Electrodinámica cuántica

Teoría cuántica de campos del electromagnetismo.

En física de partículas , la electrodinámica cuántica ( QED ) es la teoría relativista de campos cuánticos de la electrodinámica . ^{[1] [2] [3]} En esencia, describe cómo interactúan la luz y la materia y es la primera teoría en la que se logra un acuerdo total entre la mecánica cuántica y la relatividad especial . ^[2] QED describe matemáticamente todos los fenómenos que involucran partículas cargadas eléctricamente que interactúan mediante el intercambio de fotones y representa la contraparte cuántica del electromagnetismo clásico , brindando una explicación completa de la interacción entre la materia y la luz. ^{[2] [3]}

En términos técnicos, QED puede describirse como una forma muy precisa de calcular la probabilidad de la posición y el movimiento de partículas, incluso aquellas sin masa como los fotones, y la cantidad que depende de la posición (campo) de esas partículas, y describe la luz y la materia. más allá de la dualidad onda-partícula propuesta por Einstein en 1905. Richard Feynman la llamó "la joya de la física" por sus predicciones extremadamente precisas de cantidades como el momento magnético anómalo del electrón y el desplazamiento de Lamb de los niveles de energía del hidrógeno . ^{[2] : Ch1} ​​Es la teoría más precisa y rigurosamente probada de la física. ^{[4] [5]}

Historia

Pablo Dirac

La primera formulación de una teoría cuántica que describe la interacción entre radiación y materia se atribuye al científico británico Paul Dirac , quien (durante la década de 1920) pudo calcular el coeficiente de emisión espontánea de un átomo . ^[6] También se le atribuye haber acuñado el término "electrodinámica cuántica". ^[7]

Dirac describió la cuantificación del campo electromagnético como un conjunto de osciladores armónicos con la introducción del concepto de operadores de creación y aniquilación de partículas. En los años siguientes, con contribuciones de Wolfgang Pauli , Eugene Wigner , Pascual Jordan , Werner Heisenberg y una elegante formulación de la electrodinámica cuántica de Enrico Fermi , ^[8] los físicos llegaron a creer que, en principio, sería posible realizar cualquier cálculo. para cualquier proceso físico que involucre fotones y partículas cargadas. Sin embargo, estudios posteriores realizados por Felix Bloch con Arnold Nordsieck , ^[9] y Victor Weisskopf , ^[10] en 1937 y 1939, revelaron que tales cálculos eran confiables sólo en un primer orden de la teoría de la perturbación , un problema ya señalado por Robert Oppenheimer . ^[11] En órdenes superiores de la serie surgieron infinitos, lo que hizo que tales cálculos carecieran de sentido y arrojara serias dudas sobre la coherencia interna de la teoría misma. Sin que en ese momento se conociera una solución para este problema, parecía que existía una incompatibilidad fundamental entre la relatividad especial y la mecánica cuántica .

Hans Béthe

Las dificultades con la teoría aumentaron hasta finales de la década de 1940. Las mejoras en la tecnología de microondas permitieron tomar medidas más precisas del desplazamiento de los niveles de un átomo de hidrógeno , ^[12] ahora conocido como desplazamiento de Lamb y momento magnético del electrón. ^[13] Estos experimentos expusieron discrepancias que la teoría no pudo explicar.

Una primera indicación de una posible salida la dio Hans Bethe en 1947, ^[14] después de asistir a la Conferencia de Shelter Island . ^[15] Mientras viajaba en tren desde la conferencia a Schenectady , hizo el primer cálculo no relativista del desplazamiento de las líneas del átomo de hidrógeno medido por Lamb y Retherford . ^[14] A pesar de las limitaciones del cálculo, el acuerdo fue excelente. La idea era simplemente asignar infinitos a las correcciones de masa y carga que en realidad se fijaban en un valor finito mediante experimentos. De esta manera, los infinitos quedan absorbidos en esas constantes y producen un resultado finito que concuerda con los experimentos. Este procedimiento se denominó renormalización .

Feynman (centro) y Oppenheimer (derecha) en Los Alamos .

