Espiral de Doyle

Empaquetado circular dispuesto en espiral

Una espiral de Doyle del tipo (8,16) impresa en 1911 en Popular Science como ilustración de la filotaxis . ^[1] Uno de sus brazos espirales está sombreado.

En las matemáticas del empaquetamiento de círculos , una espiral de Doyle es un patrón de círculos que no se cruzan en el plano en el que cada círculo está rodeado por un anillo de seis círculos tangentes . Estos patrones contienen brazos espirales formados por círculos unidos a través de puntos de tangencia opuestos, con sus centros en espirales logarítmicas de tres formas diferentes.

Las espirales de Doyle reciben su nombre del matemático Peter G. Doyle, quien hizo una importante contribución a su construcción matemática a fines de la década de 1980 o principios de la de 1990. ^[2] Sin embargo, su estudio sobre la filotaxis (las matemáticas del crecimiento de las plantas) se remonta a principios del siglo XX. ^{[1] [3] [4]}

Definición

Una espiral de Doyle se define como un tipo de empaquetamiento circular , que consiste en una cantidad infinita de círculos en el plano, sin que haya dos círculos que tengan interiores superpuestos. En una espiral de Doyle, cada círculo está encerrado por un anillo de otros seis círculos. Los seis círculos circundantes son tangentes al círculo central y a sus dos vecinos en el anillo. ^{[5] [6]}

Propiedades

Radios

Como observó Doyle , ^[2] la única forma de empaquetar círculos con la estructura combinatoria de una espiral de Doyle es usar círculos cuyos radios también estén altamente estructurados. ^[5] Se pueden empaquetar seis círculos alrededor de un círculo de radio si y solo si existen tres números reales positivos , , y , de modo que los círculos circundantes tengan radios (en orden cíclico) ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c={\tfrac {b}{a}}}$

${\displaystyle ra}$, , , , , y . ${\displaystyle rb}$ ${\displaystyle rc}$ ${\displaystyle r/a}$ ${\displaystyle r/b}$ ${\displaystyle r/c}$

Sólo ciertos triples de números , , y proceden de espirales de Doyle; otros corresponden a sistemas de círculos que eventualmente se superponen entre sí . ^{[6] [7]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c={\tfrac {b}{a}}}$

Brazos

Dos anillos concéntricos de nueve círculos en el rosetón de la catedral de St Albans . ^[8] Estos dos anillos son parte de una espiral Doyle (9,9), pero el círculo central y los otros círculos no siguen el patrón.

En una espiral de Doyle, se pueden agrupar los círculos en cadenas de círculos conectados a través de puntos opuestos de tangencia. Estos se han llamado brazos , siguiendo la misma terminología utilizada para las galaxias espirales . ^{[9] [10]} Dentro de cada brazo, los círculos tienen radios en una secuencia geométrica doblemente infinita o una secuencia del mismo tipo con multiplicador común o . En la mayoría de las espirales de Doyle, los centros de los círculos en un solo brazo se encuentran en una espiral logarítmica , y todas las espirales logarítmicas obtenidas de esta manera se encuentran en un solo punto central. Algunas espirales de Doyle, en cambio, tienen brazos circulares concéntricos (como en la vidriera que se muestra) o brazos rectos. ^[6] $${\displaystyle \dots ,ra^{-2},ra^{-1},r,ra,ra^{2},\dots }$$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Contando los brazos

La forma precisa de cualquier espiral de Doyle se puede parametrizar con tres números naturales , contando el número de brazos de cada una de sus tres formas. Cuando una forma de brazo se presenta infinitamente a menudo, su recuento se define como 0, en lugar de . ${\displaystyle \infty }$ El recuento de brazos más pequeño es igual a la diferencia de los otros dos recuentos de brazos, por lo que cualquier espiral de Doyle se puede describir como de tipo , ${\displaystyle (p,q)}$ donde y son los dos recuentos más grandes, en el orden ordenado . ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\leq q}$

