En el campo matemático de la geometría algebraica , un punto singular de una variedad algebraica V es un punto P que es 'especial' (es decir, singular), en el sentido geométrico de que en este punto el espacio tangente en la variedad puede no estar definido regularmente. En el caso de variedades definidas sobre los reales , esta noción generaliza la noción de no planitud local . Un punto de una variedad algebraica que no es singular se dice que es regular . Una variedad algebraica que no tiene un punto singular se dice que es no singular o suave . El concepto se generaliza a los esquemas suaves en el lenguaje moderno de la teoría de esquemas .
Una curva plana definida por una ecuación implícita
donde F es una función suave se dice que es singular en un punto si la serie de Taylor de F tiene orden al menos 2 en este punto.
La razón de esto es que, en el cálculo diferencial , la tangente en el punto ( x 0 , y 0 ) de dicha curva está definida por la ecuación
cuyo lado izquierdo es el término de grado uno del desarrollo de Taylor. Por lo tanto, si este término es cero, la tangente no puede definirse de la manera estándar, ya sea porque no existe o porque se debe proporcionar una definición especial.
En general para una hipersuperficie
Los puntos singulares son aquellos en los que todas las derivadas parciales se anulan simultáneamente. Como variedad algebraica general V se define como los ceros comunes de varios polinomios , la condición para que un punto P de V sea un punto singular es que la matriz jacobiana de las derivadas parciales de primer orden de los polinomios tenga un rango en P que sea menor que el rango en otros puntos de la variedad.
Los puntos de V que no son singulares se denominan no singulares o regulares . Siempre es cierto que casi todos los puntos son no singulares, en el sentido de que los puntos no singulares forman un conjunto que es a la vez abierto y denso en la variedad (para la topología de Zariski , así como para la topología usual, en el caso de variedades definidas sobre los números complejos ). [1]
En el caso de una variedad real (es decir, el conjunto de los puntos con coordenadas reales de una variedad definida por polinomios con coeficientes reales), la variedad es una variedad cerca de cada punto regular. Pero es importante notar que una variedad real puede ser una variedad y tener puntos singulares. Por ejemplo, la ecuación y 3 + 2 x 2 y − x 4 = 0 define una variedad analítica real pero tiene un punto singular en el origen. [2] Esto puede explicarse diciendo que la curva tiene dos ramas conjugadas complejas que cortan la rama real en el origen.
Como la noción de puntos singulares es una propiedad puramente local, la definición anterior se puede extender para cubrir la clase más amplia de aplicaciones suaves (funciones de M a R n donde existen todas las derivadas). El análisis de estos puntos singulares se puede reducir al caso de variedad algebraica considerando los jets de la aplicación. El k -ésimo jet es la serie de Taylor de la aplicación truncada en el grado k y eliminando el término constante .
En la geometría algebraica clásica , ciertos puntos singulares especiales también se denominaban nodos . Un nodo es un punto singular donde la matriz hessiana no es singular; esto implica que el punto singular tiene multiplicidad dos y el cono tangente no es singular fuera de su vértice.
