celosía recíproca

Transformada de Fourier de una red en el espacio real, importante en la física del estado sólido

La red recíproca generada por computadora de un cristal 3D monoclínico ficticio .

Un cristal bidimensional y su red recíproca.

En física , la red recíproca surge de la transformada de Fourier de otra red . La red directa o red real es una función periódica en el espacio físico , como un sistema cristalino (normalmente una red de Bravais ). La red recíproca existe en el espacio matemático de frecuencias espaciales , conocido como espacio recíproco o espacio k , donde se refiere al vector de onda . ${\displaystyle \mathbf {k} }$

En física cuántica , el espacio recíproco está estrechamente relacionado con el espacio de momento según la proporcionalidad , donde es el vector de momento y es la constante de Planck reducida . La red recíproca de una red recíproca es equivalente a la red directa original, porque las ecuaciones definitorias son simétricas con respecto a los vectores en el espacio real y recíproco. Matemáticamente, los vectores reticulares directos y recíprocos representan vectores covariantes y contravariantes , respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \hbar }$

La red recíproca es el conjunto de todos los vectores , que son vectores de onda de ondas planas en la serie de Fourier de una función espacial cuya periodicidad es la misma que la de una red directa . Cada onda plana en esta serie de Fourier tiene la misma fase o fases que se diferencian en múltiplos de en cada punto directo de la red (es decir, esencialmente la misma fase en todos los puntos directos de la red). ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

La red recíproca juega un papel fundamental en la mayoría de los estudios analíticos de estructuras periódicas, particularmente en la teoría de la difracción . En la difracción de neutrones , helio y rayos X , debido a las condiciones de Laue , la diferencia de momento entre los rayos X entrantes y difractados de un cristal es un vector reticular recíproco. El patrón de difracción de un cristal se puede utilizar para determinar los vectores recíprocos de la red. Utilizando este proceso, se puede inferir la disposición atómica de un cristal.

La zona de Brillouin es una celda de Wigner-Seitz de la red recíproca.

Descripción basada en olas

Las especies adsorbidas en la superficie con una superestructura de 1×2 dan lugar a puntos adicionales en la difracción de electrones de baja energía (LEED).

Espacio recíproco

El espacio recíproco (también llamado k -espacio) proporciona una forma de visualizar los resultados de la transformada de Fourier de una función espacial. Su función es similar al dominio de la frecuencia que surge de la transformada de Fourier de una función dependiente del tiempo; El espacio recíproco es un espacio sobre el cual la transformada de Fourier de una función espacial se representa en frecuencias espaciales o vectores de onda de ondas planas de la transformada de Fourier. El dominio de la función espacial en sí se suele denominar espacio real. En aplicaciones físicas, como la cristalografía, tanto el espacio real como el recíproco suelen ser bidimensionales o tridimensionales. Mientras que el número de dimensiones espaciales de estos dos espacios asociados será el mismo, los espacios diferirán en su dimensión cuantitativa, de modo que cuando el espacio real tiene la dimensión longitud ( L ), su espacio recíproco tendrá una longitud inversa, por lo que L ^{− 1} (el recíproco de la longitud).

El espacio recíproco entra en juego en el caso de las ondas, tanto de la mecánica clásica como de la mecánica cuántica. Debido a que una onda plana sinusoidal con amplitud unitaria se puede escribir como un término oscilatorio , con fase inicial , número de onda angular y frecuencia angular , se puede considerar como una función de ambos y (y la parte que varía en el tiempo como una función de ambos y ) . Este papel complementario de y conduce a su visualización dentro de espacios complementarios (el espacio real y el espacio recíproco). La periodicidad espacial de esta onda está definida por su longitud de onda , donde ; por tanto, el número de onda correspondiente en el espacio recíproco será . ${\displaystyle \cos(kx-\omega t+\varphi _{0})}$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k\lambda =2\pi }$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