Contando los brazos de cada tipo en una espiral de tipo (6,8)

Cada par con determina una espiral de Doyle, con su tercer y más pequeño conteo de brazos igual a . La forma de esta espiral está determinada únicamente por estos conteos, hasta la similitud . ^[5] Para una espiral de tipo , los multiplicadores de radio son , , y para números complejos y que satisfacen la ecuación de coherencia y las ecuaciones de tangencia Esto implica que los multiplicadores de radio son números algebraicos . ^{[9] [7]} Las autosimilitudes de una espiral centrada en el origen forman un grupo discreto generado por y . ^[7] Un círculo cuyo centro es la distancia desde el punto central de la espiral tiene radio . ^[9] ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle 1<q/2\leq p\leq q}$ ${\displaystyle q-p}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle a=|\alpha |}$ ${\displaystyle b=|\beta |}$ ${\displaystyle c={\tfrac {b}{a}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ^{p}=\beta ^{q}}$ $${\displaystyle {\frac {1+|\alpha |}{|1-\alpha |}}={\frac {1+|\beta |}{|1-\beta |}}={\frac {|\alpha |+|\beta |}{|\alpha -\beta |}}.}$$ ${\displaystyle z\mapsto \alpha z}$ ${\displaystyle z\mapsto \beta z}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\tfrac {|1-\alpha |}{1+|\alpha |}}d}$

Se conocen los valores exactos de estos parámetros en algunos casos sencillos. En otros casos, se pueden aproximar con precisión mediante una búsqueda numérica, y los resultados de esta búsqueda se pueden utilizar para determinar valores numéricos para los tamaños y posiciones de todos los círculos. ^{[5] [9]}

Simetría

Espiral de Doyle (6,8) bajo una transformación de Möbius. El patrón de tangencias se conserva pero los tres círculos más externos no están rodeados por su anillo de círculos tangentes.

Las espirales de Doyle tienen simetrías que combinan escala y rotación alrededor del punto central (o traslación y rotación, en el caso del empaquetamiento hexagonal regular del plano por círculos unitarios), llevando cualquier círculo del empaquetamiento a cualquier otro círculo. ^[6] La aplicación de una transformación de Möbius a una espiral de Doyle conserva la forma y las tangencias de sus círculos. Por lo tanto, una transformación de Möbius puede producir patrones adicionales de círculos tangentes que no se cruzan, cada uno tangente a otros seis. Estos patrones suelen tener un patrón de doble espiral en el que las secuencias conectadas de círculos salen en espiral de un punto central (la imagen del centro de la espiral de Doyle) y entran en otro punto (la imagen del punto en el infinito ). Sin embargo, estos no cumplen todos los requisitos de las espirales de Doyle: algunos círculos en este patrón no estarán rodeados por sus seis círculos vecinos. ^{[9] [12]}

Ejemplos y casos especiales

Secuencia loxodrómica de círculos tangentes de Coxeter , una espiral de Doyle de tipo (2,3)

El caso más general de una espiral de Doyle tiene tres multiplicadores de radio distintos, todos diferentes de 1, y tres recuentos de brazos distintos, todos distintos de cero. Un ejemplo es la secuencia loxodrómica de Coxeter de círculos tangentes , una espiral de Doyle de tipo (2,3), con recuentos de brazos 1, 2 y 3, y con multiplicadores y para donde denota la proporción áurea . Dentro del único brazo espiral de curvatura más cerrada, los círculos en la secuencia loxodrómica de Coxeter forman una secuencia cuyos radios son potencias de . Cada cuatro círculos consecutivos en esta secuencia son tangentes. ^[12] ${\displaystyle \alpha =\tau ^{3}}$ ${\displaystyle \beta =\tau ^{2}}$ $${\displaystyle \tau =-(1+{\frac {1}{\sqrt {\varphi }}})+i(1+{\sqrt {\varphi }}),}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\tau |=\varphi +{\sqrt {\varphi }}}$

