Superelipse

Familia de curvas matemáticas cerradas

Ejemplos de superelipses para ${\displaystyle a=1,\ b=0.75}$

Una superelipse , también conocida como curva de Lamé en honor a Gabriel Lamé , es una curva cerrada que se asemeja a una elipse y conserva las características geométricas del semieje mayor y el semieje menor , y la simetría entre ellos, pero definida por una ecuación que permite varias formas entre un rectángulo y una elipse.

En el sistema de coordenadas cartesianas bidimensionales , una superelipse se define como el conjunto de todos los puntos de la curva que satisfacen la ecuación donde y son números positivos denominados semidiámetros o semiejes de la superelipse, y es un parámetro positivo que define la forma. Cuando , la superelipse es una elipse ordinaria. Para , la forma es más rectangular con esquinas redondeadas, y para , es más puntiaguda. ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle 0<n<2}$

En el sistema de coordenadas polares , la ecuación de la superelipse es (el conjunto de todos los puntos de la curva satisfacen la ecuación): ${\displaystyle (r,\theta )}$ $${\displaystyle r=\left(\left|{\frac {\cos(\theta )}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin(\theta )}{b}}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!.}$$

Casos específicos

Esta fórmula define una curva cerrada contenida en el rectángulo − a ≤ x ≤ + a y − b ≤ y ≤ + b . Los parámetros y son los semidiámetros o semiejes de la curva. La forma general de la curva está determinada por el valor del exponente , como se muestra en la siguiente tabla: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$

Si , la figura también se llama hipoelipse ; si , hiperelipse . Cuando y , la superelipse es el límite de una bola de en la -norma . Los puntos extremos de la superelipse son ( ) y ( ), y sus cuatro "esquinas" son ( , ), donde (a veces llamada la "superelipse" ^[4] ). ${\displaystyle n<2}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pm a,0}$ ${\displaystyle 0,\pm b}$ ${\displaystyle \pm s_{a}}$ ${\displaystyle \pm s_{b}}$ ${\displaystyle s=2^{-1/n}}$

Propiedades matemáticas

Cuando n es un número racional positivo (en términos mínimos), entonces cada cuadrante de la superelipse es una curva algebraica plana de orden . ^[5] En particular, cuando y n es un entero par, entonces es una curva de Fermat de grado n . En ese caso no es singular, pero en general será singular . Si el numerador no es par, entonces la curva se construye a partir de porciones de la misma curva algebraica en diferentes orientaciones. ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle a=b=1}$

La curva está dada por las ecuaciones paramétricas (donde el parámetro no tiene interpretación geométrica elemental) donde cada una puede elegirse por separado de modo que cada valor de dé cuatro puntos en la curva. De manera equivalente, dejando un rango sobre donde la función de signo es Aquí no es el ángulo entre el eje horizontal positivo y el rayo desde el origen hasta el punto, ya que la tangente de este ángulo es igual a mientras que en las expresiones paramétricas ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}$$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0\leq t<2\pi ,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={\left|\cos t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={\left|\sin t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y/x}$ ${\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}(\tan t)^{2/n}\neq \tan t.}$

Área

El área dentro de la superelipse se puede expresar en términos de la función gamma como o en términos de la función beta como $${\displaystyle \mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}},}$$

${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {4ab}{n}}\mathrm {B} \!\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+1\right).}$^[6]

Perímetro

El perímetro de una superelipse, al igual que el de una elipse , no admite una solución en forma cerrada utilizando únicamente funciones elementales . Existen soluciones exactas para el perímetro de una superelipse utilizando sumas infinitas ; ^[7] estas podrían truncarse para obtener soluciones aproximadas. La integración numérica es otra opción para obtener estimaciones del perímetro con precisión arbitraria.

Una aproximación de forma cerrada obtenida a través de regresión simbólica también es una opción que equilibra la parsimonia y la precisión. Considere una superelipse centrada en el origen de un plano 2D. Ahora, imagine que la superelipse (con parámetro de forma ) se estira de manera tal que el primer cuadrante (por ejemplo, , ) es un arco de a , con . Luego, la longitud del arco de la superelipse dentro de ese único cuadrante se aproxima como la siguiente función de y : ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (0,h)}$ ${\displaystyle h\geq 1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$

h + (((((n-0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ exp(n / -0.90069205)) + h) + 0.09919785) ^ (-1.4812293 / n)

Esta aproximación de longitud de arco de un solo cuadrante tiene una precisión de ±0,2 % para todos los valores de y se puede utilizar para estimar de manera eficiente el perímetro total de una superelipse. ${\displaystyle n}$

Curva del pedal

La curva del pedal es relativamente sencilla de calcular. En concreto, la curva del pedal se expresa en coordenadas polares mediante ^[9]. $${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$$ $${\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}$$

Generalizaciones

La generalización de estas formas puede implicar varios enfoques. Las generalizaciones de la superelipse en dimensiones superiores conservan la estructura matemática fundamental de la superelipse y la adaptan a diferentes contextos y aplicaciones.