Basado en la intuición de Bethe y en artículos fundamentales sobre el tema de Shin'ichirō Tomonaga , ^[16] Julian Schwinger , ^{[17] [18]} Richard Feynman ^{[1] [19] [20]} y Freeman Dyson , ^[21] [ 22 ^] Finalmente fue posible obtener formulaciones totalmente covariantes que fueran finitas en cualquier orden en una serie de perturbaciones de la electrodinámica cuántica. Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger y Richard Feynman recibieron conjuntamente el Premio Nobel de Física en 1965 por sus trabajos en este campo. ^[23] Sus contribuciones, y las de Freeman Dyson , versaron sobre formulaciones covariantes e invariantes de calibre de la electrodinámica cuántica que permiten cálculos de observables en cualquier orden de la teoría de perturbaciones . La técnica matemática de Feynman, basada en sus diagramas , inicialmente parecía muy diferente del enfoque basado en operadores y teoría de campos de Schwinger y Tomonaga, pero Freeman Dyson demostró más tarde que los dos enfoques eran equivalentes. ^[21] La renormalización , la necesidad de atribuir un significado físico a ciertas divergencias que aparecen en la teoría a través de integrales , se ha convertido posteriormente en uno de los aspectos fundamentales de la teoría cuántica de campos y ha llegado a ser vista como un criterio para la aceptabilidad general de una teoría. Aunque la renormalización funciona muy bien en la práctica, Feynman nunca se sintió del todo cómodo con su validez matemática, e incluso se refirió a la renormalización como un "juego de caparazón" y un "hocus pocus". ^{[2] : 128}

Por tanto, ni Feynman ni Dirac estaban contentos con esa forma de abordar las observaciones realizadas en física teórica, sobre todo en mecánica cuántica. ^[24]

QED ha servido como modelo y plantilla para todas las teorías cuánticas de campos posteriores. Una de esas teorías posteriores es la cromodinámica cuántica , que comenzó a principios de los años 1960 y alcanzó su forma actual en los trabajos de los años 1970 de H. David Politzer , Sidney Coleman , David Gross y Frank Wilczek . Basándose en el trabajo pionero de Schwinger , Gerald Guralnik , Dick Hagen y Tom Kibble , ^{[25] [26]} Peter Higgs , Jeffrey Goldstone y otros, Sheldon Glashow , Steven Weinberg y Abdus Salam demostraron de forma independiente cómo la fuerza nuclear débil y la fuerza cuántica La electrodinámica podría fusionarse en una sola fuerza electrodébil .

La visión de Feynman de la electrodinámica cuántica

Introducción

Cerca del final de su vida, Richard Feynman dio una serie de conferencias sobre QED destinadas al público no especializado. Estas conferencias fueron transcritas y publicadas como Feynman (1985), QED: The Strange Theory of Light and Matter , ^[2] una exposición clásica no matemática de QED desde el punto de vista que se articula a continuación.

Los componentes clave de la presentación de QED de Feynman son tres acciones básicas. ^{[2] : 85}

Un fotón va de un lugar y tiempo a otro lugar y tiempo.

Un electrón va de un lugar y tiempo a otro lugar y tiempo.

Un electrón emite o absorbe un fotón en un lugar y momento determinados.

Elementos del diagrama de Feynman

Estas acciones se representan en forma de taquigrafía visual mediante los tres elementos básicos de los diagramas : una línea ondulada para el fotón, una línea recta para el electrón y una unión de dos líneas rectas y una ondulada para un vértice que representa la emisión o absorción de un fotón por un electrón. Todos estos se pueden ver en el diagrama adyacente.

Además de la taquigrafía visual de las acciones, Feynman introduce otro tipo de taquigrafía para las cantidades numéricas llamadas amplitudes de probabilidad. La probabilidad es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de probabilidad total, . Si un fotón se mueve de un lugar y tiempo a otro lugar y tiempo , la cantidad asociada se escribe en taquigrafía de Feynman como , y depende únicamente del impulso y la polarización del fotón. La cantidad similar para un electrón que se mueve de a se escribe . Depende del momento y la polarización del electrón, además de una constante que Feynman llama n , a veces llamada masa "desnuda" del electrón: está relacionada con la masa del electrón medida, pero no es la misma. Finalmente, Feynman llama j a la cantidad que nos informa sobre la amplitud de probabilidad de que un electrón emita o absorba un fotón , y a veces se la denomina carga "desnuda" del electrón: es una constante y está relacionada con ella, pero no con ella. igual que, la carga de electrones medida e . ^{[2] : 91} ${\displaystyle {\text{probability}}=|f({\text{amplitude}})|^{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P(A{\text{ to }}B)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E(C{\text{ to }}D)}$

QED se basa en el supuesto de que las interacciones complejas de muchos electrones y fotones se pueden representar juntando una colección adecuada de los tres bloques de construcción anteriores y luego usando las amplitudes de probabilidad para calcular la probabilidad de cualquier interacción compleja. Resulta que la idea básica de QED se puede comunicar suponiendo que el cuadrado del total de las amplitudes de probabilidad mencionadas anteriormente ( P ( A a B ), E ( C a D ) y j ) actúa igual que nuestra probabilidad cotidiana ( una simplificación hecha en el libro de Feynman). Más adelante, esto se corregirá para incluir matemáticas específicamente de estilo cuántico, siguiendo a Feynman.

