Teoría de la cirugía

En matemáticas , específicamente en topología geométrica , la teoría quirúrgica es un conjunto de técnicas utilizadas para producir una variedad de dimensión finita a partir de otra de forma "controlada", introducida por John Milnor  (1961). Milnor llamó a esta técnica cirugía , mientras que Andrew Wallace la llamó modificación esférica . ^[1] La "cirugía" en una variedad diferenciable M de dimensión , podría describirse como la eliminación de una esfera incrustada de dimensión p de M . ^[2] Desarrolladas originalmente para variedades diferenciables (o suaves ), las técnicas quirúrgicas también se aplican a variedades lineales por partes (PL-) y topológicas . ${\displaystyle n=p+q+1}$

La cirugía se refiere a cortar partes del colector y reemplazarlas con una parte de otro colector, haciendo coincidir a lo largo del corte o límite. Esto está estrechamente relacionado con las descomposiciones del cuerpo del mango , pero no es idéntico a ellas .

Más técnicamente, la idea es comenzar con una variedad M bien entendida y realizarle una cirugía para producir una variedad M ′ que tenga alguna propiedad deseada, de tal manera que los efectos sobre la homología , los grupos de homotopía u otros invariantes de la Se conocen múltiples. Un argumento relativamente sencillo utilizando la teoría de Morse muestra que se puede obtener una variedad a partir de otra mediante una secuencia de modificaciones esféricas si y sólo si esas dos pertenecen a la misma clase de cobordismo . ^[1]

La clasificación de esferas exóticas realizada por Michel Kervaire y Milnor  (1963) condujo al surgimiento de la teoría de la cirugía como una herramienta importante en la topología de alta dimensión.

Cirugía en un colector

Una observación básica

Si X , Y son variedades con límite, entonces el límite de la variedad producto es

${\displaystyle \partial (X\times Y)=(\partial X\times Y)\cup (X\times \partial Y).}$

La observación básica que justifica la cirugía es que el espacio puede entenderse como el límite de o como el límite de . En símbolos, ${\displaystyle S^{p}\times S^{q-1}}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$ ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$

${\displaystyle \partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right)}$,

¿Dónde está el disco q -dimensional, es decir, el conjunto de puntos que están a una distancia uno o menos de un punto fijo dado (el centro del disco); por ejemplo, entonces, es homeomorfo al intervalo unitario, mientras que es un círculo junto con los puntos de su interior. ${\displaystyle D^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$ ${\displaystyle D^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Cirugía

Ahora, dada una variedad M de dimensión y una incrustación , defina otra variedad n -dimensional como ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$ ${\displaystyle M'}$

${\displaystyle M':=\left(M\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi ))\right)\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Dado que y a partir de la ecuación de nuestra observación básica anterior, el pegado está justificado entonces ${\displaystyle \operatorname {im} (\phi )=\phi (S^{p}\times D^{q})}$

${\displaystyle \phi \left(\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)\right)=\phi \left(S^{p}\times S^{q-1}\right).}$

Se dice que la variedad M ′ se produce mediante una cirugía de corte y pegado , o mediante una p - cirugía si se quiere especificar el número p . Estrictamente hablando, M ′ es una variedad con esquinas, pero existe una forma canónica de suavizarlas. Observe que la subvariedad que fue reemplazada en M era de la misma dimensión que M (era de codimensión 0). ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$

Colocación de asas y cobordismos.

La cirugía está estrechamente relacionada (pero no es lo mismo) con la colocación de manijas . Dada una variedad con límite y una incrustación , donde , defina otra variedad con límite L ′ por ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle (L,\partial L)}$ ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to \partial L}$ ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle L':=L\;\cup _{\phi }\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).}$

El colector L ′ se obtiene "colocando un mango", que se obtiene mediante una p -cirugía ${\displaystyle (p+1)}$ ${\displaystyle \partial L'}$ ${\displaystyle \partial L}$

${\displaystyle \partial L'=(\partial L\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi )))\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times D^{q}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Una cirugía en M no sólo produce una nueva variedad M ′, sino también un cobordismo W entre M y M ′. La huella de la cirugía es el cobordismo , con ${\displaystyle (W;M,M')}$

${\displaystyle W:=(M\times I)\;\cup _{\phi \times \{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)}$

el colector dimensional con límite obtenido del producto colocando un mango . ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \partial W=M\cup M'}$ ${\displaystyle M\times I}$ ${\displaystyle (p+1)}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times D^{q}}$

La cirugía es simétrica en el sentido de que la variedad M puede recuperarse a partir de M ′ mediante una -cirugía cuya traza coincide con la traza de la cirugía original, hasta la orientación. ${\displaystyle (q-1)}$

En la mayoría de las aplicaciones, el colector M viene con una estructura geométrica adicional, como un mapa de algún espacio de referencia o datos de paquete adicionales. Entonces se desea que el proceso quirúrgico dote a M ′ del mismo tipo de estructura adicional. Por ejemplo, una herramienta estándar en la teoría de la cirugía es la cirugía en mapas normales : tal proceso cambia un mapa normal a otro mapa normal dentro de la misma clase de bordismo.

