Supertoroide

En geometría y gráficos por computadora , un supertoroide o supertoro suele ser una familia de superficies con forma de rosquilla (técnicamente, un toro topológico ) cuya forma está definida por fórmulas matemáticas similares a las que definen los superelipsoides . El plural de "supertoro" es supertori o supertoruses .

La familia fue descrita y nombrada por Alan Barr en 1994. ^[1]

Los supertoroides de Barr han sido bastante populares en gráficos por computadora como un modelo conveniente para muchos objetos, como marcos suaves para cosas rectangulares. Un cuarto de un supertoroide puede proporcionar una unión suave y sin costuras de 90 grados entre dos cilindros supercuadráticos . Sin embargo, no son superficies algebraicas (excepto en casos especiales).

Fórmulas

Los supertoroides de Alan Barr se definen mediante ecuaciones paramétricas similares a las ecuaciones trigonométricas del toro, excepto que los términos seno y coseno se elevan a potencias arbitrarias . Es decir, el punto genérico $P (u, v)$ de la superficie está dado por donde $sgn$ es la función de signo , y los parámetros $u, v$ varían de 0 a 360 grados (0 a 2 π radianes ). $P(u,v)=\left({\begin{array}{c}X(u,v)\\Y(u,v)\\Z(u,v)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}(a+C_{u}^{s})C_{v}^{t}\\(b+C_{u}^{s})S_{v}^{t}\\S_{u}^{s}\end{array}}\right)$ ${\begin{aligned}C_{\theta }^{\varepsilon }&=\operatorname {sgn} (\cos \theta )\,\left|\,\cos \theta \,\right|^{\varepsilon },\\S_{\theta }^{\varepsilon }&=\operatorname {sgn} (\sin \theta )\ \left|\,\sin \theta \ \right|^{\varepsilon },\end{aligned}}$

En estas fórmulas, el parámetro $s > 0$ controla la "rectitud" de las secciones verticales, $t > 0$ controla la rectanguloidad de las secciones horizontales, y $a, b \geq 1$ son los radios mayores en las direcciones $x$ e $y$ . Con $s = t = 1$ y $a = b = R$ se obtiene el toro ordinario con radio mayor $R$ y radio menor 1, con centro en el origen y simetría rotacional alrededor del eje $z$ .

En general, el supertoro definido como se ha indicado anteriormente abarca los intervalos : Toda la forma es simétrica respecto de los planos $x$ $= 0$ , $y$ $= 0$ y $z$ $= 0.$ El agujero corre en la dirección $z$ y abarca los intervalos . ${\begin{array}{rcccl}-(a+1)&\leq &x&\leq &+(a+1)\\[4pt]-(b+1)&\leq &y&\leq &+(b+1)\\[4pt]-1&\leq &z&\leq &+1\end{array}}$ ${\begin{array}{rcccl}-(a-1)&\leq &x&\leq &+(a-1)\\[4pt]-(b-1)&\leq &y&\leq &+(b-1)\\[4pt]-\infty &\leq &z&\leq &+\infty \end{array}}$

$Una curva de u$ constante sobre esta superficie es una curva de Lamé horizontal con exponente ⁠ ⁠ ${\tfrac {2}{t}},$ escalado en $x$ e $y$ y desplazado en $z . Una curva de$ $v$ constante , proyectada sobre el plano $x = 0$ o $y = 0$ , es una curva de Lamé con exponente ⁠ ⁠ ${\tfrac {2}{s}},$ escalado y desplazado horizontalmente. Si $v = 0$ , la curva es plana y abarca los intervalos: y de manera similar si $v$ $= 90°, 180°, 270°$ . La curva también es plana si $a$ $=$ $b$ . ${\begin{array}{rcccl}a-1&\leq &x&\leq &a+1\\[4pt]-1&\leq &z&\leq &+1\end{array}}$

En general, si $a \neq b$ y $v$ no es múltiplo de 90 grados, la curva de constante $v$ no será plana; y, a la inversa, una sección del plano vertical del supertoro no será una curva de Lamé.

La forma básica del supertoroide definida anteriormente a menudo se modifica mediante un escalamiento no uniforme para producir supertoroides de ancho, largo y espesor vertical específicos.

Código de trazado

El siguiente código GNU Octave genera gráficos de un supertoro:

 función supertoroide ( épsilon,a ) n = 50 ; d = .1 ; etamax = pi ; etamina = - pi ; wmáx = pi ; wmín = -pi ; deta =( etamax - etamin ) / n ; dw =( wmax - wmin ) / n ; k = 0 ; l = 0 ; para i = 1 : n + 1 eta ( i ) = etamin + ( i - 1 ) * deta ; para j = 1 : n + 1 w ( j ) = wmin + ( j - 1 ) * dw ; x ( i , j )= a ( 1 ) * ( a ( 4 ) + signo ( cos ( eta ( i ))) * abs ( cos ( eta ( i ))) ^ epsilon ( 1 )) * signo ( cos ( w ( j ))) * abs ( cos ( w ( j ))) ^ epsilon ( 2 ); y ( i , j )= a ( 2 ) * ( a ( 4 ) + signo ( cos ( eta ( i )) ) * abs ( cos ( eta ( i ))) ^ épsilon ( 1 ))                   * signo ( sin ( w ( j ))) * abs ( sin ( w ( j ))) ^ epsilon ( 2 ); z ( i , j )= a ( 3 ) * signo ( sin ( eta ( i ))) * abs ( sin ( eta ( i ))) ^ epsilon ( 1 ); finpara ; finpara ; malla ( x , y , z ); finfunción ;

Véase también

Referencias

^ Alan H. Barr (1981) Supercuadrículas y transformaciones que preservan ángulos . IEEE Computer Graphics and Applications, volumen 1, número 1, págs. 11-23.