Cuando exactamente uno de los tres brazos cuenta cero, los brazos que cuenta son circulares, con multiplicador de radio 1. El número de círculos en cada uno de estos brazos circulares es igual al número de brazos de cada uno de los otros dos tipos. Todos los brazos circulares son concéntricos, centrados donde se encuentran los brazos espirales. ^[5] Los multiplicadores para una espiral Doyle de tipo son y . ^{[9] [a]} En la foto de una ventana de iglesia con vitrales, los dos anillos de nueve círculos pertenecen a una espiral Doyle de esta forma, de tipo (9,9). ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle \alpha =ae^{i{\frac {\pi }{p}}}}$ ${\displaystyle \beta =ae^{-i{\frac {\pi }{p}}}}$

Los brazos rectos se producen para los recuentos de brazos . En este caso, los dos tipos de brazos en espiral tienen el mismo multiplicador de radio y son reflejos especulares entre sí. Hay el doble de brazos rectos que espirales de cada tipo. Cada brazo recto está formado por círculos con centros que se encuentran en un rayo que pasa por el punto central. ^[5] Debido a que el número de brazos rectos debe ser par, los brazos rectos se pueden agrupar en pares opuestos, con los dos rayos de cada par uniéndose para formar una línea. Los multiplicadores para una espiral de Doyle de tipo son y . ^{[9] [b]} La espiral de Doyle de tipo (8,16) de la ilustración de Popular Science es un ejemplo, con ocho brazos en espiral de la misma manera que el brazo sombreado, otros ocho brazos reflejados y dieciséis rayos. ${\displaystyle p=q/2}$ ${\displaystyle (p,2p)}$ ${\displaystyle \alpha =b^{2}}$ ${\displaystyle \beta =be^{i{\frac {\pi }{p}}}}$

Empaquetamiento hexagonal de círculos unitarios

Un último caso especial es la espiral de Doyle de tipo (0,0), un empaquetamiento hexagonal regular del plano mediante círculos unitarios. Sus multiplicadores de radio son todos uno y sus brazos forman familias paralelas de líneas de tres pendientes diferentes. ^[5]

Aplicaciones

Las espirales de Doyle forman un análogo discreto de la función exponencial , como parte del uso más general de los empaquetamientos circulares como análogos discretos de los mapas conformes . De hecho, se pueden obtener patrones que se parecen mucho a las espirales de Doyle (pero hechos de formas tangentes que no son círculos) aplicando el mapa exponencial a una copia escalada del empaquetamiento circular hexagonal regular. ^[5] Las tres razones de radios entre círculos adyacentes, fijas a lo largo de la espiral, pueden verse como análogas a una caracterización del mapa exponencial como si tuviera una derivada schwarziana fija . ^[6] Las espirales de Doyle se han utilizado para estudiar los grupos kleinianos , grupos discretos de simetrías del espacio hiperbólico , incrustando estas espirales en la esfera en el infinito del espacio hiperbólico y elevando las simetrías de cada espiral a las simetrías del espacio mismo. ^[9]

Las espirales de círculos tangentes, a menudo con números de Fibonacci de brazos, se han utilizado para modelar la filotaxis , los patrones de crecimiento en espiral característicos de ciertas especies de plantas, comenzando con el trabajo de Gerrit van Iterson en 1907. ^[4] En este contexto, un brazo de la espiral de Doyle se llama parastiquia y los conteos de brazos de la espiral de Doyle se llaman números parastiquios . Cuando los dos números parastiquios y son números de Fibonacci , y ya sea consecutivos o separados por un solo número de Fibonacci, entonces el tercer número parastiquio también será un número de Fibonacci. ^[13] Con esta aplicación en mente, Arnold Emch en 1910 calculó las posiciones de los círculos en espirales de Doyle de tipo , notando en su trabajo las conexiones entre estas espirales, espirales logarítmicas y la función exponencial. ^{[1] [3]} Para modelar el crecimiento de las plantas de esta manera, también se pueden utilizar empaquetamientos en espiral de círculos tangentes en superficies distintas del plano, incluidos cilindros y conos . ^[14] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (p,2p)}$

