Sucesión loxodrómica de círculos tangentes de Coxeter

Empaquetado circular

El círculo azul 0 es tangente a los círculos 1, 2 y 3, así como a los círculos anteriores −1, −2 y −3.

En geometría , la sucesión loxodrómica de círculos tangentes de Coxeter es una sucesión infinita de círculos dispuestos de modo que cuatro círculos consecutivos cualesquiera en la sucesión sean tangentes entre sí por pares. Esto significa que cada círculo de la sucesión es tangente a los tres círculos que lo preceden y también a los tres círculos que lo siguen.

Propiedades

Los radios de los círculos de la secuencia forman una progresión geométrica con razón donde es la proporción áurea . Esta razón y su recíproco satisfacen la ecuación y, por lo tanto, cuatro círculos consecutivos cualesquiera en la secuencia cumplen las condiciones del teorema de Descartes . ^{[1] [2]} $${\displaystyle k=\varphi +{\sqrt {\varphi }}\approx 2.89005\ ,}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})^{2}=2(1+x^{2}+x^{4}+x^{6})\ ,}$$

Los centros de los círculos de la secuencia se encuentran en una espiral logarítmica . Visto desde el centro de la espiral, el ángulo entre los centros de círculos sucesivos es ^[1] El ángulo entre ternas consecutivas de centros es el mismo que uno de los ángulos del triángulo de Kepler , un triángulo rectángulo cuya construcción también implica la raíz cuadrada de la proporción áurea. ^[3] $${\displaystyle \cos ^{-1}\left({\frac {-1}{\varphi }}\right)\approx 128.173^{\circ }\ .}$$ $${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ },}$$

Historia y construcciones relacionadas

La construcción recibe su nombre del geómetra HSM Coxeter , quien generalizó el caso bidimensional a secuencias de esferas e hiperesferas en dimensiones superiores. ^{[1] [4] [5]} Puede interpretarse como un caso especial degenerado de la espiral de Doyle . ^[2]

Véase también

• Junta apolínea

Referencias

1. Coxeter, HSM (1968), "Secuencias loxodrómicas de esferas tangentes", Aequationes Mathematicae , 1 (1–2): 104–121, doi :10.1007/BF01817563, MR  0235456, S2CID  119897862
2. Aharonov, D.; Stephenson, K. (1997), "Secuencias geométricas de discos en el empaquetamiento apolíneo", Algebra i Analiz , 9 (3): 104–140, MR  1466797
3. Kocik, Jerzy (enero de 2019), Una nota sobre empaquetamientos de discos apolíneos no acotados , arXiv : 1910.05924
4. Coxeter, HSM (1997), "Distancias numéricas entre las esferas en una secuencia loxodrómica", The Mathematical Intelligencer , 19 (4): 41–47, doi :10.1007/BF03024413, MR  1488865, S2CID  120436625
5. Coxeter, HSM (1998), "Distancias numéricas entre los círculos en una secuencia loxodrómica", Nieuw Archief voor Wiskunde , 16 (1–2): 1–9, MR  1645232

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Secuencia loxodrómica de círculos tangentes de Coxeter", MathWorld