Regularización de la función Zeta

Método de sumabilidad en física.

En matemáticas y física teórica , la regularización de funciones zeta es un tipo de método de regularización o sumabilidad que asigna valores finitos a sumas o productos divergentes y, en particular, puede usarse para definir determinantes y trazas de algunos operadores autoadjuntos . La técnica ahora se aplica comúnmente a problemas de física , pero tiene su origen en intentos de dar significados precisos a sumas mal condicionadas que aparecen en la teoría de números .

Definición

Existen varios métodos de suma diferentes llamados regularización de función zeta para definir la suma de una serie posiblemente divergente a ₁ + a ₂ + ....

Un método es definir su suma regularizada zeta como ζ _A (−1) si esto está definido, donde la función zeta se define para Re( s ) grandes por

${\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots }$

si esta suma converge, y por continuación analítica en otros lugares.

En el caso en que _an = n , la función zeta es la función zeta de Riemann ordinaria . Euler utilizó este método para "sumar" la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ... a ζ(−1) = −1/12.

Hawking (1977) demostró que en un espacio plano, en el que se conocen los valores propios de los laplacianos, la función zeta correspondiente a la función de partición se puede calcular explícitamente. Considere un campo escalar φ contenido en una caja grande de volumen V en un espacio-tiempo plano a la temperatura T  =  β ⁻¹ . La función de partición se define por una integral de trayectoria sobre todos los campos φ en el espacio euclidiano obtenido poniendo τ  =  it que son cero en las paredes de la caja y que son periódicos en τ con período β . En esta situación, a partir de la función de partición calcula la energía, la entropía y la presión de la radiación del campo  φ . En el caso de espacios planos, los valores propios que aparecen en las cantidades físicas son generalmente conocidos, mientras que en el caso de espacios curvos no se conocen: en este caso se necesitan métodos asintóticos.

Otro método define el producto infinito posiblemente divergente a ₁ a ₂ .... como exp(−ζ′ _A (0)). Ray y Singer (1971) utilizaron esto para definir el determinante de un operador autoadjunto positivo A (el laplaciano de una variedad de Riemann en su aplicación) con valores propios a ₁ , a ₂ , ...., y en este caso el zeta La función es formalmente la traza de A ^{− s} . Minakshisundaram y Pleijel (1949) demostraron que si A es el laplaciano de una variedad de Riemann compacta, entonces la función zeta de Minakshisundaram-Pleijel converge y tiene una continuación analítica como función meromorfa para todos los números complejos, y Seeley (1967) extendió esto a pseudo elípticas. -operadores diferenciales A en colectores riemannianos compactos. Entonces, para tales operadores se puede definir el determinante utilizando la regularización de la función zeta. Ver " torsión analítica ".

Hawking (1977) sugirió utilizar esta idea para evaluar integrales de trayectoria en espacios-tiempo curvos. Estudió la regularización de la función zeta para calcular las funciones de partición del gravitón térmico y los cuantos de materia en un fondo curvo, como en el horizonte de los agujeros negros y en el fondo de De Sitter, utilizando la relación mediante la transformación inversa de Mellin con la traza del núcleo de calor. ecuaciones .

Ejemplo

El primer ejemplo en el que está disponible la regularización de la función zeta aparece en el efecto Casimir, que se encuentra en un espacio plano con las contribuciones masivas del campo cuántico en tres dimensiones espaciales. En este caso debemos calcular el valor de la función zeta de Riemann en –3, que diverge explícitamente. Sin embargo, se puede continuar analíticamente hasta s = –3 donde, con suerte, no hay polo, dando así un valor finito a la expresión. Un ejemplo detallado de esta regularización en funcionamiento se da en el artículo sobre el ejemplo detallado del efecto Casimir , donde la suma resultante es muy explícitamente la función zeta de Riemann (y donde la continuación analítica aparentemente de prestidigitación elimina un infinito aditivo, dejando un físico número finito significativo).