En tres dimensiones, el término de onda plana correspondiente se convierte en , que se simplifica a en un tiempo fijo , donde es el vector de posición de un punto en el espacio real y ahora es el vector de onda en el espacio recíproco tridimensional. (La magnitud de un vector de onda se llama número de onda). La constante es la fase del frente de onda (un plano de una fase constante) que pasa por el origen en el tiempo , y es un vector unitario perpendicular a este frente de onda. Los frentes de onda con fases , donde representa cualquier número entero , comprenden un conjunto de planos paralelos, equidistantes por la longitud de onda . ${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})}$ ${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\varphi )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \varphi +(2\pi )n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$

celosía recíproca

En general, una red geométrica es un conjunto infinito y regular de vértices (puntos) en el espacio, que se puede modelar vectorialmente como una red de Bravais . Algunas redes pueden estar sesgadas, lo que significa que sus líneas primarias no necesariamente están en ángulo recto. En el espacio recíproco, una red recíproca se define como el conjunto de vectores de onda de ondas planas en la serie de Fourier de cualquier función cuya periodicidad es compatible con la de una red directa inicial en el espacio real. De manera equivalente, un vector de onda es un vértice de la red recíproca si corresponde a una onda plana en el espacio real cuya fase en un momento dado es la misma (en realidad difiere en un número entero ) en cada vértice de la red directa. ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle (2\pi )n}$ ${\displaystyle n}$

Un enfoque heurístico para construir la red recíproca en tres dimensiones es escribir el vector de posición de un vértice de la red directa como , donde son números enteros que definen el vértice y son vectores de traducción primitivos linealmente independientes (o brevemente llamados vectores primitivos) que son característica de la red. Entonces hay una onda plana única (hasta un factor negativo uno), cuyo frente de onda que pasa por el origen contiene los puntos directos de la red en y , y con su frente de onda adyacente (cuya fase difiere por o del frente de onda anterior que pasa por el origen) pasa a través de . Su vector de onda angular toma la forma , donde es el vector unitario perpendicular a estos dos frentes de onda adyacentes y la longitud de onda debe satisfacer , significa que es igual a la distancia entre los dos frentes de onda. Por lo tanto por construcción y . ${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle -2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0}$

Al recorrer los índices uno por uno, el mismo método produce tres vectores de onda con , donde el delta de Kronecker es igual a uno cuando y es cero en caso contrario. Comprenden un conjunto de tres vectores de onda primitivos o tres vectores de traducción primitivos para la red recíproca, cada uno de cuyos vértices toma la forma , donde son números enteros. La red recíproca también es una red de Bravais ya que está formada por combinaciones enteras de los vectores primitivos, que son , y en este caso. Luego, el álgebra simple muestra que, para cualquier onda plana con un vector de onda en la red recíproca, el cambio de fase total entre el origen y cualquier punto en la red directa es un múltiplo de (que posiblemente puede ser cero si el multiplicador es cero), por lo que la fase de la onda plana con será esencialmente igual para cada vértice de la red directa, de conformidad con la definición de red recíproca anterior. (Aunque cualquier vector de onda en la red recíproca siempre toma esta forma, esta derivación es más motivacional que rigurosa, porque ha omitido la prueba de que no existen otras posibilidades). ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

La zona de Brillouin es una celda primitiva (más específicamente una celda de Wigner-Seitz ) de la red recíproca, que juega un papel importante en la física del estado sólido debido al teorema de Bloch . En matemáticas puras , el espacio dual de las formas lineales y la red dual proporcionan generalizaciones más abstractas del espacio recíproco y la red recíproca.

Descripción matemática

Demostración de la relación entre red real y recíproca. Una red 2D en el espacio real (puntos rojos) con vectores primitivos y se muestran mediante flechas azules y verdes respectivamente. Encima se trazan ondas planas de la forma. De esto vemos que cuando cualquier combinación entera de vector de red recíproco se basa en y (es decir, cualquier vector de red recíproco), las ondas planas resultantes tienen la misma periodicidad de la red, es decir, cualquier traslación desde un punto (que se muestra en naranja) a un punto ( se muestra en rojo), el valor de la onda plana es el mismo. Estas ondas planas se pueden sumar y la relación anterior seguirá aplicándose. ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle e^{iG\cdot r}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R+r}$ ${\displaystyle R}$

Suponiendo una red de Bravais tridimensional y etiquetando cada vector de red (un vector que indica un punto de red) mediante el subíndice como 3 tuplas de números enteros, ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3})}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$dónde ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {Z} }$

donde es el conjunto de números enteros y es un vector de traducción primitivo o vector brevemente primitivo. Tomando una función donde es un vector de posición desde el origen hasta cualquier posición, si sigue la periodicidad de esta red, por ejemplo, la función que describe la densidad electrónica en un cristal atómico, es útil escribirla como una serie de Fourier multidimensional. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=0}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=f\left(\mathbf {r} \right)}$

donde ahora está el subíndice , entonces esta es una suma triple. ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$

Como sigue la periodicidad de la red, traduciendo por cualquier vector de red obtenemos el mismo valor, por lo tanto ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r} ).}$

Expresando lo anterior en términos de su serie de Fourier tenemos

$${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\,e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }.}$$

