Supercuadrículas

Familia de formas geométricas

Algunas supercuadráticas.

En matemáticas , las supercuadráticas o super-cuadráticas (también supercuadráticas ) son una familia de formas geométricas definidas por fórmulas que se parecen a las de los elipsoides y otras cuádricas , excepto que las operaciones de elevación al cuadrado se reemplazan por potencias arbitrarias. Pueden verse como los parientes tridimensionales de las superelipses . El término puede referirse al objeto sólido o a su superficie , dependiendo del contexto. Las ecuaciones siguientes especifican la superficie; el sólido se especifica reemplazando los signos de igualdad por signos de menor o igual.

Las supercuadráticas incluyen muchas formas que se asemejan a cubos , octaedros , cilindros , rombos y husos , con esquinas redondeadas o agudas. ^[1] Debido a su flexibilidad y relativa simplicidad, son herramientas populares de modelado geométrico , especialmente en gráficos por computadora . Se convierte en una primitiva geométrica importante ampliamente utilizada en visión por computadora, ^{[2] [3]} robótica, ^[4] y simulación física. ^[5]

Algunos autores, como Alan Barr, definen "supercuadrículas" como la inclusión tanto de las superelipsoides como de los supertoroides . ^{[1] [6]} En la literatura moderna sobre visión por computadora, las superelipsoides y las supercuadrículas se utilizan indistintamente, ya que las superelipsoides son la forma más representativa y ampliamente utilizada entre todas las supercuadrículas. ^{[2] [3]} En varias publicaciones sobre visión por computadora se cubre de manera integral las propiedades geométricas de las supercuadrículas y los métodos para su recuperación a partir de imágenes de rango y nubes de puntos . ^{[1] [3] [7] [8]}

Fórmulas

Ecuación implícita

La superficie de la supercuadrícula básica está dada por

${\displaystyle \left|x\right|^{r}+\left|y\right|^{s}+\left|z\right|^{t}=1}$

donde r , s y t son números reales positivos que determinan las características principales de la supercuadrática. A saber:

• menos de 1: un octaedro puntiagudo modificado para tener caras cóncavas y bordes afilados .
• exactamente 1: un octaedro regular .
• entre 1 y 2: un octaedro modificado para tener caras convexas, aristas romas y esquinas romas.
• exactamente 2: una esfera
• mayor que 2: un cubo modificado para tener bordes y esquinas redondeadas.
• infinito (en el límite ): un cubo

Cada exponente puede variarse independientemente para obtener formas combinadas. Por ejemplo, si r = s = 2 y t = 4, se obtiene un sólido de revolución que se asemeja a un elipsoide con sección transversal redonda pero extremos aplanados. Esta fórmula es un caso especial de la fórmula del superelipsoide si (y solo si) r  =  s .

Si se permite que cualquier exponente sea negativo, la forma se extiende hasta el infinito. Estas formas a veces se denominan superhiperboloides .

La forma básica anterior abarca de -1 a +1 a lo largo de cada eje de coordenadas. La supercuadrícula general es el resultado de escalar esta forma básica en diferentes cantidades A , B , C a lo largo de cada eje. Su ecuación general es

${\displaystyle \left|{\frac {x}{A}}\right|^{r}+\left|{\frac {y}{B}}\right|^{s}+\left|{\frac {z}{C}}\right|^{t}=1.}$

Descripción paramétrica

Las ecuaciones paramétricas en términos de los parámetros de superficie u y v (equivalentes a longitud y latitud si m es igual a 2) son

${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&{}=Ag\left(v,{\frac {2}{r}}\right)g\left(u,{\frac {2}{r}}\right)\\y(u,v)&{}=Bg\left(v,{\frac {2}{s}}\right)f\left(u,{\frac {2}{s}}\right)\\z(u,v)&{}=Cf\left(v,{\frac {2}{t}}\right)\\&-{\frac {\pi }{2}}\leq v\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{aligned}}}$

donde están las funciones auxiliares

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\sin \omega )\left|\sin \omega \right|^{m}\\g(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\cos \omega )\left|\cos \omega \right|^{m}\end{aligned}}}$

y la función de signo sgn( x ) es

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\+1,&x>0.\end{cases}}}$

Producto esférico

Barr introduce el producto esférico que, dadas dos curvas planas, produce una superficie 3D. Si son dos curvas planas, entonces el producto esférico es Esto es similar a la ecuación paramétrica típica de una esfera : que da lugar al nombre de producto esférico. $${\displaystyle f(\mu )={\begin{pmatrix}f_{1}(\mu )\\f_{2}(\mu )\end{pmatrix}},\quad g(\nu )={\begin{pmatrix}g_{1}(\nu )\\g_{2}(\nu )\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle h(\mu ,\nu )=f(\mu )\otimes g(\nu )={\begin{pmatrix}g_{1}(\nu )\ f_{1}(\mu )\\g_{1}(\nu )\ f_{2}(\mu )\\g_{2}(\nu )\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \end{aligned}}}$$