Ejemplos

1. Cirugía en el círculo

   

   Figura 1

   Según la definición anterior, una cirugía del círculo consiste en recortar una copia y pegarla . Las imágenes de la Fig. 1 muestran que el resultado de hacer esto es (i) nuevamente o (ii) dos copias de . ${\displaystyle S^{0}\times D^{1}}$ ${\displaystyle D^{1}\times S^{0}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

   

   Figura 2a

   

   Figura 2b

2. Cirugía en las 2 esferas

   En este caso hay más posibilidades, ya que podemos empezar recortando cualquiera de los dos o . ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$ ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$

   1. ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$: Si quitamos un cilindro de las 2 esferas, nos quedan dos discos. Tenemos que volver a pegarlos , es decir, dos discos, y está claro que el resultado de hacerlo es darnos dos esferas separadas. (Figura 2a) ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$

      

      Figura 2c. Esta forma no se puede incrustar en 3 espacios.

   2. ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$: Habiendo cortado dos discos , volvemos a pegarlos en el cilindro . Hay dos resultados posibles, dependiendo de si nuestros mapas de pegado tienen la misma orientación o la opuesta en los dos círculos delimitadores. Si las orientaciones son iguales (Fig. 2b), la variedad resultante es el toro , pero si son diferentes, obtenemos la botella de Klein (Fig. 2c). ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$
3. Cirugía en la n -esfera

   Si entonces ${\displaystyle n=p+q}$

   ${\displaystyle S^{n}=\partial D^{n+1}\approx \partial (D^{p+1}\times D^{q})=S^{p}\times D^{q}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}}$.

   La p -cirugía en ' es por lo tanto ${\displaystyle S^{n}}$

   ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}=S^{p+1}\times S^{q-1}}$.

   Los ejemplos 1 y 2 anteriores fueron un caso especial de esto.
4. Funciones Morse Supongamos que f es una función Morse en una variedad de dimensiones ( n  + 1) y supongamos que c es un valor crítico con exactamente un punto crítico en su preimagen. Si el índice de este punto crítico es , entonces el conjunto de niveles se obtiene mediante una p -cirugía. El bordismo se puede identificar con el rastro de esta cirugía. De hecho, en algún gráfico de coordenadas alrededor del punto crítico, la función f tiene la forma , con y . La Fig. 3 muestra, en este gráfico local, el colector M en azul y el colector M ′ en rojo. La región coloreada entre M y M ′ corresponde al bordismo W . La imagen muestra que W es difeomorfo a la unión ${\displaystyle p+1}$ ${\displaystyle M':=f^{-1}(c+\varepsilon )}$ ${\displaystyle M:=f^{-1}(c-\varepsilon )}$ ${\displaystyle W:=f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])}$ ${\displaystyle -\Vert x\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}}$ ${\displaystyle x\in R^{p+1},y\in R^{q}}$ ${\displaystyle p+q+1=n+1}$

   ${\displaystyle W\cong M\times I\cup _{S^{p}\times D^{q}}D^{p+1}\times D^{q}}$

   (descuidando el tema de enderezar las esquinas), donde está coloreado en amarillo y está coloreado en verde. La variedad M ′, al ser un componente límite de W , se obtiene por tanto a partir de M mediante una p -cirugía. Dado que cada bordismo entre variedades cerradas tiene una función Morse donde diferentes puntos críticos tienen diferentes valores críticos, esto muestra que cualquier bordismo puede descomponerse en rastros de cirugías ( descomposición del cuerpo del mango ). En particular, cada variedad M puede considerarse como un bordismo desde el límite ∂ M (que puede estar vacío) hasta la variedad vacía, y por lo tanto puede obtenerse colocando manijas. ${\displaystyle M\times I}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times D^{q}}$ ${\displaystyle \partial M\times I}$

Efectos sobre los grupos de homotopía y comparación con la unión celular.