Porque la igualdad de dos series de Fourier implica la igualdad de sus coeficientes, lo que sólo se cumple cuando ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N}$dónde ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} .}$

Matemáticamente, la red recíproca es el conjunto de todos los vectores , que son vectores de onda de ondas planas en la serie de Fourier de una función espacial cuya periodicidad es la misma que la de una red directa, como el conjunto de todos los vectores de posición de puntos de la red directa , y satisfacen Esta igualdad para todos . Cada onda plana de la serie de Fourier tiene la misma fase (en realidad puede diferir en un múltiplo de ) en todos los puntos de la red . ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

Como se muestra en la sección de series de Fourier multidimensionales , se pueden elegir en la forma de donde . Con esta forma, la red recíproca como conjunto de todos los vectores de onda para la serie de Fourier de una función espacial cuya periodicidad sigue , es en sí misma una red de Bravais ya que está formada por combinaciones enteras de sus propios vectores de traducción primitivos , y el recíproco del recíproco. La red es la red original, que revela la dualidad de Pontryagin de sus respectivos espacios vectoriales . (Puede haber otra forma de . Cualquier forma válida de resultados en la misma red recíproca). ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$

Dos dimensiones

Para una red bidimensional infinita, definida por sus vectores primitivos , su red recíproca se puede determinar generando sus dos vectores primitivos recíprocos, mediante las siguientes fórmulas, ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

donde es un numero entero y ${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

Aquí se representa una matriz de rotación de 90 grados , es decir, un cuarto de vuelta. Tanto la rotación en sentido antihorario como la rotación en sentido horario se pueden utilizar para determinar la red recíproca: If es la rotación en sentido antihorario y es la rotación en sentido horario, para todos los vectores . Así, usando la permutación ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q'} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}}$

obtenemos

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.}$

En particular, en un espacio 3D, esta red recíproca 2D es un conjunto infinitamente extendido de varillas de Bragg, descritas por Sung et al. ^[1]

Tres dimensiones

Para una red tridimensional infinita , definida por sus vectores primitivos y el subíndice de números enteros , su red recíproca con el subíndice entero se puede determinar generando sus tres vectores primitivos recíprocos ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$ ${\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\[8pt]\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}$$

triple producto escalarlos vectores de traducción primitivosseries multidimensionales de Fourierinversión de matrices ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

Este método apela a la definición y permite la generalización a dimensiones arbitrarias. La fórmula del producto cruzado domina los materiales introductorios sobre cristalografía.

La definición anterior se denomina definición "física", ya que el factor surge naturalmente del estudio de las estructuras periódicas. Una definición esencialmente equivalente, la definición del "cristalógrafo", proviene de la definición de la red recíproca . que cambia los vectores primitivos recíprocos para que sean ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi }$

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$

y así sucesivamente para los otros vectores primitivos. La definición del cristalógrafo tiene la ventaja de que la definición de es solo la magnitud recíproca de en la dirección de , eliminando el factor de . Esto puede simplificar ciertas manipulaciones matemáticas y expresa dimensiones recíprocas de la red en unidades de frecuencia espacial . Es una cuestión de gusto qué definición de red se utiliza, siempre y cuando no se mezclen las dos. ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$se escribe convencionalmente como o , llamado índices de Miller ; se reemplaza con , se reemplaza con y se reemplaza con . Cada punto de la red en la red recíproca corresponde a un conjunto de planos de la red en la red del espacio real . (Un plano de red es un plano que cruza puntos de red). La dirección del vector de red recíproco corresponde a la normal a los planos del espacio real. La magnitud del vector reticular recíproco se da en longitud recíproca y es igual al recíproco del espaciado interplanar de los planos del espacio real. ${\displaystyle (h,k,\ell )}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{m}}$

Dimensiones superiores

La fórmula para las dimensiones se puede derivar asumiendo un espacio vectorial real andimensional con una base y un producto interno . Los vectores reticulares recíprocos están determinados únicamente por la fórmula . Usando la permutación ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$ ${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle g(\mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{j})=2\pi \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}},}$

se pueden determinar con la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\varepsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V}$

Aquí, es la forma de volumen , es la inversa del isomorfismo del espacio vectorial definido por y denota la multiplicación interna . ${\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}\colon V\to V^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}(v)(w)=g(v,w)}$ ${\displaystyle \lrcorner }$

Se puede verificar que esta fórmula es equivalente a las fórmulas conocidas para el caso bidimensional y tridimensional utilizando los siguientes hechos: En tres dimensiones y en dos dimensiones, ¿dónde está la rotación de 90 grados (al igual que la forma del volumen? , el ángulo asignado a una rotación depende de la elección de la orientación ^[2] ). ${\displaystyle \omega (u,v,w)=g(u\times v,w)}$ ${\displaystyle \omega (v,w)=g(Rv,w)}$ ${\displaystyle R\in {\text{SO}}(2)\subset L(V,V)}$

Redes recíprocas de varios cristales.