Las reglas básicas de amplitudes de probabilidad que se utilizarán son: ^{[2] : 93}

1. Si un evento puede ocurrir a través de varios procesos alternativos indistinguibles (también conocidos como procesos "virtuales"), entonces su amplitud de probabilidad es la suma de las amplitudes de probabilidad de las alternativas.
2. Si un proceso virtual involucra varios subprocesos independientes o concomitantes, entonces la amplitud de probabilidad del proceso total (compuesto) es el producto de las amplitudes de probabilidad de los subprocesos.

El criterio de indistinguibilidad en (a) es muy importante: significa que no hay ninguna característica observable presente en el sistema dado que de alguna manera "revele" qué alternativa se toma. En tal caso, no se puede observar qué alternativa tiene lugar realmente sin cambiar la configuración experimental de alguna manera (por ejemplo, introduciendo un nuevo aparato en el sistema). Siempre que uno puede observar qué alternativa tiene lugar, siempre encuentra que la probabilidad del evento es la suma de las probabilidades de las alternativas. De hecho, si este no fuera el caso, el propio término "alternativas" para describir estos procesos sería inapropiado. Lo que (a) dice es que una vez que se eliminan los medios físicos para observar qué alternativa ocurrió , todavía no se puede decir que el evento está ocurriendo a través de "exactamente una de las alternativas" en el sentido de agregar probabilidades; en su lugar, hay que sumar las amplitudes. ^{[2] : 82}

De manera similar, el criterio de independencia en (b) es muy importante: sólo se aplica a procesos que no están "entrelazados".

Construcciones basicas

Supongamos que comenzamos con un electrón en un lugar y momento determinados (a este lugar y tiempo se les asigna la etiqueta arbitraria A ) y un fotón en otro lugar y momento (dada la etiqueta B ). Una pregunta típica desde el punto de vista físico es: "¿Cuál es la probabilidad de encontrar un electrón en C (otro lugar y un momento posterior) y un fotón en D (otro lugar y tiempo más)?". El proceso más sencillo para lograr este fin es que el electrón se mueva de A a C (una acción elemental) y que el fotón se mueva de B a D (otra acción elemental). A partir del conocimiento de las amplitudes de probabilidad de cada uno de estos subprocesos – E ( A a C ) y P ( B a D ) – esperaríamos calcular la amplitud de probabilidad de que ambos ocurran juntos multiplicándolos, usando la regla b) anterior. . Esto da una amplitud de probabilidad general estimada simple, que se eleva al cuadrado para dar una probabilidad estimada. ^{[ cita necesaria ]}

dispersión Compton

Pero hay otras maneras en que podría producirse el resultado. El electrón podría moverse a un lugar y momento E , donde absorbe el fotón; luego continúe antes de emitir otro fotón en F ; luego pasa a C , donde se detecta, mientras el nuevo fotón pasa a D. La probabilidad de este complejo proceso puede calcularse nuevamente conociendo las amplitudes de probabilidad de cada una de las acciones individuales: tres acciones de electrones, dos acciones de fotones y dos vértices: una emisión y una absorción. Esperaríamos encontrar la amplitud de probabilidad total multiplicando las amplitudes de probabilidad de cada una de las acciones, para cualquier posición elegida de E y F. Luego, usando la regla a) anterior , tenemos que sumar todas estas amplitudes de probabilidad para todas las alternativas para E y F. (Esto no es elemental en la práctica e implica integración .) Pero hay otra posibilidad, que es que el electrón se mueva primero a G , donde emite un fotón, que pasa a D , mientras que el electrón se mueve a H , donde absorbe el primer fotón, antes de pasar a C. Nuevamente, podemos calcular la amplitud de probabilidad de estas posibilidades (para todos los puntos G y H ). Entonces tenemos una mejor estimación de la amplitud de probabilidad total sumando las amplitudes de probabilidad de estas dos posibilidades a nuestra estimación simple original. Por cierto, el nombre que se le da a este proceso de interacción de un fotón con un electrón es dispersión de Compton . ^{[ cita necesaria ]}