Dimensiones superiores

Las generalizaciones de la superelipse en dimensiones superiores conservan la estructura matemática fundamental de la superelipse al tiempo que la adaptan a diferentes contextos y aplicaciones. ^[10]

• Un superelipsoide extiende la superelipse en tres dimensiones, creando formas que varían entre elipsoides y sólidos rectangulares con bordes redondeados. El superelipsoide se define como el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación: donde y son números positivos denominados semiejes del superelipsoide, y es un parámetro positivo que define la forma. ^[6] ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{n}\!=1,}$$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$
• Un hiperelipsoide es el análogo en dimensión de un elipsoide (y por extensión, un superelipsoide). Se define como el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación: donde son números positivos denominados semiejes del hiperelipsoide, y es un parámetro positivo que define la forma. ^[11] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})}$ $${\displaystyle \left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{n}\!+\ldots +\left|{\frac {x_{d}}{a_{d}}}\right|^{n}\!=1,}$$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{d}}$ ${\displaystyle n}$

Diferentes exponentes

Variaciones de una superelipse con diferentes exponentes

Utilizando diferentes exponentes para cada término de la ecuación, lo que permite mayor flexibilidad en la formación de formas. ^[12]

Para el caso bidimensional, la ecuación es donde es igual o diferente de . Si , se trata de la superelipse de Lamé. Si , la curva posee mayor flexibilidad de comportamiento y es posible que se ajuste mejor para describir cierta información experimental. ^[11] ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1;m,n>0,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle m\neq n}$

Centro Nacional de las Artes Escénicas

Para el caso tridimensional, se pueden utilizar tres potencias positivas diferentes , y en la ecuación . Si , se obtiene un superelipsoide. Si dos o las tres potencias difieren entre sí, se obtiene un sólido que puede poseer más flexibilidad para representar datos estructurales reales que el superelipsoide. Un superelipsoide tridimensional con , y los semidiámetros , representa la estructura del Centro Nacional de Artes Escénicas de China. ^[11] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{p}\!=1}$ ${\displaystyle m=n=p}$ ${\displaystyle m=n=2.2}$ ${\displaystyle p=2.4}$ ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle c=0.5}$

En el caso general de dimensión 1, la ecuación es , donde En general, pueden diferir entre sí. Es el superelipsoide solo si . ^[11] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{N_{1}}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{N_{2}}\!+\ldots +\left|{\frac {x_{N}}{a_{N}}}\right|^{N_{N}}\!=1}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}$ ${\displaystyle n_{1}=n_{2}=\ldots =n_{N}=n}$

Formas relacionadas

Las supercuadrículas son una familia de formas que incluyen a los superelipsoides como un caso especial. Se utilizan en gráficos de computadora y modelado geométrico para crear formas complejas y suaves con parámetros fácilmente ajustables. ^[13] Si bien no son una generalización directa de las superelipses, las hiperesferas también comparten el concepto de extender las formas geométricas a dimensiones superiores. Estas formas relacionadas demuestran la versatilidad y la amplia aplicabilidad de los principios fundamentales que subyacen a las superelipses.

Escala anisotrópica

El escalado anisotrópico implica escalar la forma de manera diferente a lo largo de diferentes ejes, lo que proporciona un control adicional sobre la geometría. Este enfoque se puede aplicar a superelipses, superelipsoides y sus análogos de dimensiones superiores para producir una variedad más amplia de formas y adaptarse mejor a requisitos específicos en aplicaciones como gráficos de computadora, diseño estructural y visualización de datos. Por ejemplo, el escalado anisotrópico permite la creación de formas que pueden modelar objetos del mundo real con mayor precisión al ajustar las proporciones a lo largo de cada eje de forma independiente. ^[14]

Historia

La notación cartesiana general de la forma proviene del matemático francés Gabriel Lamé (1795-1870), quien generalizó la ecuación para la elipse.

