Progresión geométrica

Secuencia matemática de números

Diagrama que ilustra tres secuencias geométricas básicas del patrón 1( r ^{n −1} ) hasta 6 iteraciones de profundidad. El primer bloque es un bloque unitario y la línea discontinua representa la suma infinita de la secuencia, un número al que se acercará siempre pero que nunca tocará: 2, 3/2 y 4/3 respectivamente.

Una progresión geométrica , también conocida como secuencia geométrica , es una secuencia matemática de números distintos de cero en la que cada término después del primero se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón común . Por ejemplo, la secuencia 2, 6, 18, 54, ... es una progresión geométrica con una razón común de 3. De manera similar, 10, 5, 2,5, 1,25, ... es una secuencia geométrica con una razón común de 1/2.

Ejemplos de una secuencia geométrica son las potencias r ^k de un número fijo distinto de cero r , como 2 k y 3 ^k . La forma general de una secuencia geométrica es

${\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }$

donde r es la razón común y a es el valor inicial.

La suma de los términos de una progresión geométrica se llama serie geométrica .

Propiedades

El término n- ésimo de una secuencia geométrica con valor inicial a = a ₁ y razón común r está dado por

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1},}$

y en general

${\displaystyle a_{n}=a_{m}\,r^{n-m}.}$

Las secuencias geométricas satisfacen la relación de recurrencia lineal

${\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}}$para cada entero ${\displaystyle n>1.}$

Se trata de una recurrencia lineal homogénea de primer orden con coeficientes constantes .

Las secuencias geométricas también satisfacen la relación de recurrencia no lineal

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}/a_{n-2}}$para cada entero ${\displaystyle n>2.}$

Se trata de una recurrencia no lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

Cuando la razón común de una sucesión geométrica es positiva, todos los términos de la sucesión compartirán el signo del primer término. Cuando la razón común de una sucesión geométrica es negativa, los términos de la sucesión alternan entre positivos y negativos; esto se llama sucesión alternada. Por ejemplo, la sucesión 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... es una sucesión geométrica alternada con un valor inicial de 1 y una razón común de −3. Cuando el término inicial y la razón común son números complejos, los argumentos complejos de los términos siguen una progresión aritmética .

Si el valor absoluto de la razón común es menor que 1, los términos disminuirán en magnitud y se acercarán a cero mediante un decaimiento exponencial . Si el valor absoluto de la razón común es mayor que 1, los términos aumentarán en magnitud y se acercarán al infinito mediante un crecimiento exponencial . Si el valor absoluto de la razón común es igual a 1, los términos mantendrán el mismo tamaño indefinidamente, aunque sus signos o argumentos complejos puedan cambiar.

Las progresiones geométricas muestran un crecimiento exponencial o una disminución exponencial, a diferencia de las progresiones aritméticas que muestran un crecimiento o una disminución lineal. Esta comparación fue tomada por TR Malthus como la base matemática de su Ensayo sobre el principio de población . Los dos tipos de progresión están relacionados a través de la función exponencial y el logaritmo : exponenciar cada término de una progresión aritmética produce una progresión geométrica, mientras que tomar el logaritmo de cada término en una progresión geométrica produce una progresión aritmética.

Serie geométrica

Demostración sin palabras de la fórmula para la suma de una serie geométrica: si | r | < 1 y n → ∞, el término r ^{n se anula, quedando} S _∞ = ⁠a/1 − r⁠

En matemáticas , una serie geométrica es una serie que suma los términos de una sucesión geométrica infinita , en la que la razón de los términos consecutivos es constante. Por ejemplo, la serie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\cdots }$ es una serie geométrica con razón común ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ , que converge a la suma de ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ . Cada término de una serie geométrica es la media geométrica del término anterior y del término posterior, de la misma manera que cada término de una serie aritmética es la media aritmética de sus vecinos.

Aunque las paradojas del filósofo griego Zenón sobre el tiempo y el movimiento (siglo V a. C.) se han interpretado como que implicaban series geométricas, dichas series fueron estudiadas y aplicadas formalmente un siglo o dos después por los matemáticos griegos , por ejemplo, Arquímedes las utilizó para calcular el área dentro de una parábola (siglo III a. C.). Hoy en día, las series geométricas se utilizan en finanzas matemáticas , en el cálculo de áreas de fractales y en diversos temas de informática.

