Punto medio

Punto de un segmento de línea que es equidistante de ambos puntos finales

El punto medio del segmento ( x ₁ ,  y ₁ ) a ( x ₂ ,  y ₂ )

En geometría , el punto medio es el punto medio de un segmento de línea . Es equidistante de ambos puntos finales y es el baricentro tanto del segmento como de los puntos finales. Biseca el segmento.

Fórmula

El punto medio de un segmento en un espacio n -dimensional cuyos puntos finales son y está dado por ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

${\displaystyle {\frac {A+B}{2}}.}$

Es decir, la i- ^ésima coordenada del punto medio ( i = 1, 2, ..., n ) es

${\displaystyle {\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}.}$

Construcción

Dados dos puntos de interés, la búsqueda del punto medio del segmento de línea que determinan se puede lograr mediante una construcción con regla y compás . El punto medio de un segmento de línea, incrustado en un plano , se puede ubicar construyendo primero una lente utilizando arcos circulares de radios iguales (y lo suficientemente grandes) centrados en los dos puntos finales, luego conectando las cúspides de la lente (los dos puntos donde se cruzan los arcos). El punto donde la línea que conecta las cúspides interseca el segmento es entonces el punto medio del segmento. Es más desafiante ubicar el punto medio usando solo un compás, pero aún es posible de acuerdo con el teorema de Mohr-Mascheroni . ^[1]

Propiedades geométricas que involucran puntos medios

Círculo

• El punto medio de cualquier diámetro de un círculo es el centro del círculo.

• Cualquier línea perpendicular a cualquier cuerda de un círculo y que pase por su punto medio también pasa por el centro del círculo.

• El teorema de la mariposa establece que, si M es el punto medio de una cuerda PQ de un círculo , a través del cual se dibujan otras dos cuerdas AB y CD ; AD y BC intersecan la cuerda PQ en X e Y correspondientemente, entonces M es el punto medio de XY .

Elipse

• El punto medio de cualquier segmento que sea bisectriz del área o bisectriz del perímetro de una elipse es el centro de la elipse.

• El centro de la elipse es también el punto medio de un segmento que conecta los dos focos de la elipse.

Hipérbola

• El punto medio de un segmento que conecta los vértices de una hipérbola es el centro de la hipérbola.

Triángulo

• La mediatriz de un lado de un triángulo es la línea que es perpendicular a ese lado y pasa por su punto medio. Las tres mediatrices de los tres lados de un triángulo se cortan en el circuncentro (el centro del círculo que pasa por los tres vértices).

• La mediana de un lado de un triángulo pasa por el punto medio del lado y por el vértice opuesto del triángulo . Las tres medianas de un triángulo se cortan en el baricentro del triángulo (el punto en el que el triángulo se equilibraría si estuviera hecho de una lámina delgada de metal de densidad uniforme).

• El centro de nueve puntos de un triángulo se encuentra en el punto medio entre el circuncentro y el ortocentro . Todos estos puntos están en la línea de Euler .

• Un segmento medio (o línea media ) de un triángulo es un segmento de línea que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Es paralelo al tercer lado y tiene una longitud igual a la mitad de ese tercer lado.

• El triángulo medial de un triángulo dado tiene vértices en los puntos medios de los lados del triángulo dado, por lo tanto, sus lados son los tres segmentos medios del triángulo dado. Comparte el mismo baricentro y las mismas medianas con el triángulo dado. El perímetro del triángulo medial es igual al semiperímetro (la mitad del perímetro) del triángulo original, y su área es un cuarto del área del triángulo original. El ortocentro (intersección de las alturas ) del triángulo medial coincide con el circuncentro (centro del círculo que pasa por los vértices) del triángulo original.

• Todo triángulo tiene una elipse inscrita , llamada inelipse de Steiner , que es tangente internamente al triángulo en los puntos medios de todos sus lados. Esta elipse está centrada en el baricentro del triángulo y tiene la mayor área de todas las elipses inscritas en el triángulo.

• En un triángulo rectángulo , el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa .

• En un triángulo isósceles , la mediana, la altura y la bisectriz perpendicular del lado de la base y la bisectriz del ángulo del vértice coinciden con la línea de Euler y el eje de simetría , y estas líneas coincidentes pasan por el punto medio del lado de la base.