Intuitivamente, el proceso de cirugía es el análogo múltiple de unir una célula a un espacio topológico, donde la incrustación toma el lugar del mapa de unión. Una simple unión de una celda a una variedad n destruiría la estructura de la variedad por razones dimensionales, por lo que debe engrosarse cruzándose con otra celda. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (p+1)}$

Hasta la homotopía, el proceso de cirugía en una incrustación se puede describir como la unión de una célula, dando el tipo de homotopía del rastro, y la separación de una célula q para obtener N. La necesidad del proceso de desapego puede entenderse como un efecto de la dualidad de Poincaré . ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$ ${\displaystyle (p+1)}$

De la misma manera que una célula se puede unir a un espacio para matar un elemento en algún grupo de homotopía del espacio, a menudo se puede usar una cirugía p en una variedad M para matar un elemento . Sin embargo, dos puntos son importantes: en primer lugar, el elemento debe ser representable mediante una incrustación (lo que significa incrustar la esfera correspondiente con un paquete normal trivial ). Por ejemplo, no es posible realizar una cirugía en un bucle de inversión de orientación. En segundo lugar, se debe considerar el efecto del proceso de separación, ya que también podría tener un efecto sobre el grupo de homotopía bajo consideración. En términos generales, este segundo punto sólo es importante cuando p es al menos del orden de la mitad de la dimensión  de M. ${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$ ${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$ ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$

Aplicación a la clasificación de colectores.

El origen y principal aplicación de la teoría quirúrgica radica en la clasificación de variedades de dimensión mayor que cuatro. En términos generales, las cuestiones organizativas de la teoría de la cirugía son:

• ¿Es X una variedad?
• ¿Es f un difeomorfismo?

Más formalmente, uno hace estas preguntas hasta la homotopía :

• ¿Tiene un espacio X el tipo de homotopía de una variedad suave de una dimensión dada?
• ¿Es una equivalencia de homotopía entre dos variedades suaves homotópica a un difeomorfismo? ${\displaystyle f\colon M\to N}$

Resulta que la segunda pregunta ("singularidad") es una versión relativa de una pregunta del primer tipo ("existencia"); por tanto, ambas cuestiones pueden tratarse con los mismos métodos.

Tenga en cuenta que la teoría de la cirugía no proporciona un conjunto completo de invariantes para estas preguntas. En cambio, es una obstrucción teórica : hay una obstrucción primaria y una obstrucción secundaria llamada obstrucción quirúrgica que sólo se define si la obstrucción primaria desaparece, y que depende de la elección hecha al verificar que la obstrucción primaria desaparece.

El enfoque de la cirugía

En el abordaje clásico, desarrollado por William Browder , Sergei Novikov , Dennis Sullivan y CTC Wall , la cirugía se realiza en mapas normales de grado uno. Mediante cirugía, la pregunta "¿Es el mapa normal de grado uno cobordante con una equivalencia de homotopía?" se puede traducir (en dimensiones mayores que cuatro) a una declaración algebraica sobre algún elemento en un grupo L del anillo de grupo . Más precisamente, la pregunta tiene una respuesta positiva si y sólo si la obstrucción quirúrgica es cero, donde n es la dimensión de M. ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$ ${\displaystyle \sigma (f)\in L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

Por ejemplo, considere el caso en el que la dimensión n = 4k es múltiplo de cuatro y . Se sabe que es isomorfo a los números enteros ; bajo este isomorfismo la obstrucción quirúrgica de f es proporcional a la diferencia de las firmas de X y M. Por tanto, un mapa normal de grado uno es cobordante con una equivalencia de homotopía si y sólo si las firmas del dominio y el codominio concuerdan. ${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$ ${\displaystyle L_{4k}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma (X)-\sigma (M)}$

Volviendo a la cuestión de "existencia" anterior, vemos que un espacio X tiene el tipo de homotopía de una variedad suave si y sólo si recibe un mapa normal de grado uno cuya obstrucción quirúrgica desaparece. Esto conduce a un proceso de obstrucción de varios pasos: para hablar de mapas normales, X debe satisfacer una versión apropiada de la dualidad de Poincaré que lo convierte en un complejo de Poincaré . Suponiendo que X es un complejo de Poincaré, la construcción de Pontryagin-Thom muestra que existe un mapa normal de grado uno para X si y sólo si la fibración normal de Spivak de X tiene una reducción a un paquete de vectores estable . Si existen mapas normales de grado uno a X , sus clases de bordismo (llamadas invariantes normales ) se clasifican por el conjunto de clases de homotopía . Cada una de estas invariantes normales tiene una obstrucción quirúrgica; X tiene el tipo de homotopía de una variedad suave si y sólo si una de estas obstrucciones es cero. Dicho de otra manera, esto significa que existe una opción de invariante normal con imagen cero bajo el mapa de obstrucción de la cirugía. ${\displaystyle [X,G/O]}$

${\displaystyle [X,G/O]\to L_{n}\left(\mathbb {Z} \left[\pi _{1}(X)\right]\right).}$

Conjuntos de estructuras y secuencia exacta de la cirugía.