Aunque las series geométricas generalmente involucran números reales o complejos , también hay resultados y aplicaciones importantes para series geométricas con valores matriciales , series geométricas con valores funcionales, series geométricas de números ádicos y , más generalmente, series geométricas de elementos de campos algebraicos abstractos , anillos y semianillos . ${\displaystyle p}$

Producto

El producto infinito de una progresión geométrica es el producto de todos sus términos. El producto parcial de una progresión geométrica hasta el término con potencia es ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{(k)}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}.}$$

Cuando y son números reales positivos, esto es equivalente a tomar la media geométrica del primer y último término individual de la progresión parcial y luego elevar esa media a la potencia dada por el número de términos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n+1.}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{k}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ for }}a\geq 0,r\geq 0.}$$

Esto corresponde a una propiedad similar de las sumas de términos de una secuencia aritmética finita : la suma de una secuencia aritmética es el número de términos multiplicado por la media aritmética del primer y el último término individual. Esta correspondencia sigue el patrón habitual de que cualquier secuencia aritmética es una secuencia de logaritmos de términos de una secuencia geométrica y cualquier secuencia geométrica es una secuencia de exponenciaciones de términos de una secuencia aritmética. Las sumas de logaritmos corresponden a productos de valores exponenciados.

Prueba

Sea el producto de la potencia . Escrito en su totalidad, ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{n}=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}$.

Realizando las multiplicaciones y agrupando términos semejantes,

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}$.

El exponente de r es la suma de una sucesión aritmética. Sustituyendo la fórmula para esa suma,

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}$,

lo que concluye la prueba.

Se puede reorganizar esta expresión para

${\displaystyle P_{n}=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}.}$

Reescribiendo a como y r como si esto no fuera válido para o ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {a^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {r^{2}}}}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle r<0,}$

${\displaystyle P_{n}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ for }}a\geq 0,r\geq 0}$

cual es la fórmula en términos de la media geométrica.

Historia

Una tablilla de arcilla del Período Dinástico Temprano en Mesopotamia (c. 2900 – c. 2350 a. C.), identificada como MS 3047, contiene una progresión geométrica con base 3 y multiplicador 1/2. Se ha sugerido que es sumeria , de la ciudad de Shuruppak . Es el único registro conocido de una progresión geométrica anterior a la época de las matemáticas babilónicas antiguas , que comenzó en el año 2000 a. C. ^[1]

Los libros VIII y IX de los Elementos de Euclides analizan progresiones geométricas (como las potencias de dos , ver el artículo para más detalles) y dan varias de sus propiedades. ^[2]

Véase también

• Progresión aritmética  : secuencia de números igualmente espaciados
• Sucesión aritmético-geométrica  : Sucesión matemática que satisface un patrón específico.
• Ecuación diferencial lineal  – Relación en álgebraPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función exponencial  : función matemática, denotada exp(x) o e^x
• Progresión armónica  : progresión formada al tomar los recíprocos de una progresión aritmética.
• Serie armónica  : suma divergente de todas las fracciones unitarias positivas
• Serie infinita  – Suma infinita
• Número preferido  : pautas estándar para elegir las dimensiones exactas del producto dentro de un conjunto determinado de restricciones
• Thomas Robert Malthus  – Economista político británico (1766–1834)
• Distribución geométrica  – Distribución de probabilidad

Referencias

1. Friberg, Jöran (2007). "MS 3047: Un antiguo texto sumerio de tablas metro-matemáticas". En Friberg, Jöran (ed.). Una notable colección de textos matemáticos babilónicos . Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Nueva York: Springer. pp. 150–153. doi :10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7.Señor 2333050  .
2. Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2.ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Dover Publications.

• Hall & Knight, Álgebra superior , pág. 39, ISBN 81-8116-000-2 

Enlaces externos

• "Progresión geométrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Derivación de fórmulas para la suma de progresiones geométricas finitas e infinitas en Mathalino.com
• Calculadora de progresión geométrica Archivado el 27 de diciembre de 2008 en Wayback Machine
• Buena demostración de una progresión geométrica en sputsoft.com
• Weisstein, Eric W. "Series geométricas". MathWorld .