Hay un número infinito de otros procesos "virtuales" intermedios en los que se absorben y/o emiten cada vez más fotones. Para cada uno de estos procesos, se podría dibujar un diagrama de Feynman que lo describa. Esto implica un cálculo complejo para las amplitudes de probabilidad resultantes, pero siempre que cuanto más complicado sea el diagrama, menos contribuye al resultado, es sólo cuestión de tiempo y esfuerzo encontrar una respuesta tan precisa como se desee. a la pregunta original. Este es el enfoque básico de QED. Para calcular la probabilidad de cualquier proceso interactivo entre electrones y fotones, es cuestión de observar primero, con diagramas de Feynman, todas las formas posibles en que se puede construir el proceso a partir de los tres elementos básicos. Cada diagrama implica algún cálculo que involucra reglas definidas para encontrar la amplitud de probabilidad asociada.

Ese andamiaje básico permanece cuando se pasa a una descripción cuántica, pero se necesitan algunos cambios conceptuales. Una es que, si bien podríamos esperar que en nuestra vida cotidiana hubiera algunas restricciones sobre los puntos hacia los cuales una partícula puede moverse, eso no es cierto en la electrodinámica cuántica completa. Existe una amplitud de probabilidad distinta de cero de que un electrón en A , o un fotón en B , se mueva como acción básica a cualquier otro lugar y momento del universo . Esto incluye lugares a los que sólo se podía llegar a velocidades superiores a la de la luz y también en épocas anteriores . (Un electrón que retrocede en el tiempo puede verse como un positrón que avanza en el tiempo). ^{[2] : 89, 98–99}

amplitudes de probabilidad

Feynman reemplaza los números complejos con flechas giratorias, que comienzan en la emisión y terminan en la detección de una partícula. La suma de todas las flechas resultantes da una flecha final cuya longitud al cuadrado es igual a la probabilidad del evento. En este diagrama, la luz emitida por la fuente S puede llegar al detector en P rebotando en el espejo (en azul) en varios puntos. Cada uno de los caminos tiene asociada una flecha (cuya dirección cambia uniformemente con el tiempo que tarda la luz en recorrer el camino). Para calcular correctamente la probabilidad total de que la luz llegue a P comenzando en S , es necesario sumar las flechas de todos esos caminos. El siguiente gráfico muestra el tiempo total empleado para recorrer cada uno de los caminos anteriores.

La mecánica cuántica introduce un cambio importante en la forma en que se calculan las probabilidades. Las probabilidades todavía están representadas por los números reales habituales que usamos para las probabilidades en nuestro mundo cotidiano, pero las probabilidades se calculan como el módulo cuadrado de las amplitudes de probabilidad , que son números complejos .

Feynman evita exponer al lector a las matemáticas de los números complejos utilizando una representación simple pero precisa de ellos como flechas en una hoja de papel o en una pantalla. (Estos no deben confundirse con las flechas de los diagramas de Feynman, que son representaciones simplificadas en dos dimensiones de una relación entre puntos en tres dimensiones del espacio y una del tiempo). Las flechas de amplitud son fundamentales para la descripción del mundo dada por la cuántica. teoría. Están relacionados con nuestras ideas cotidianas sobre la probabilidad mediante la simple regla de que la probabilidad de un evento es el cuadrado de la longitud de la flecha de amplitud correspondiente. Entonces, para un proceso dado, si están involucradas dos amplitudes de probabilidad, v y w , la probabilidad del proceso estará dada por

${\displaystyle P=|\mathbf {v} +\mathbf {w} |^{2}}$

o

${\displaystyle P=|\mathbf {v} \,\mathbf {w} |^{2}.}$

Sin embargo, las reglas para sumar o multiplicar son las mismas que las anteriores. Pero donde se esperaría sumar o multiplicar probabilidades, en lugar de eso se suman o multiplican amplitudes de probabilidad que ahora son números complejos.

Suma de amplitudes de probabilidad como números complejos.

Multiplicación de amplitudes de probabilidad como números complejos.

La suma y la multiplicación son operaciones comunes en la teoría de números complejos y se muestran en las figuras. La suma se encuentra de la siguiente manera. Deje que el inicio de la segunda flecha esté al final de la primera. La suma es entonces una tercera flecha que va directamente desde el inicio de la primera hasta el final de la segunda. El producto de dos flechas es una flecha cuya longitud es el producto de las dos longitudes. La dirección del producto se encuentra sumando los ángulos en los que se ha girado cada uno de los dos con respecto a una dirección de referencia: eso da el ángulo en el que se gira el producto con respecto a la dirección de referencia.