Un ejemplo de regularización de la función zeta es el cálculo del valor esperado de vacío de la energía de un campo de partículas en la teoría cuántica de campos . De manera más general, el enfoque de la función zeta se puede utilizar para regularizar todo el tensor de energía-momento tanto en el espacio-tiempo plano como en el curvo. ^{[1] [2] [3]}

El valor no regulado de la energía viene dado por la suma de la energía del punto cero de todos los modos de excitación del vacío:

${\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}}$

Aquí, está el componente cero del tensor de energía-momento y se entiende que la suma (que puede ser una integral) se extiende a todos los modos de energía (positivos y negativos) ; el valor absoluto nos recuerda que la energía se considera positiva. Esta suma, tal como está escrita, suele ser infinita ( normalmente es lineal en n). La suma podrá regularizarse escribiéndola como ${\displaystyle T_{00}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s}}$

donde s es algún parámetro, considerado un número complejo . Para s reales grandes mayores que 4 (para un espacio tridimensional), la suma es manifiestamente finita y, por lo tanto, a menudo puede evaluarse teóricamente.

La regularización zeta es útil ya que a menudo se puede utilizar de manera que se conserven las diversas simetrías del sistema físico. La regularización de la función Zeta se utiliza en la teoría de campos conforme , la renormalización y para fijar la dimensión crítica del espacio-tiempo de la teoría de cuerdas .

Relación con otras regularizaciones

La regularización de la función Zeta es equivalente a la regularización dimensional , consulte ^[4] . Sin embargo, la principal ventaja de la regularización zeta es que se puede utilizar siempre que falle la regularización dimensional, por ejemplo si hay matrices o tensores dentro de los cálculos. ${\displaystyle \epsilon _{i,j,k}}$

Relación con la serie de Dirichlet

La regularización de la función zeta proporciona una estructura analítica a cualquier suma sobre una función aritmética f ( n ). Estas sumas se conocen como series de Dirichlet . La forma regularizada

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

convierte divergencias de la suma en polos simples en el plano s complejo . En cálculos numéricos, la regularización de la función zeta es inapropiada, ya que su convergencia es extremadamente lenta. Para propósitos numéricos, una suma que converge más rápidamente es la regularización exponencial, dada por

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.}$

A esto a veces se le llama transformada Z de f , donde z  = exp(−t ) . La estructura analítica de las regularizaciones exponencial y zeta está relacionada. Desarrollando la suma exponencial como una serie de Laurent

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots }$

se encuentra que la serie zeta tiene la estructura

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{s-N}}+\cdots .}$

La estructura de los reguladores exponencial y zeta se relaciona mediante la transformada de Mellin . Uno se puede convertir en el otro haciendo uso de la representación integral de la función Gamma :

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt}$

que conduce a la identidad

${\displaystyle \Gamma (s){\tilde {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}F(t)\,dt}$

relacionar los reguladores exponencial y zeta, y convertir polos en el plano s en términos divergentes en la serie de Laurent.

Regularización del núcleo de calor.

La suma

${\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}}$

a veces se le llama núcleo de calor o suma regularizada de núcleo de calor ; Este nombre surge de la idea de que a veces pueden entenderse como valores propios del núcleo de calor . En matemáticas, tal suma se conoce como serie de Dirichlet generalizada ; su uso para promediar se conoce como media abeliana . Está estrechamente relacionado con la transformada de Laplace-Stieltjes , en que ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)}$

donde es una función escalonada , con pasos de at . Existen varios teoremas para la convergencia de dicha serie. Por ejemplo, según el teorema de Hardy-Littlewood Tauberiano, si ^[5] ${\displaystyle \alpha (t)}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle t=|\omega _{n}|}$

${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n}|}}}$

entonces la serie para converge en el semiplano y es uniformemente convergente en cada subconjunto compacto del semiplano . En casi todas las aplicaciones a la física, uno tiene ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>L}$ ${\displaystyle \Re (s)>L}$ ${\displaystyle L=0}$

Historia

Gran parte de los primeros trabajos que establecieron la convergencia y equivalencia de series regularizadas con los métodos de regularización de la función zeta y kernel de calor fueron realizados por GH Hardy y JE Littlewood en 1916 ^[6] y se basan en la aplicación de la integral de Cahen-Mellin . El esfuerzo se hizo para obtener valores para varias sumas condicionalmente convergentes y mal definidas que aparecen en la teoría de números .