Barr utiliza el producto esférico para definir superficies cuadráticas, como elipsoides e hiperboloides , así como toros , superelipsoides , hiperboloides supercuadráticos de una y dos láminas y supertoroides. ^[1]

Código de trazado

El siguiente código GNU Octave genera una aproximación de malla de una supercuadrática:

función supercuadrática ( épsilon,a ) n = 50 ; etamax = pi / 2 ; etamin = - pi / 2 ; wmax = pi ; wmin = - pi ; deta = ( etamax - etamin ) / n ; dw = ( wmax - wmin ) / n ; [ i , j ] = meshgrid ( 1 : n + 1 , 1 : n + 1 ) eta = etamin + ( i - 1 ) * deta ; w = wmin + ( j - 1 ) * dw ; x = a ( 1 ) .* signo ( cos ( eta )) .* abs ( cos ( eta )) .^ épsilon ( 1 ) .* signo ( cos ( w )) .* abs ( cos ( w )) .^ épsilon ( 1 ); y = a ( 2 ) .* signo ( cos ( eta )) .* abs ( cos ( eta )) .^ épsilon ( 2 ) .* signo ( sen ( w )) .* abs ( sen ( w )) .^ épsilon ( 2 ); z = a ( 3 ) .* signo ( sen ( eta )) .* abs ( sen                                                                    ( eta )) .^ épsilon ( 3 ); malla ( x , y , z ); fin

Véase también

• Súper huevo
• Superelipsoide
• Elipsoide

Referencias

1. Barr (1 de enero de 1981). "Supercuadrículas y transformaciones que preservan el ángulo". IEEE Computer Graphics and Applications . 1 (1): 11–23. doi :10.1109/MCG.1981.1673799. ISSN  0272-1716. S2CID  9389947.
2. Paschalidou, Despoina; Ulusoy, Ali Osman; Geiger, Andreas (2019). "Superquadrics Revisited: Learning 3D Shape Parsing Beyond Cuboids". Conferencia IEEE/CVF de 2019 sobre visión artificial y reconocimiento de patrones (CVPR) . págs. 10336–10345. arXiv : 1904.09970 . doi :10.1109/CVPR.2019.01059. ISBN . 978-1-7281-3293-8.S2CID128265641  .​
3. Liu, Weixiao; Wu, Yuwei; Ruan, Sipu; Chirikjian, Gregory S. (2022). "Recuperación supercuadrática robusta y precisa: un enfoque probabilístico". Conferencia IEEE/CVF de 2022 sobre visión artificial y reconocimiento de patrones (CVPR) . págs. 2666–2675. arXiv : 2111.14517 . doi :10.1109/CVPR52688.2022.00270. ISBN . 978-1-6654-6946-3.S2CID244715106  .​
4. Ruan, Sipu; Wang, Xiaoli; Chirikjian, Gregory S. (2022). "Detección de colisiones para uniones de cuerpos convexos con límites suaves utilizando parametrización de espacio de contacto de forma cerrada". IEEE Robotics and Automation Letters . 7 (4): 9485–9492. doi : 10.1109/LRA.2022.3190629 . ISSN  2377-3766. S2CID  250543506.
5. Lu, G.; Third, JR; Müller, CR (20 de agosto de 2012). "Evaluación crítica de dos enfoques para evaluar los contactos entre partículas con forma supercuadrática en simulaciones DEM". Chemical Engineering Science . 78 : 226–235. Bibcode :2012ChEnS..78..226L. doi :10.1016/j.ces.2012.05.041. ISSN  0009-2509.
6. Alan H. Barr (1992), Supercuadrículas rígidas basadas en la física . Capítulo III.8 de Graphics Gems III , editado por D. Kirk, págs. 137-159
7. Aleš Jaklič, Aleš Leonardis, Franc Solina (2000) Segmentación y recuperación de supercuadrículas . Kluwer Academic Publishers, Dordrecht
8. Wu, Yuwei; Liu, Weixiao; Ruan, Sipu; Chirikjian, Gregory S. (2022). "Abstracción de formas basada en primitivas mediante inferencia bayesiana no paramétrica". En Avidan, Shai; Brostow, Gabriel; Cissé, Moustapha; Farinella, Giovanni Maria; Hassner, Tal (eds.). Visión artificial – ECCV 2022 . Apuntes de clase en informática. Vol. 13687. Cham: Springer Nature Switzerland. págs. 479–495. arXiv : 2203.14714 . doi :10.1007/978-3-031-19812-0_28. ISBN 978-3-031-19812-0.

Enlaces externos

• Bibliografía: Representaciones supercuadráticas
• Glifos tensoriales supercuadráticos
• Elipsoides y toroides supercuadráticos, iluminación y temporización OpenGL
• Supercuadrículas de Robert Kragler, The Wolfram Demonstrations Project .
• Supercuadrículas en Python
• Algoritmo de recuperación de supercuadrículas en Python y MATLAB