Ese cambio, de probabilidades a amplitudes de probabilidad, complica las matemáticas sin cambiar el enfoque básico. Pero ese cambio todavía no es suficiente porque no tiene en cuenta el hecho de que tanto los fotones como los electrones pueden polarizarse, es decir, que deben tenerse en cuenta sus orientaciones en el espacio y el tiempo. Por lo tanto, P ( A a B ) consta de 16 números complejos, o flechas de amplitud de probabilidad. ^{[2] : 120–121} También hay algunos cambios menores relacionados con la cantidad j , que puede tener que rotarse en un múltiplo de 90° para algunas polarizaciones, lo cual sólo es de interés para la contabilidad detallada.

Asociado al hecho de que el electrón puede polarizarse hay otro pequeño detalle necesario, que está relacionado con el hecho de que un electrón es un fermión y obedece a la estadística de Fermi-Dirac . La regla básica es que si tenemos la amplitud de probabilidad para un proceso complejo dado que involucra a más de un electrón, entonces cuando incluimos (como siempre debemos hacer) el diagrama complementario de Feynman en el que intercambiamos dos eventos de electrones, la amplitud resultante es la inversa. – el negativo – del primero. El caso más simple sería dos electrones que comienzan en A y B y terminan en C y D. La amplitud se calcularía como la "diferencia", E ( A to D ) × E ( B to C ) − E ( A to C ) × E ( B to D ) , donde esperaríamos, de nuestra idea cotidiana de probabilidades , que sería una suma. ^{[2] : 112-113}

propagadores

Finalmente, hay que calcular P ( A a B ) y E ( C a D ) correspondientes a las amplitudes de probabilidad para el fotón y el electrón respectivamente. Estas son esencialmente las soluciones de la ecuación de Dirac , que describe el comportamiento de la amplitud de probabilidad del electrón, y de las ecuaciones de Maxwell , que describe el comportamiento de la amplitud de probabilidad del fotón. Estos se llaman propagadores de Feynman . La traducción a una notación comúnmente utilizada en la literatura estándar es la siguiente:

${\displaystyle P(A{\text{ to }}B)\to D_{F}(x_{B}-x_{A}),\quad E(C{\text{ to }}D)\to S_{F}(x_{D}-x_{C}),}$

donde un símbolo abreviado como representa los cuatro números reales que dan la hora y la posición en tres dimensiones del punto denominado A. ${\displaystyle x_{A}}$

Renormalización masiva

Bucle de autoenergía electrónica

Históricamente surgió un problema que detuvo el progreso durante veinte años: aunque partimos del supuesto de tres acciones básicas "simples", las reglas del juego dicen que si queremos calcular la amplitud de probabilidad de que un electrón vaya de A a B , debemos tener en cuenta todas las formas posibles: todos los diagramas de Feynman posibles con esos puntos finales. Por lo tanto , habrá una forma en la que el electrón viaje a C , emita un fotón allí y luego lo absorba nuevamente en D antes de pasar a B. O podría hacer este tipo de cosas dos veces o más. En resumen, tenemos una situación similar a un fractal en la que si miramos de cerca una línea, se divide en una colección de líneas "simples", cada una de las cuales, si se mira de cerca, a su vez está compuesta de líneas "simples". , y así hasta el infinito . Esta es una situación difícil de manejar. Si agregar ese detalle solo alterara ligeramente las cosas, entonces no habría sido tan malo, pero se produjo un desastre cuando se descubrió que la simple corrección mencionada anteriormente conducía a amplitudes de probabilidad infinitas . Con el tiempo, este problema se "solucionó" mediante la técnica de renormalización . Sin embargo, el propio Feynman no estaba contento con ello, calificándolo de "proceso dippy", ^{[2] : 128} y Dirac también criticó este procedimiento porque "en matemáticas uno no se deshace de los infinitos cuando no le agrada". ^[24]

Conclusiones

Dentro del marco anterior, los físicos pudieron calcular con un alto grado de precisión algunas de las propiedades de los electrones, como el momento dipolar magnético anómalo . Sin embargo, como señala Feynman, no explica por qué partículas como el electrón tienen las masas que tienen. "No existe ninguna teoría que explique adecuadamente estos números. Usamos los números en todas nuestras teorías, pero no los entendemos: qué son o de dónde vienen. Creo que, desde un punto de vista fundamental, esto es un problema muy interesante y serio." ^{[2] : 152}

formulación matemática

acción QED

Matemáticamente, QED es una teoría de calibre abeliano con el grupo de simetría U(1) , definido en el espacio de Minkowski (espaciotiempo plano). El campo de calibre , que media la interacción entre los campos cargados de espín 1/2 , es el campo electromagnético . El QED Lagrangiano para un campo de espín 1/2 que interactúa con el campo electromagnético en unidades naturales da lugar a la acción ^{[27] : 78}