En términos de aplicación como regulador en problemas físicos, antes de Hawking (1977), J. Stuart Dowker y Raymond Critchley propusieron en 1976 un método de regularización de la función zeta para problemas físicos cuánticos. ^[7] Emilio Elizalde y otros también han propuesto un método basado en la regularización zeta para las integrales , aquí hay un regulador y la integral divergente depende de los números en el límite ver renormalización . Además, a diferencia de otras regularizaciones, como la regularización dimensional y la regularización analítica, la regularización zeta no tiene contratérminos y solo proporciona resultados finitos. ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{m-s}dx}$ ${\displaystyle x^{-s}}$ ${\displaystyle \zeta (s-m)}$ ${\displaystyle s\to 0}$

Ver también

• Función generadora  – Serie de potencias formales; Los coeficientes codifican información sobre una secuencia indexada por números naturales.
• Fórmula de Perron  - Fórmula para calcular la suma de una función aritmética en teoría analítica de números
• Renormalización  : método en física utilizado para tratar con infinitos
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯  – Serie divergente
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯  – Serie divergente
• Torsión analítica  : invariante topológico de variedades que pueden distinguir variedades equivalentes a homotopía
• Suma de Ramanujan  : técnicas matemáticas para sumar series infinitas divergentes
• Función Minakshisundaram-Pleijel zeta
• Función Zeta (operador)

Referencias

• ^ Tom M. Apostol, "Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números", "Springer-Verlag New York. (Ver Capítulo 8)"
• ^ A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti y S. Zerbini, "Aspectos analíticos de los campos cuánticos", World Scientific Publishing, 2003, ISBN  981-238-364-6
• ^ GH Hardy y JE Littlewood, "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de números primos", Acta Mathematica , 41 (1916) págs. (Ver, por ejemplo, el teorema 2.12)
• Hawking, SW (1977), "Regularización de la función Zeta de integrales de trayectoria en el espacio-tiempo curvo", Communications in Mathematical Physics , 55 (2): 133–148, Bibcode :1977CMaPh..55..133H, doi :10.1007/BF01626516, ISSN  0010-3616, SEÑOR  0524257, S2CID  121650064
• ^ V. Moretti, "Enfoque directo de la función z y renormalización del tensor de tensión de un bucle en espacios-tiempo curvos , Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).
• Minakshisundaram, S.; Pleijel, Å. (1949), "Algunas propiedades de las funciones propias del operador de Laplace en variedades de Riemann", Canadian Journal of Mathematics , 1 (3): 242–256, doi : 10.4153/CJM-1949-021-5 , ISSN  0008-414X , SEÑOR  0031145
• Rayo, DB; Singer, IM (1971), " R -torsión y el laplaciano en variedades de Riemann", Avances en Matemáticas , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4 , SEÑOR  0295381
• "Método de la función Zeta para la regularización", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Seeley, RT (1967), "Complex powers of an elliptic operator", en Calderón, Alberto P. (ed.), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Actas de simposios en Matemática pura, vol. 10, Providencia, Rhode Island: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 288–307, ISBN 978-0-8218-1410-9, señor  0237943
• ^ Dowker, JS; Critchley, R. (1976), "Lagrangiano efectivo y tensor de momento-energía en el espacio de Sitter", Physical Review D , 13 (12): 3224–3232, Bibcode :1976PhRvD..13.3224D, doi :10.1103/PhysRevD.13.3224
• ^ D. Fermi, L. Pizzocchero, "Regularización zeta local y efecto Casimir escalar. Un enfoque general basado en núcleos integrales", World Scientific Publishing, ISBN 978-981-3224-99-5 (tapa dura), ISBN 978-981 -3225-01-5 (libro electrónico). doi : 10.1142/10570 (2017).