Polinomio de Bernstein-Sato

Polinomio relacionado con operadores diferenciales

En matemáticas , el polinomio de Bernstein-Sato es un polinomio relacionado con los operadores diferenciales , introducido independientemente por Joseph Bernstein  (1971) y Mikio Sato y Takuro Shintani (1972, 1974), Sato (1990). También se lo conoce como función b , polinomio b y polinomio de Bernstein , aunque no está relacionado con los polinomios de Bernstein utilizados en la teoría de aproximación . Tiene aplicaciones en la teoría de la singularidad , la teoría de la monodromía y la teoría cuántica de campos .

Severino Coutinho (1995) ofrece una introducción elemental, mientras que Armand Borel  (1987) y Masaki Kashiwara  (2003) ofrecen relatos más avanzados.

Definición y propiedades

Si es un polinomio en varias variables, entonces existe un polinomio distinto de cero y un operador diferencial con coeficientes polinomiales tales que ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle b(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s)f(x)^{s+1}=b(s)f(x)^{s}.}$

El polinomio de Bernstein-Sato es el polinomio mónico de menor grado entre estos polinomios . Su existencia se puede demostrar utilizando la noción de D-módulos holonómicos . ${\displaystyle b(s)}$

Kashiwara (1976) demostró que todas las raíces del polinomio de Bernstein-Sato son números racionales negativos .

El polinomio de Bernstein-Sato también puede definirse para productos de potencias de varios polinomios (Sabbah 1987). En este caso, se trata de un producto de factores lineales con coeficientes racionales. ^{[ cita requerida ]}

Nero Budur, Mircea Mustață y Morihiko Saito  (2006) generalizaron el polinomio de Bernstein-Sato a variedades arbitrarias.

Cabe señalar que el polinomio de Bernstein-Sato se puede calcular algorítmicamente. Sin embargo, estos cálculos son difíciles en general. Existen implementaciones de algoritmos relacionados en los sistemas de álgebra computacional RISA/Asir, Macaulay2 y SINGULAR .

Daniel Andres, Viktor Levandovskyy y Jorge Martín-Morales (2009) presentaron algoritmos para calcular el polinomio de Bernstein-Sato de una variedad afín junto con una implementación en el sistema de álgebra computacional SINGULAR .

Christine Berkesch y Anton Leykin (2010) describieron algunos de los algoritmos para calcular polinomios de Bernstein-Sato por computadora.

Ejemplos

• Si entonces ${\displaystyle f(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}f(x)^{s+1}=4(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right)f(x)^{s}}$

Entonces el polinomio de Bernstein-Sato es

${\displaystyle b(s)=(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right).}$

• Si entonces ${\displaystyle f(x)=x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{r}^{n_{r}}}$

${\displaystyle \prod _{j=1}^{r}\partial _{x_{j}}^{n_{j}}\quad f(x)^{s+1}=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}(n_{j}s+i)\quad f(x)^{s}}$

entonces

${\displaystyle b(s)=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}\left(s+{\frac {i}{n_{j}}}\right).}$

• El polinomio de Bernstein-Sato de x ²  +  y ³ es

${\displaystyle (s+1)\left(s+{\frac {5}{6}}\right)\left(s+{\frac {7}{6}}\right).}$

• Si t _ij son n ² variables, entonces el polinomio de Bernstein-Sato de det( t _ij ) está dado por

${\displaystyle (s+1)(s+2)\cdots (s+n)}$

Lo cual se desprende de

${\displaystyle \Omega (\det(t_{ij})^{s})=s(s+1)\cdots (s+n-1)\det(t_{ij})^{s-1}}$

donde Ω es el proceso omega de Cayley , que a su vez se deduce de la identidad de Capelli .

Aplicaciones

• Si es un polinomio no negativo entonces , definido inicialmente para s con parte real no negativa, puede continuarse analíticamente hasta una función de distribución meromórfica de s utilizando repetidamente la ecuación funcional ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)^{s}}$

${\displaystyle f(x)^{s}={1 \over b(s)}P(s)f(x)^{s+1}.}$

Puede tener polos siempre que b ( s  +  n ) sea cero para un entero no negativo n .