El concepto de conjunto de estructuras es el marco unificador tanto para las cuestiones de existencia como de unicidad. En términos generales, el conjunto de estructuras de un espacio X consta de equivalencias de homotopía M → X desde alguna variedad hasta X , donde se identifican dos mapas bajo una relación de tipo bordismo. Una condición necesaria (pero en general no suficiente) para que el conjunto de estructuras de un espacio X no esté vacío es que X sea un complejo de Poincaré de n dimensiones, es decir, que los grupos de homología y cohomología estén relacionados mediante isomorfismos de un espacio de n dimensiones. múltiple, para algún número entero n . Dependiendo de la definición precisa y la categoría de variedades ( suaves , PL o topológicas ), existen varias versiones de conjuntos de estructuras. Dado que, según el teorema del s-cobordismo , ciertos bordismos entre variedades son isomorfos (en la categoría respectiva) a los cilindros, el concepto de conjunto de estructuras permite una clasificación incluso hasta el difeomorfismo . ${\displaystyle H^{*}(X)\cong H_{n-*}(X)}$

El conjunto de estructuras y el mapa de obstrucciones de la cirugía se reúnen en la secuencia exacta de la cirugía . Esta secuencia permite determinar el conjunto de estructuras de un complejo de Poincaré una vez que se comprende el mapa de obstrucción de la cirugía (y una versión relativa del mismo). En casos importantes, el conjunto de estructuras lisas o topológicas se puede calcular mediante la secuencia exacta de la cirugía. Ejemplos de ello son la clasificación de esferas exóticas y las pruebas de la conjetura de Borel para variedades curvadas negativamente y variedades con grupo fundamental hiperbólico .

En la categoría topológica, la secuencia exacta de la cirugía es la secuencia exacta larga inducida por una secuencia de fibración de espectros . Esto implica que todos los conjuntos involucrados en la secuencia son de hecho grupos abelianos. A nivel de espectro, el mapa de obstrucción quirúrgica es un mapa de ensamblaje cuya fibra es el espacio de estructura de bloques de la variedad correspondiente.

Ver también

• teorema del s-cobordismo
• teorema del h-cobordismo
• Torsión de cabeza blanca
• Cirugía de Dehn
• Descomposición múltiple
• Carácter de orientación
• Plomería (matemáticas)

Citas

1. Milnor 2007, pág. 6.
2. Milnor 2007, pag. 39.

Referencias

• Milnor, Juan (2007). Artículos recopilados de topología diferencial de John Milnor III . AMS . ISBN 978-0-8218-4230-0.
• Browder, William (1972), Cirugía en colectores simplemente conectados , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0358813
• Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrés ; Rosenberg, Jonathan , eds. (2000), Encuestas sobre teoría de la cirugía. vol. 1 (PDF) , Anales de estudios de matemáticas, vol. 145, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-04938-0, señor  1746325
• Cappell, Sylvain; Ranicki, Andrés; Rosenberg, Jonathan, eds. (2001), Encuestas sobre teoría de la cirugía. vol. 2 (PDF) , Anales de estudios de matemáticas, vol. 149, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-08815-0, señor  1818769
• Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. (1963), "Grupos de esferas de homotopía: I", Annals of Mathematics , 77 (3): 504–537, doi :10.2307/1970128, JSTOR  1970128, MR  0148075
• Milnor, John Willard (1961), "Un procedimiento para matar grupos de homotopía de variedades diferenciables", Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. III , Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 39–55, MR  0130696
• Milnor, John Willard (1965), Conferencias sobre el teorema del cobordismo h , Notas de Laurent Siebenmann y Jonathan Sondow, Princeton University Press , MR  0190942
• Póstnikov, Mikail M .; Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Cirugía Morse", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Ranicki, Andrew (1980), "La teoría algebraica de la cirugía. I. Fundamentos" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 40 (3): 87–192, CiteSeerX  10.1.1.309.4753 , doi :10.1112/plms /s3-40.1.87
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• Ranicki, Andrew (2002), Cirugía algebraica y geométrica, Monografías matemáticas de Oxford, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, señor  2061749
• Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (ed.), Cirugía en colectores compactos (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-0942-6, señor  1687388

enlaces externos

• Teoría de la cirugía para aficionados.
• Grupo de estudio de teoría de la cirugía de Edimburgo
• 2012 Seminario de Oberwolfach sobre teoría de la cirugía en el proyecto Manifold Atlas
• 2012 Seminario en bloque de Ratisbona sobre teoría quirúrgica en el proyecto Manifold Atlas
• Curso de cirugía de Harvard de 2011 de Jacob Lurie Apuntes de conferencias
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