Las redes recíprocas para el sistema cristalino cúbico son las siguientes.

Red cúbica simple

La red cúbica simple de Bravais , con una celda cúbica primitiva de lado , tiene por recíproco una red cúbica simple con una celda cúbica primitiva de lado (o en la definición del cristalógrafo). Por tanto, se dice que la red cúbica es autodual y tiene la misma simetría en el espacio recíproco que en el espacio real. ${\displaystyle a}$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{a}}}$

Red cúbica centrada en las caras (FCC)

La red recíproca de una red FCC es la red cúbica centrada en el cuerpo (BCC), con un lado del cubo de . ${\textstyle {\frac {4\pi }{a}}}$

Considere una celda unitaria compuesta de FCC. Localice una celda unitaria primitiva de la FCC; es decir, una celda unitaria con un punto de red. Ahora tome uno de los vértices de la celda unitaria primitiva como origen. Dé los vectores base de la red real. Luego, a partir de las fórmulas conocidas, puedes calcular los vectores base de la red recíproca. Estos vectores reticulares recíprocos de la FCC representan los vectores base de una red real BCC. Los vectores base de una red BCC real y la red recíproca de una FCC se parecen entre sí en dirección pero no en magnitud.

Red cúbica centrada en el cuerpo (BCC)

La red recíproca de una red BCC es la red FCC , con un lado del cubo de . ${\textstyle 4\pi /a}$

Se puede demostrar que sólo las redes de Bravais que tienen 90 grados entre sí (cúbicas, tetragonales, ortorrómbicas) tienen vectores de traducción primitivos para la red recíproca, paralelos a sus vectores en el espacio real. ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$

Celosía hexagonal simple

El recíproco de una red de Bravais hexagonal simple con constantes de red y es otra red hexagonal simple con constantes de red y girada 90 ° alrededor del eje c con respecto a la red directa. Por tanto, se dice que la red hexagonal simple es autodual y tiene la misma simetría en el espacio recíproco que en el espacio real. Los vectores de traducción primitivos para estos vectores de red de Bravais hexagonales simples son ${\textstyle a}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle 2\pi /c}$ ${\textstyle 4\pi /(a{\sqrt {3}})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{2}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{3}&=c{\hat {z}}.\end{aligned}}}$$

^[3]

Colección arbitraria de átomos.

Sombra de la red recíproca de intensidad de una pentacona de carbono facetada de 118 átomos que se ilumina en rojo en difracción cuando se cruza con la esfera de Ewald.

Un camino hacia la red recíproca de una colección arbitraria de átomos proviene de la idea de ondas dispersadas en el límite de Fraunhofer (de larga distancia o plano retrofocal de lente) como una suma de amplitudes al estilo de Huygens desde todos los puntos de dispersión (en este caso de cada átomo individual). ^[4] Esta suma se denota por la amplitud compleja en la siguiente ecuación, porque también es la transformada de Fourier (en función de la frecuencia espacial o la distancia recíproca) de un potencial de dispersión efectivo en el espacio directo: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\!\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}.}$

Aquí g = q /(2 π ) es el vector de dispersión q en unidades de cristalógrafo, N es el número de átomos, f _j [ g ] es el factor de dispersión atómica para el átomo j y el vector de dispersión g , mientras que r _j es la posición del vector del átomo j . La fase de Fourier depende de la elección del origen de las coordenadas.

Para el caso especial de un cristal periódico infinito, la amplitud dispersada F = M F _h,k,ℓ de M celdas unitarias (como en los casos anteriores) resulta ser distinta de cero sólo para valores enteros de , donde ${\displaystyle (h,k,\ell )}$

${\displaystyle F_{h,k,\ell }=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{h,k,\ell }\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+\ell w_{j}\right)}}$

cuando hay j  = 1, m átomos dentro de la celda unitaria cuyos índices reticulares fraccionarios son respectivamente { u _j , v _j , w _j }. Para considerar los efectos debidos al tamaño finito del cristal, por supuesto, se debe utilizar en su lugar una convolución de forma para cada punto o la ecuación anterior para una red finita.