Acción QED

${\displaystyle S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi \right]}$

dónde

• ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$son matrices de Dirac .
• ${\displaystyle \psi }$un campo bispinor de partículas de espín 1/2 (por ejemplo, campo de electrones y positrones ).
• ${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$, llamado "psi-bar", a veces se denomina adjunto de Dirac .
• ${\displaystyle D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }}$es la derivada covariante de calibre .
  • e es la constante de acoplamiento , igual a la carga eléctrica del campo bispinor.
  • ${\displaystyle A_{\mu }}$es el cuatro potencial covariante del campo electromagnético generado por el propio electrón. También se le conoce como campo de calibre o conexión. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$
  • ${\displaystyle B_{\mu }}$es el campo externo impuesto por una fuente externa.
• m es la masa del electrón o positrón.
• ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$es el tensor de campo electromagnético . Esto también se conoce como curvatura del campo de calibre.

Ampliar la derivada covariante revela una segunda forma útil del lagrangiano (el campo externo se establece en cero por simplicidad) ${\displaystyle B_{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -ej^{\mu }A_{\mu }}$

¿Dónde está la corriente conservada que surge del teorema de Noether? Está escrito ${\displaystyle j^{\mu }}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

Ecuaciones de movimiento

Al expandir la derivada covariante en el lagrangiano se obtiene

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi }$

${\displaystyle =-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -ej^{\mu }A_{\mu }.}$

Por simplicidad, se ha puesto a cero. Alternativamente, podemos absorber en un nuevo campo de calibre y volver a etiquetar el nuevo campo como ${\displaystyle B_{\mu }}$ ${\displaystyle B_{\mu }}$ ${\displaystyle A'_{\mu }=A_{\mu }+B_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }.}$

A partir de este lagrangiano se pueden obtener las ecuaciones de movimiento para los campos y . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

Ecuación de movimiento para ψ

Estos surgen de manera más sencilla al considerar la ecuación de Euler-Lagrange para . Como el lagrangiano no contiene términos, inmediatamente obtenemos ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }{\bar {\psi }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\bar {\psi }}}}=0}$

entonces la ecuación de movimiento se puede escribir ${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =e\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi .}$

Ecuación de movimiento para A _μ

• Usando la ecuación de Euler-Lagrange para el campo, ${\displaystyle A_{\mu }}$

los derivados esta vez son

$${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right),}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$$

Sustituyendo nuevamente en ( 3 ) conduce a

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\psi }$

que se puede escribir en términos de la corriente como ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle j^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=ej^{\nu }.}$

Ahora bien, si imponemos la condición del calibre de Lorenz

$${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0,}$$

$${\displaystyle \Box A^{\mu }=ej^{\mu },}$$

ecuación de ondaecuaciones clásicas de Maxwellcalibre de Lorenzoperador de onda ${\displaystyle \Box =\partial _{\mu }\partial ^{\mu }}$

Imagen de interacción

Esta teoría se puede cuantificar directamente tratando los sectores bosónicos y fermiónicos ^{[ se necesita aclaración ]} como libres. Esto nos permite construir un conjunto de estados asintóticos que pueden usarse para iniciar el cálculo de las amplitudes de probabilidad para diferentes procesos. Para hacerlo, tenemos que calcular un operador de evolución , que para un estado inicial dado dará un estado final de tal manera que tenga ^{[27] : 5} ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle \langle f|}$

$${\displaystyle M_{fi}=\langle f|U|i\rangle .}$$

Esta técnica también se conoce como matriz S. El operador de evolución se obtiene en la imagen de interacción , donde la evolución temporal viene dada por la interacción hamiltoniana, que es la integral en el espacio del segundo término en la densidad lagrangiana dada anteriormente: ^{[27] : 123}

$${\displaystyle V=e\int d^{3}x\,{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$$

y entonces se tiene ^{[27] : 86}

$${\displaystyle U=T\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,V(t')\right],}$$

donde T es el operador de ordenamiento temporal . Este operador de evolución sólo tiene significado como serie, y lo que obtenemos aquí es una serie de perturbaciones con la constante de estructura fina como parámetro de desarrollo. Esta serie se llama serie Dyson .

