y hay una ecuación por borde. Esto también se cumple en esta generalización). Una prueba de esta generalización se puede obtener aplicando la prueba original de Koebe ^[17] y el teorema de Brandt ^[18] y Harrington ^[19] que establece que cualquier dominio finitamente conexo es conformemente equivalente a un dominio plano cuyos componentes de borde tienen formas especificadas, hasta traslaciones y escalado. $K_{v}\subconjunto \mathbb {R} ^{2}$ $P=(K'_{v}:v\in V)$ $K'_{v}\cap K'_{u}\neq \varnothing$ $[v,u]\en E$ $v\en V$ $Estilo de visualización K'_{v}}$ $Estilo de visualización Kv$

Historia

Los empaquetamientos circulares se estudiaron ya en 1910, en el trabajo de Arnold Emch sobre espirales de Doyle en filotaxis (las matemáticas del crecimiento de las plantas). ^[20] El teorema de empaquetamiento circular fue demostrado por primera vez por Paul Koebe . ^[17]William Thurston ^[1] redescubrió el teorema de empaquetamiento circular y observó que se desprendía del trabajo de EM Andreev. Thurston también propuso un esquema para usar el teorema de empaquetamiento circular para obtener un homeomorfismo de un subconjunto propio simplemente conexo del plano en el interior del disco unitario. La conjetura de Thurston para empaquetamientos circulares es su conjetura de que el homeomorfismo convergerá a la aplicación de Riemann cuando los radios de los círculos tiendan a cero. La conjetura de Thurston fue demostrada más tarde por Burton Rodin y Dennis Sullivan . ^[21] Esto condujo a una oleada de investigaciones sobre extensiones del teorema de empaquetamiento circular, relaciones con aplicaciones conformes y aplicaciones.

Véase también

Junta apolínea , un empaque infinito formado al llenar repetidamente espacios triangulares
Empaquetamiento circular , arreglos densos de círculos sin tangencias especificadas
Espirales de Doyle , empaquetamientos circulares que representan infinitos gráficos planos regulares de 6
Círculos de Ford , un empaquetamiento de círculos a lo largo de la línea de números racionales
Gráfico de centavos , los gráficos de monedas cuyos círculos tienen todos radios iguales
Lema del anillo , un límite en los tamaños de los círculos adyacentes en un empaquetamiento

Notas

^ por Thurston (1978–1981), cap. 13.
^ abcde Stephenson (1999).
^ Stephenson (1999): "El empaquetamiento circular ciertamente no puede competir con los métodos numéricos clásicos en cuanto a velocidad y precisión".
^ Beardon y Stephenson (1991); Carter y Rodin (1992).
^ Colin de Verdière (1991).
^ Lipton y Tarjan (1979).
^ Miller y otros (1997).
^ Benjamin y Schramm (2001).
^ Jonnason y Schramm (2000).
^ Kelner (2006).
^ Malitz y Papakostas (1994).
^ Keszegh, Pach y Pálvölgyi (2011).
^ Él y Schramm (1995).
^ Brightwell y Scheinerman (1993).
^ Coxeter (2006).
^ Bowers y Stephenson (2004).
^ por Koebe (1936).
^ Brandt (1980).
^ Harrington (1982).
^ Emmanuel (1910).
^ Rodin y Sullivan (1987).

Referencias

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Enlaces externos

CirclePack (software gratuito para construir empaquetamientos circulares a partir de gráficos) y bibliografía sobre empaquetamientos circulares de Kenneth Stephenson, Univ. de Tennessee