Los contornos externos de las letras 'o' y 'O' en la tipografía Melior de Zapf se describen mediante superelipses con n = log(1/2) / log (7/9) ≈ 2,758

La tipografía Melior de Hermann Zapf , publicada en 1952, utiliza superelipses para letras como la o . Treinta años después, Donald Knuth incorporaría la capacidad de elegir entre elipses verdaderas y superelipses (ambas aproximadas mediante splines cúbicos ) en su familia tipográfica Computer Modern .

La fuente central de Sergels Torg está delimitada por una superelipse con n = 2,5 y a / b = 6/5.

La superelipse fue bautizada así por el poeta y científico danés Piet Hein (1905-1996), aunque no fue él quien la descubrió, como se afirma a veces. En 1959, los urbanistas de Estocolmo ( Suecia) anunciaron un concurso de diseño para una rotonda en la plaza de la ciudad, Sergels Torg . La propuesta ganadora de Piet Hein se basaba en una superelipse con n = 2,5 y a / b = 6/5. ^[15] Como él mismo lo explicó:

El hombre es el animal que dibuja líneas con las que luego tropieza. En toda la estructura de la civilización ha habido dos tendencias: una hacia las líneas rectas y los patrones rectangulares y otra hacia las líneas circulares. Hay razones, mecánicas y psicológicas, para ambas tendencias. Las cosas hechas con líneas rectas encajan bien entre sí y ahorran espacio. Y podemos movernos fácilmente, física o mentalmente, alrededor de cosas hechas con líneas redondas. Pero estamos en una camisa de fuerza, teniendo que aceptar una u otra, cuando a menudo sería mejor una forma intermedia. Dibujar algo a mano alzada, como la rotonda de parches que intentaron hacer en Estocolmo, no sirve. No es fijo, no es definido como un círculo o un cuadrado. No sabes lo que es. No es estéticamente satisfactorio. La superelipse resolvió el problema. No es ni redonda ni rectangular, sino algo intermedio. Sin embargo, es fija, es definida, tiene una unidad.

La Plaza de Sergel se completó en 1967. Mientras tanto, Piet Hein continuó utilizando la superelipse en otros artefactos, como camas, platos, mesas, etc. ^[16] Al girar una superelipse alrededor del eje más largo, creó el superhuevo , una forma sólida similar a un huevo que podía mantenerse en posición vertical sobre una superficie plana y se comercializó como un juguete novedoso .

En 1968, cuando los negociadores en París para la Guerra de Vietnam no pudieron ponerse de acuerdo sobre la forma de la mesa de negociaciones, Balinski, Kieron Underwood y Holt sugirieron una mesa superelíptica en una carta al New York Times . ^[15] La superelipse se utilizó para la forma del Estadio Olímpico Azteca de 1968 , en la Ciudad de México .

El segundo piso del World Trade Center original de la ciudad de Nueva York consistía en un gran balcón saliente con forma de superelipse.

Waldo R. Tobler desarrolló una proyección cartográfica , la proyección hiperelíptica de Tobler , publicada en 1973, ^[17] en la que los meridianos son arcos de superelipses.

El logotipo de la empresa de noticias The Local consiste en una superelipse inclinada que coincide con las proporciones de Sergels Torg. En el logotipo de los Pittsburgh Steelers se utilizan tres superelipses conectadas .

En informática, el sistema operativo móvil iOS utiliza una curva superelipse para los íconos de las aplicaciones, reemplazando el estilo de esquinas redondeadas utilizado hasta la versión 6. ^[18]

Véase también

• La astroide , la superelipse con n  =  2 ⁄ 3 y a  =  b , es una hipocicloide con cuatro cúspides.
  • Curva deltoidea , hipocicloide de tres cúspides.
• Squircle , la superelipse con n  = 4 y a  =  b , se parece a "La rueda de cuatro esquinas".
  • Triángulo de Reuleaux , "La rueda de tres esquinas".
• Superfórmula , una generalización de la superelipse.
• Supercuadrículas : superelipsoides y supertoroides , los "parientes" tridimensionales de las superelipses.
• Curva superelíptica , ecuación de la forma Y ⁿ = f ( X ).
• Espacios L ^p