Ya sea que la matriz de átomos sea finita o infinita, también se puede imaginar una "red recíproca de intensidad" I[ g ], que se relaciona con la red de amplitud F a través de la relación habitual I = F ^* F donde F ^* es el conjugado complejo de F Dado que la transformación de Fourier es reversible, por supuesto, este acto de conversión a intensidad descarta "toda la información excepto el segundo momento" (es decir, la fase). Para el caso de una colección arbitraria de átomos, la red recíproca de intensidad es, por tanto,:

${\displaystyle I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{\!\!\;jk}}.}$

Aquí r _jk es la separación vectorial entre el átomo j y el átomo k . También se puede utilizar esto para predecir el efecto de la forma de los nanocristales y los cambios sutiles en la orientación del haz sobre los picos de difracción detectados, incluso si en algunas direcciones el grupo tiene solo un átomo de espesor. En el lado negativo, los cálculos de dispersión que utilizan la red recíproca básicamente consideran una onda plana incidente. Por lo tanto, después de una primera mirada a los efectos recíprocos de la red (dispersión cinemática), también puede ser importante considerar el ensanchamiento del haz y los efectos de dispersión múltiple (es decir, dinámicos ).

Generalización de una red dual.

En realidad, existen dos versiones en matemáticas del concepto abstracto de red dual, para una red dada L en un espacio vectorial real V , de dimensión finita .

El primero, que generaliza directamente la construcción reticular recíproca, utiliza el análisis de Fourier . Puede expresarse simplemente en términos de la dualidad de Pontryagin . El grupo dual V ^ a V es nuevamente un espacio vectorial real, y su subgrupo cerrado L ^ dual a L resulta ser una red en V ^. Por lo tanto, L ^ es el candidato natural para red dual , en un espacio vectorial diferente (de la misma dimensión).

El otro aspecto se ve en la presencia de una forma cuadrática Q sobre V ; si no es degenerado permite una identificación del espacio dual V ^* de V con V . La relación de V ^* con V no es intrínseca; depende de la elección de la medida de Haar (elemento de volumen) en V. Pero dada una identificación de los dos, que en cualquier caso está bien definida hasta un escalar , la presencia de Q permite hablar con la red dual de L mientras se permanece dentro de V.

En matemáticas, la red dual de una red dada L en un grupo topológico abeliano localmente compacto G es el subgrupo L ^∗ del grupo dual de G que consta de todos los caracteres continuos que son iguales a uno en cada punto de L.

En matemáticas discretas , una red es un conjunto localmente discreto de puntos descritos por todas las combinaciones lineales integrales de dim = n vectores linealmente independientes en R ⁿ . La red dual se define entonces por todos los puntos en el tramo lineal de la red original (típicamente todos los R ⁿ ) con la propiedad de que un número entero resulta del producto interno con todos los elementos de la red original. De ello se deduce que el dual de la red dual es la red original.

Además, si permitimos que la matriz B tenga columnas como vectores linealmente independientes que describen la red, entonces la matriz tiene columnas de vectores que describen la red dual. ${\displaystyle A=B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}}$

Ver también

• zona brillante
• Cristalografía
• base dual
• la esfera de ewald
• línea kikuchi
• índice de miller
• difracción de polvo
• Eje de zona

Referencias

1. Cantado, SH; Schnitzer, N.; Marrón, L.; Parque, J.; Hovden, R. (25 de junio de 2019). "Apilamiento, tensión y torsión en materiales 2D cuantificados mediante difracción de electrones 3D". Materiales de revisión física . 3 (6): 064003. arXiv : 1905.11354 . Código Bib : 2019PhRvM...3f4003S. doi :10.1103/PhysRevMaterials.3.064003. S2CID  166228311.
2. Audin, Michèle (2003). Geometría . Saltador. pag. 69.
3. Kittel, Charles (2005). Introducción a la Física del Estado Sólido (8ª ed.). John Wiley & Sons, Inc. pág. 44.ISBN​ 0-471-41526-X.
4. BE Warren (1969/1990) Difracción de rayos X (Addison-Wesley, Reading MA/Dover, Mineola NY).

enlaces externos

• http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html: el simulador de difracción de electrones basado en Jmol le permite explorar la intersección entre la red recíproca y la esfera de Ewald durante la inclinación.
• Paquete de enseñanza y aprendizaje DoITPoMS sobre espacio recíproco y red recíproca
• Aprenda fácilmente la cristalografía y cómo la red recíproca explica el fenómeno de difracción, como se muestra en los capítulos 4 y 5.