Mapa de Milnor

En matemáticas, los mapas de Milnor reciben su nombre en honor a John Milnor , quien los introdujo en la topología y la geometría algebraica en su libro Singular Points of Complex Hypersurfaces ( Princeton University Press , 1968) y en conferencias anteriores. Los mapas de Milnor más estudiados son en realidad fibraciones , y la frase fibración de Milnor se encuentra más comúnmente en la literatura matemática. Estos se introdujeron para estudiar singularidades aisladas mediante la construcción de invariantes numéricos relacionados con la topología de una deformación suave del espacio singular.

Definición

Sea una función polinómica no constante de variables complejas donde el lugar geométrico de desaparición de ${\displaystyle f(z_{0},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle z_{0},\dots ,z_{n}}$

${\displaystyle f(z)\ {\text{ and }}\ {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z)}$

está solo en el origen, lo que significa que la variedad asociada no es suave en el origen. Entonces, para (una esfera dentro del radio ) la fibración de Milnor ^{[1] pág. 68} asociada a se define como la función ${\displaystyle X=V(f)}$ ${\displaystyle K=X\cap S_{\varepsilon }^{2n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \phi \colon (S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus K)\to S^{1}\ {\text{ sending }}\ x\mapsto {\frac {f(x)}{|f(x)|}}}$,

que es una fibración suave localmente trivial para valores suficientemente pequeños . Originalmente, esto fue demostrado como un teorema por Milnor, pero luego se tomó como la definición de una fibración de Milnor. Nótese que este es un mapa bien definido ya que ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}}$,

¿Dónde está el argumento de un número complejo ? ${\displaystyle \operatorname {Arg} (f(x))}$

Motivación histórica

Una de las motivaciones originales para estudiar tales mapas fue el estudio de nudos construidos tomando una bola alrededor de un punto singular de una curva plana , que es isomorfa a una bola real de 4 dimensiones, y mirando el nudo dentro del límite, que es una variedad 1 dentro de una esfera 3. Dado que este concepto podía generalizarse a hipersuperficies con singularidades aisladas, Milnor introdujo el tema y demostró su teorema. ${\displaystyle \varepsilon }$

En geometría algebraica

Otra noción relacionada cerrada en geometría algebraica es la fibra de Milnor de una singularidad de hipersuperficie aislada. Esta tiene una configuración similar, donde un polinomio tiene una singularidad en el origen, pero ahora el polinomio ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=0}$

${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {C} ^{n+1}\to \mathbb {C} \ {\text{ sending }}\ (z_{0},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{0},\ldots ,z_{n})-t}$

Se considera entonces la fibra algebraica de Milnor como uno de los polinomios . ${\displaystyle f_{t\neq 0}}$

Propiedades y teoremas

Paralelización

Uno de los teoremas básicos de estructura sobre las fibras de Milnor es que son variedades paralelizables ^{[1] pág. 75} .

Tipo de homotopía

Las fibras de Milnor son especiales porque tienen el tipo de homotopía de un racimo de esferas ^{[1] pág. 78.} El número de estas esferas es el número de Milnor . De hecho, el número de esferas se puede calcular utilizando la fórmula

${\displaystyle \mu (f)={\text{dim}}_{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [z_{0},\ldots ,z_{n}]}{\operatorname {Jac} (f)}},}$

donde el ideal cociente es el ideal jacobiano , definido por las derivadas parciales . Estas esferas deformadas a la fibra de Milnor algebraica son los ciclos de desaparición de la fibración ^{[1] pág} . 83. Desafortunadamente, calcular los valores propios de su monodromía es un desafío computacional y requiere técnicas avanzadas como las funciones b ^{[2] pág. 23} . ${\displaystyle \partial f/\partial z_{i}}$

Teorema de fibración de Milnor

El teorema de fibración de Milnor establece que, para cada uno cuyo origen sea un punto singular de la hipersuperficie (en particular, para cada polinomio no constante libre de cuadrados de dos variables, el caso de las curvas planas), entonces, para valores suficientemente pequeños, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\dfrac {f}{|f|}}\colon \left(S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus V_{f}\right)\to S^{1}}$

es una fibración. Cada fibra es una variedad diferenciable no compacta de dimensión real . Nótese que la clausura de cada fibra es una variedad compacta con borde. Aquí el borde corresponde a la intersección de con la -esfera (de radio suficientemente pequeño) y por lo tanto es una variedad real de dimensión . Además, esta variedad compacta con borde, que se conoce como fibra de Milnor (del punto singular aislado de en el origen), es difeomorfa a la intersección de la -esfera cerrada (limitada por la -esfera pequeña) con la hipersuperficie (no singular) donde y es cualquier número complejo no nulo suficientemente pequeño . Este pequeño trozo de hipersuperficie también se llama fibra de Milnor . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle (2n+1)}$ ${\displaystyle (2n-1)}$ ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle (2n+2)}$ ${\displaystyle (2n+1)}$ ${\displaystyle V_{g}}$ ${\displaystyle g=f-e}$ ${\displaystyle e}$

Las funciones de Milnor en otros radios no siempre son fibraciones, pero aun así tienen muchas propiedades interesantes. Para la mayoría de los polinomios (pero no todos), la función de Milnor en el infinito (es decir, en cualquier radio suficientemente grande) es nuevamente una fibración.

Ejemplos

El mapa de Milnor de en cualquier radio es una fibración; esta construcción le da al nudo trilobulado su estructura como un nudo fibroso . ${\displaystyle f(z,w)=z^{2}+w^{3}}$

Véase también

• Ciclo de desaparición
• Estructura mixta de Hodge

Referencias

1. Dimca, Alexandru (1992). Singularidades y topología de hipersuperficies. Nueva York, NY: Springer . ISBN 978-1-4612-4404-2.OCLC 852790417  .
2. Budur, Nero. "Ideales multiplicadores, fibras de Milnor y otros invariantes de singularidad" (PDF) . doi :10.1002/humu.22655. S2CID  221776902. Archivado desde el original (PDF) el 6 de marzo de 2019.

• Milnor, John W. (1968), Puntos singulares de hipersuperficies complejas , Annals of Mathematics Studies, n.º 61. Princeton University Press , Princeton, NJ; University of Tokyo Press , Tokio, ISBN 0-691-08065-8