Referencias

1. Shi, Pei-Jian; Huang, Jian-Guo; Hui, Cang; Grissino-Mayer, Henri D.; Tardif, Jacques C.; Zhai, Li-Hong; Wang, Fu-Sheng; Li, Bai-Lian (15 de octubre de 2015). "Captura del crecimiento radial espiral de coníferas utilizando la superelipse para modelar la forma geométrica de los anillos de los árboles". Frontiers in Plant Science . 6 : 856. doi : 10.3389/fpls.2015.00856 . ISSN  1664-462X. PMC  4606055 . PMID  26528316.
2. Barr (1981). "Supercuadrículas y transformaciones que preservan el ángulo". IEEE Computer Graphics and Applications . 1 (1): 11–23. doi :10.1109/MCG.1981.1673799. ISSN  1558-1756. S2CID  9389947.
3. Liu, Weixiao; Wu, Yuwei; Ruan, Sipu; Chirikjian, Gregory S. (2022). "Recuperación supercuadrática robusta y precisa: un enfoque probabilístico". Conferencia IEEE/CVF de 2022 sobre visión artificial y reconocimiento de patrones (CVPR) . págs. 2666–2675. arXiv : 2111.14517 . doi :10.1109/CVPR52688.2022.00270. ISBN . 978-1-6654-6946-3.S2CID244715106  .​
4. Donald Knuth: El libro METAFONT , pág. 126
5. "Astroid" (PDF) . Código Xah . Consultado el 14 de marzo de 2023 .
6. "Elipsoides en dimensiones superiores". analyticphysics.com . Consultado el 19 de junio de 2024 .
7. "Superelipse (curva de Lame)" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2022 . Consultado el 9 de noviembre de 2023 .
8. Sharpe, Peter. «AeroSandbox». GitHub . Consultado el 9 de noviembre de 2023 .
9. J. Edwards (1892). Cálculo diferencial. Londres: MacMillan and Co., págs. 164.
10. Boult, Terrance E.; Gross, Ari D. (19 de febrero de 1988). "Recuperación de supercuadrículas a partir de información 3-D". En Casasent, David P.; Hall, Ernest L. (eds.). Robots inteligentes y visión artificial VI . Actas del SPIE. Vol. 0848. SPIE. p. 358. Bibcode :1988SPIE..848..358B. doi :10.1117/12.942759.
11. Ni, BY; Elishakoff, I.; Jiang, C.; Fu, CM; Han, X. (1 de noviembre de 2016). "Generalización del concepto de superelipsoide y su aplicación en mecánica". Modelado matemático aplicado . 40 (21): 9427–9444. doi :10.1016/j.apm.2016.06.011. ISSN  0307-904X.
12. Cheng, Xinyu; Li, Chengbo; Peng, Yixue; Zhao, Chuang (17 de abril de 2021). "Simulación de elementos discretos de sistemas de superelipse". Materia granular . 23 (2): 50. doi :10.1007/s10035-021-01107-4. ISSN  1434-7636.
13. "SuperQuadrics - Aplicaciones". www.cs.mcgill.ca . Consultado el 18 de junio de 2024 .
14. Land, Richard; Foley, James D.; Dam, Andries Van (1984). "Fundamentos de gráficos interactivos por computadora". Leonardo . 17 (1): 59. doi :10.2307/1574879. ISSN  0024-094X. JSTOR  1574879.
15. Gardner, Martin (1977), "La superelipse de Piet Hein" , Carnaval matemático. Un nuevo resumen de tentadores y acertijos de Scientific American , Nueva York: Vintage Press , pp. 240–254, ISBN 978-0-394-72349-5
16. La superelipse, en La guía de la vida, el universo y todo de la BBC (27 de junio de 2003)
17. Tobler, Waldo (1973), "Las proyecciones de mapas de áreas iguales hiperelípticas y otras nuevas pseudocilíndricas", Journal of Geophysical Research , 78 (11): 1753–1759, Bibcode :1973JGR....78.1753T, CiteSeerX 10.1.1.495.6424 , doi :10.1029/JB078i011p01753. 
18. Mynttinen, Ivo. "Las pautas de diseño de iOS".

Enlaces externos

• Sokolov, DD (2001) [1994], "Curva de Lamé", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Curva de Lamé" en MathCurve.
• Weisstein, Eric W. "Superelipse". MathWorld .
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Curvas lame", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
• "Super Elipse" en 2dcurves.com
• Calculadora de superelipse y generador de plantillas
• Caja de herramientas de ajuste de superelipse en MATLAB
• Código C para ajustar superelipses