• Si f ( x ) es un polinomio, no idénticamente cero, entonces tiene una inversa g que es una distribución; ^[a] en otras palabras, f g  = 1 como distribuciones. Si f ( x ) no es negativa, la inversa se puede construir utilizando el polinomio de Bernstein-Sato tomando el término constante de la expansión de Laurent de f ( x ) ^s en s  = −1. Para una f ( x ) arbitraria, simplemente tome por la inversa de ${\displaystyle {\bar {f}}(x)}$ ${\displaystyle {\bar {f}}(x)f(x).}$
• El teorema de Malgrange-Ehrenpreis establece que todo operador diferencial con coeficientes constantes tiene una función de Green . Si tomamos las transformadas de Fourier, esto se deduce del hecho de que todo polinomio tiene una inversa distributiva, lo que se demuestra en el párrafo anterior.
• Pavel Etingof  (1999) mostró cómo utilizar el polinomio de Bernstein para definir rigurosamente la regularización dimensional , en el caso euclidiano masivo.
• La ecuación funcional de Bernstein-Sato se utiliza en los cálculos de algunos de los tipos más complejos de integrales singulares que se dan en la teoría cuántica de campos Fyodor Tkachov (1997). Tales cálculos son necesarios para mediciones de precisión en física de partículas elementales como la que se practica, por ejemplo, en el CERN (ver los artículos que citan (Tkachov 1997)). Sin embargo, los casos más interesantes requieren una generalización simple de la ecuación funcional de Bernstein-Sato al producto de dos polinomios , con x teniendo 2-6 componentes escalares, y el par de polinomios teniendo órdenes 2 y 3. Desafortunadamente, una determinación de fuerza bruta de los operadores diferenciales correspondientes y para tales casos ha demostrado hasta ahora ser prohibitivamente engorrosa. Idear formas de evitar la explosión combinatoria del algoritmo de fuerza bruta sería de gran valor en tales aplicaciones. ${\displaystyle (f_{1}(x))^{s_{1}}(f_{2}(x))^{s_{2}}}$ ${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$ ${\displaystyle b(s_{1},s_{2})}$

Notas

1. Advertencia: La inversa no es única en general, porque si f tiene ceros entonces hay distribuciones cuyo producto con f es cero, y sumar uno de estos a una inversa de f es otra inversa de f .

Referencias

• Andres, Daniel; Levandovskyy, Viktor; Martín-Morales, Jorge (2009). "Principal intersección y polinomio de Bernstein-Sato de una variedad afín". Actas del simposio internacional de 2009 sobre computación simbólica y algebraica . Association for Computing Machinery . págs. 231–238. arXiv : 1002.3644 . doi :10.1145/1576702.1576735. ISBN . 9781605586090. Número de identificación del sujeto  2747775.
• Berkesch, Christine; Leykin, Anton (2010). "Algoritmos para polinomios de Bernstein-Sato e ideales multiplicadores". Actas del Simposio Internacional de 2010 sobre Computación Simbólica y Algebraica . págs. 99–106. arXiv : 1002.1475 . doi :10.1145/1837934.1837958. ISBN . 9781450301503. Número de identificación del sujeto  33730581.
• Bernstein, Joseph (1971). "Módulos sobre un anillo de operadores diferenciales. Estudio de las soluciones fundamentales de ecuaciones con coeficientes constantes". Análisis funcional y sus aplicaciones . 5 (2): 89–101. doi :10.1007/BF01076413. MR  0290097. S2CID  124605141.
• Budur, Nero; Mustață, Mircea ; Saito, Morihiko (2006). "Polinomios de Bernstein-Sato de variedades arbitrarias". Compositio Mathematica . 142 (3): 779–797. arXiv : math/0408408 . Bibcode :2004math......8408B. doi :10.1112/S0010437X06002193. MR  2231202. S2CID  6955564.
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• Kashiwara, Masaki (2003). Módulos D y cálculo microlocal . Traducciones de monografías matemáticas. Vol. 217. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 978-0-8218-2766-6.Señor 1943036  .
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