diagramas de feynman

A pesar de la claridad conceptual de este enfoque de Feynman sobre la QED, casi ninguno de los primeros libros de texto lo sigue en su presentación. A la hora de realizar cálculos, es mucho más sencillo trabajar con las transformadas de Fourier de los propagadores . Las pruebas experimentales de electrodinámica cuántica suelen ser experimentos de dispersión. En la teoría de la dispersión, se consideran los momentos de las partículas más que sus posiciones, y es conveniente pensar que las partículas se crean o se aniquilan cuando interactúan. Los diagramas de Feynman tienen entonces el mismo aspecto , pero las líneas tienen interpretaciones diferentes. La línea del electrón representa un electrón con una energía y un momento dados, con una interpretación similar a la línea del fotón. Un diagrama de vértices representa la aniquilación de un electrón y la creación de otro junto con la absorción o creación de un fotón, cada uno con energías y momentos específicos.

Utilizando el teorema de Wick sobre los términos de la serie de Dyson, todos los términos de la matriz S para la electrodinámica cuántica se pueden calcular mediante la técnica de los diagramas de Feynman . En este caso, las reglas para dibujar son las siguientes ^{[27] : 801–802}

A estas reglas debemos agregar otra para circuitos cerrados que implica una integración en los momentos , ya que estas partículas internas ("virtuales") no están limitadas a ninguna energía-momento específica, ni siquiera la que normalmente requiere la relatividad especial (ver Propagador para más detalles). ). La firma de la métrica es . ${\textstyle \int d^{4}p/(2\pi )^{4}}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {\rm {diag}}(+---)}$

A partir de ellos se obtienen de forma sencilla cálculos de amplitudes de probabilidad . Un ejemplo es la dispersión de Compton , en la que un electrón y un fotón sufren dispersión elástica . Los diagramas de Feynman son en este caso ^{[27] : 158-159}

y así podemos obtener la amplitud correspondiente en el primer orden de una serie de perturbaciones para la matriz S :

$${\displaystyle M_{fi}=(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}{\frac {p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e}}{(p+k)^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda )u({\vec {p}},s)+(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda ){\frac {p\!\!\!/-k\!\!\!/'+m_{e}}{(p-k')^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}u({\vec {p}},s),}$$

a partir del cual podemos calcular la sección transversal para esta dispersión.

Fenómenos no perturbativos

El éxito predictivo de la electrodinámica cuántica depende en gran medida del uso de la teoría de la perturbación, expresada en diagramas de Feynman. Sin embargo, la electrodinámica cuántica también conduce a predicciones que van más allá de la teoría de la perturbación. En presencia de campos eléctricos muy fuertes, predice que se producirán espontáneamente electrones y positrones, provocando así la desintegración del campo. Este proceso, llamado efecto Schwinger , ^[28] no puede entenderse en términos de un número finito de diagramas de Feynman y, por lo tanto, se describe como no perturbativo . Matemáticamente, puede derivarse mediante una aproximación semiclásica a la integral de trayectoria de la electrodinámica cuántica.

Renormalizabilidad

Los términos de orden superior se pueden calcular directamente para el operador de evolución, pero estos términos muestran diagramas que contienen los siguientes más simples ^{[27] : capítulo 10}

• 
  Contribución de un bucle a la función de polarización del vacío. ${\displaystyle \Pi }$
• 
  Contribución de un bucle a la función de autoenergía del electrón. ${\displaystyle \Sigma }$
• 
  Contribución de un bucle a la función de vértice ${\displaystyle \Gamma }$

que, al ser bucles cerrados, implican la presencia de integrales divergentes que no tienen significado matemático. Para superar esta dificultad, se ha ideado una técnica llamada renormalización , que produce resultados finitos que coinciden muy estrechamente con los experimentos. Un criterio para que la teoría sea significativa después de la renormalización es que el número de diagramas divergentes sea finito. En este caso, se dice que la teoría es "renormalizable". La razón de esto es que para volver a normalizar los observables, se necesita un número finito de constantes para mantener intacto el valor predictivo de la teoría. Éste es exactamente el caso de la electrodinámica cuántica, que muestra sólo tres diagramas divergentes. Este procedimiento proporciona observables que concuerdan muy estrechamente con los experimentos, como se ve, por ejemplo, para la relación giromagnética de los electrones .

La renormalizabilidad se ha convertido en un criterio esencial para que una teoría cuántica de campos sea considerada viable. Todas las teorías que describen interacciones fundamentales , excepto la gravitación , cuya contraparte cuántica es sólo conjetural y actualmente bajo investigación muy activa, son teorías renormalizables.