Cuadrilátero

• Las dos bimedianas de un cuadrilátero convexo son los segmentos de línea que unen los puntos medios de los lados opuestos, por lo que cada una de ellas biseca dos lados. Las dos bimedianas y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes en (se intersecan en) un punto llamado "centroide del vértice", que es el punto medio de los tres segmentos. ^{[2] : p.125}

• Las cuatro "alturas" de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado que pasan por el punto medio del lado opuesto, dividiendo por tanto este último lado. Si el cuadrilátero es cíclico (inscrito en un círculo), todas estas alturas se encuentran en un punto común llamado "anticentro".

• El teorema de Brahmagupta establece que si un cuadrilátero cíclico es ortodiagonal (es decir, tiene diagonales perpendiculares ), entonces la perpendicular a un lado desde el punto de intersección de las diagonales siempre pasa por el punto medio del lado opuesto.

• El teorema de Varignon establece que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario forman los vértices de un paralelogramo , y si el cuadrilátero no es autointersectante, entonces el área del paralelogramo es la mitad del área del cuadrilátero.

• La línea de Newton es la línea que une los puntos medios de las dos diagonales de un cuadrilátero convexo que no es un paralelogramo. Los segmentos de línea que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo se cortan en un punto que se encuentra sobre la línea de Newton.

Polígonos generales

• Un polígono regular tiene un círculo inscrito que es tangente a cada lado del polígono en su punto medio.

• En un polígono regular con un número par de lados, el punto medio de una diagonal entre vértices opuestos es el centro del polígono.

• El polígono de estiramiento de punto medio de un polígono cíclico P (un polígono cuyos vértices caen todos en el mismo círculo) es otro polígono cíclico inscrito en el mismo círculo, el polígono cuyos vértices son los puntos medios de los arcos circulares entre los vértices de P . ^[3] La iteración de la operación de estiramiento de punto medio en un polígono inicial arbitrario da como resultado una secuencia de polígonos cuyas formas convergen a la de un polígono regular . ^{[3] [4]}

Generalizaciones

Las fórmulas mencionadas anteriormente para el punto medio de un segmento utilizan implícitamente las longitudes de los segmentos. Sin embargo, en la generalización a la geometría afín , donde las longitudes de los segmentos no están definidas, ^[5] el punto medio aún puede definirse ya que es un invariante afín . La definición afín sintética del punto medio M de un segmento AB es el conjugado armónico proyectivo del punto en el infinito , P , de la línea AB . Es decir, el punto M tal que H[ A , B ; P , M ] . ^[6] Cuando se pueden introducir coordenadas en una geometría afín, las dos definiciones de punto medio coincidirán. ^[7]

El punto medio no está definido de forma natural en la geometría proyectiva, ya que no hay un punto distinguido que desempeñe el papel del punto en el infinito (cualquier punto en un rango proyectivo puede mapearse proyectivamente en cualquier otro punto en (el mismo o algún otro) rango proyectivo). Sin embargo, fijar un punto en el infinito define una estructura afín en la línea proyectiva en cuestión y se puede aplicar la definición anterior.

La definición del punto medio de un segmento puede extenderse a segmentos de curvas , como arcos geodésicos en una variedad de Riemann . Nótese que, a diferencia del caso afín, el punto medio entre dos puntos puede no estar determinado de manera única.

Véase también

• Centro (geometría) § Cónicas proyectivas
• Polígono de punto medio
• Bisección § Bisectriz de un segmento de recta
• Integración numérica § Reglas de cuadratura basadas en funciones de interpolación

Referencias

1. "Wolfram mathworld". 29 de septiembre de 2010.
2. Altshiller-Court, Nathan, Geometría universitaria , Dover Publ., 2007.
3. Ding, Jiu; Hitt, L. Richard; Zhang, Xin-Min (1 de julio de 2003), "Cadenas de Markov y geometría dinámica de polígonos" (PDF) , Álgebra lineal y sus aplicaciones , 367 : 255–270, doi :10.1016/S0024-3795(02)00634-1 , consultado el 19 de octubre de 2011.
4. Gomez-Martin, Francisco; Taslakian, Perouz; Toussaint, Godfried T. (2008), "Convergencia de la secuencia de sombras de polígonos inscritos", 18.º Taller de otoño sobre geometría computacional, ISBN 978-84-8181-227-5
5. Fishback, WT (1969), Geometría proyectiva y euclidiana (2.ª ed.), John Wiley & Sons, pág. 214, ISBN 0-471-26053-3
6. Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Conceptos fundamentales de geometría , Dover, pág. 156, ISBN 0-486-63415-9
7. Young, John Wesley (1930), Geometría proyectiva , Carus Mathematical Monographs #4, Asociación Matemática de Estados Unidos, págs. 84-85

Enlaces externos

• Animación: muestra las características del punto medio de un segmento de línea.