Los empaquetamientos espirales de círculos también se han estudiado como motivo decorativo en el diseño arquitectónico . ^[8]

Patrones relacionados

Patrones espirales no Doyle obtenidos al colocar círculos unitarios en desplazamientos angulares iguales en la espiral de Fermat ; la imagen central es la que tiene desplazamientos angulares de proporción áurea

Los círculos tangentes pueden formar patrones espirales cuya estructura local se asemeja a una cuadrícula cuadrada en lugar de una cuadrícula hexagonal, que se puede transformar continuamente en empaquetamientos de Doyle. ^[13] El espacio de empaquetamientos espirales localmente cuadrados es de dimensión infinita, a diferencia de las espirales de Doyle, que se pueden determinar mediante un número constante de parámetros. ^[15] También es posible describir sistemas espirales de círculos superpuestos que cubren el plano, en lugar de círculos que no se cruzan y que empaquetan el plano, con cada punto del plano cubierto por dos círculos como máximo, excepto los puntos donde tres círculos se encuentran en ángulos, y con cada círculo rodeado por otros seis. Estos tienen muchas propiedades en común con las espirales de Doyle. ^[16] ${\displaystyle 60^{\circ }}$

La espiral de Doyle no debe confundirse con un patrón espiral diferente de círculos , estudiado para ciertas formas de crecimiento de plantas como las cabezas de semillas de los girasoles . En este patrón, los círculos tienen un tamaño unitario en lugar de crecer logarítmicamente, y no son tangentes. En lugar de tener centros en una espiral logarítmica, están ubicados en la espiral de Fermat , desplazados entre sí por el ángulo áureo en relación con el centro de la espiral, donde es la proporción áurea . ^{[17] [18]} ${\displaystyle 2\pi /\varphi ^{2}\approx 137.5^{\circ }}$ ${\displaystyle \varphi }$

Notas

1. Aquí para . ^[9] ${\displaystyle a=w+{\sqrt {w^{2}-1}}}$ ${\displaystyle w=\tan ^{2}{\tfrac {\pi }{p}}+\sec {\tfrac {\pi }{p}}}$
2. Aquí para y . ^[9] ${\displaystyle b={\frac {1+{\sqrt {v-c}}}{v}}}$ ${\displaystyle v={\frac {{\sqrt {5+4c}}-1}{2}}}$ ${\displaystyle c=\cos {\tfrac {\pi }{p}}}$

Referencias

1. Emch, Arnold (noviembre de 1911), "Matemáticas e ingeniería en la naturaleza", Popular Science Monthly , 79 : 450–458
2. La descripción de Doyle de los seis radios del anillo de discos que rodea un disco central en estas espirales parece no haber sido publicada; Carter, Ithiel; Rodin, Burt (1992), "Un problema inverso para el empaquetamiento de círculos y el mapeo conforme", Transactions of the American Mathematical Society , 334 (2): 861–875, doi : 10.2307/2154486 , JSTOR  2154486, MR  1081937, y descrito sin citar como una observación de Doyle en Beardon, Dubejko y Stephenson (1994)
3. Emch, Arnold (1910), "Sur quelques exemples mathématiques dans les sciences naturallles.", L'Enseignement mathématique (en francés), 12 : 114-123
4. Jean, Roger V. (mayo de 1983), "Revisión introductoria: Modelado matemático en filotaxis: el estado del arte", Mathematical Biosciences , 64 (1): 1–27, doi :10.1016/0025-5564(83)90025-1
5. Beardon, Alan F .; Dubejko, Tomasz; Stephenson, Kenneth (1994), "Empaquetaduras circulares hexagonales en espiral en el plano", Geometriae Dedicata , 49 (1): 39–70, doi :10.1007/BF01263534, MR  1261573, S2CID  122370986
6. Bobenko, Alexander I.; Hoffmann, Tim (2001), "Empaquetamientos circulares conformemente simétricos: una generalización de las espirales de Doyle", Experimental Mathematics , 10 (1): 141–150, doi :10.1080/10586458.2001.10504437, MR  1822860, S2CID  14578266
7. Stephenson, Kenneth (2005), Introducción al empaquetamiento circular: la teoría de funciones analíticas discretas , Cambridge: Cambridge University Press, pág. 326, ISBN 978-0-521-82356-2, Sr.  2131318
8. Fernández-Cabo, MC (junio de 2017), "Círculos tangentes en el plano utilizando compás variable", Journal of Architectural Engineering , 23 (2): 04017001, doi :10.1061/(asce)ae.1943-5568.0000233
9. Wright, David J. (2006), "Buscando la cúspide" (PDF) , en Minsky, Yair; Sakuma, Makoto ; Series, Caroline (eds.), Spaces of Kleinian Groups , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 329, Cambridge University Press, págs. 301–336, MR  2258756
10. Sutcliffe, Alan (2008), "Espirales de Doyle animadas", en Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo H. (eds.), Bridges Leeuwarden: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture , Londres: Tarquin Publications, págs. 131-138, ISBN 9780966520194
11. Beardon, Dubejko y Stephenson (1994), Tabla I, pág. 61
12. Coxeter, HSM (1968), "Secuencias loxodrómicas de esferas tangentes" , Aequationes Mathematicae , 1 (1–2): 104–121, doi :10.1007/BF01817563, MR  0235456, S2CID  119897862
13. Rothen, F.; Koch, A.-J. (1989), "Fillotaxis o las propiedades de las redes espirales, II: Empaquetamiento de círculos a lo largo de espirales logarítmicas" , Journal de Physique , 50 (13): 1603–1621, doi :10.1051/jphys:0198900500130160300
14. Erickson, RO (1983), "La geometría de la filotaxis", en Dale, JE; Milthorpe, FL (eds.), El crecimiento y funcionamiento de las hojas: Actas de un simposio celebrado antes del decimotercer Congreso Botánico Internacional en la Universidad de Sydney del 18 al 20 de agosto de 1981 , Cambridge University Press , págs. 53–88
15. Schramm, Oded (1997), "Patrones circulares con la combinatoria de la cuadrícula cuadrada", Duke Mathematical Journal , 86 (2): 347–389, doi :10.1215/S0012-7094-97-08611-7, MR  1430437
16. Bobenko, Alexander I.; Hoffmann, Tim (2003), "Patrones de círculos hexagonales y sistemas integrables: patrones con ángulos constantes", Duke Mathematical Journal , 116 (3): 525–566, arXiv : math/0109018 , doi :10.1215/S0012-7094-03-11635-X, MR  1958097, S2CID  22759
17. Pickover, Clifford A. (julio de 1992), "Sobre la estética de la inversión y la osculación", The Visual Computer , 8 (4): 233–240, doi :10.1007/bf01900658, S2CID  13610388
18. Vogel, Helmut (junio de 1979), "Una mejor manera de construir la cabeza del girasol", Mathematical Biosciences , 44 (3–4): 179–189, doi :10.1016/0025-5564(79)90080-4

Lectura adicional

• Yamagishi, Yoshikazu; Sushida, Takamichi (abril de 2017), "Empaquetamientos de discos espirales", Physica D: Nonlinear Phenomena , 345 : 1–10, Bibcode :2017PhyD..345....1Y, doi :10.1016/j.physd.2016.12.003

Enlaces externos

• Explorador de espirales de Doyle, Robin Houston