No convergencia de series

Un argumento de Freeman Dyson muestra que el radio de convergencia de la serie de perturbaciones en QED es cero. ^[29] El argumento básico es el siguiente: si la constante de acoplamiento fuera negativa, esto sería equivalente a que la constante de fuerza de Coulomb fuera negativa. Esto "revertiría" la interacción electromagnética de modo que las cargas similares se atraerían y las cargas diferentes se repelerían . Esto haría que el vacío fuera inestable frente a la desintegración en un grupo de electrones en un lado del universo y un grupo de positrones en el otro lado del universo. Debido a que la teoría está "enferma" para cualquier valor negativo de la constante de acoplamiento, la serie no converge sino que, en el mejor de los casos, es una serie asintótica .

Desde una perspectiva moderna, decimos que la QED no está bien definida como una teoría cuántica de campos para energías arbitrariamente altas. ^[30] La constante de acoplamiento corre hasta el infinito con energía finita, lo que indica un polo de Landau . El problema es esencialmente que la QED parece sufrir problemas de trivialidad cuántica . Ésta es una de las motivaciones para incorporar la QED dentro de una Gran Teoría Unificada .

Electrodinámica en el espacio-tiempo curvo.

Esta teoría puede extenderse, al menos como teoría de campos clásica, al espacio-tiempo curvo. Esto surge de manera similar al caso del espacio-tiempo plano, al acoplar una teoría electromagnética libre a una teoría de fermiones libres e incluir una interacción que promueve la derivada parcial en la teoría de fermiones a una derivada covariante de calibre.

Ver también

• Portal de física

• Fuerza Abraham-Lorentz
• Momento magnético anómalo
• dispersión de bhabha
• Electrodinámica cuántica de cavidades.
• Circuito de electrodinámica cuántica.
• dispersión Compton
• Lagrangiano de Euler-Heisenberg
• Formalismo de Gupta-Bleuler
• turno de cordero
• Polo Landau
• dispersión de Moeller
• Electrodinámica cuántica no relativista
• Polarización de fotones
• Positronio
• Pruebas de precisión de QED
• vacío QED
• QED: La extraña teoría de la luz y la materia
• Cuantización del campo electromagnético.
• Electrodinámica escalar
• ecuación de Schrödinger
• modelo schwinger
• Ecuación de Schwinger-Dyson
• Polarización al vacío
• función de vértice
• Teoría del absorbente de Wheeler-Feynman

Referencias

1. RP Feynman (1949). "Enfoque espacio-temporal de la electrodinámica cuántica". Revisión física . 76 (6): 769–89. Código bibliográfico : 1949PhRv...76..769F. doi : 10.1103/PhysRev.76.769 .
2. Feynman, Richard (1985). QED: La extraña teoría de la luz y la materia . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-12575-6.
3. Feynman, RP (1950). "Formulación matemática de la teoría cuántica de la interacción electromagnética". Revisión física . 80 (3): 440–457. Código Bib : 1950PhRv...80..440F. doi : 10.1103/PhysRev.80.440.
4. Venkataraman, Ganeshan (1994). Revolución Cuántica II - QED: La joya de la física . ISBN 978-8173710032.
5. "Probando los límites del modelo estándar de física de partículas con un ion pesado y altamente cargado". Naturaleza . 2023-10-05. doi :10.1038/d41586-023-02620-7. S2CID  263670732 . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
6. PAM Dirac (1927). "La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación". Actas de la Royal Society de Londres A. 114 (767): 243–65. Código bibliográfico : 1927RSPSA.114..243D. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 .
7. "Teoría cuántica de campos> La historia de QFT (Enciclopedia de Filosofía de Stanford)". plato.stanford.edu . Consultado el 22 de octubre de 2023 .
8. E. Fermi (1932). "Teoría cuántica de la radiación". Reseñas de Física Moderna . 4 (1): 87-132. Código Bib : 1932RvMP....4...87F. doi :10.1103/RevModPhys.4.87.
9. Bloch, F .; Nordsieck, A. (1937). "Nota sobre el campo de radiación del electrón". Revisión física . 52 (2): 54–59. Código bibliográfico : 1937PhRv...52...54B. doi : 10.1103/PhysRev.52.54.
10. VF Weisskopf (1939). "Sobre la autoenergía y el campo electromagnético del electrón". Revisión física . 56 (1): 72–85. Código bibliográfico : 1939PhRv...56...72W. doi : 10.1103/PhysRev.56.72.
11. R. Oppenheimer (1930). "Nota sobre la teoría de la interacción entre campo y materia". Revisión física . 35 (5): 461–77. Código bibliográfico : 1930PhRv...35..461O. doi : 10.1103/PhysRev.35.461.
12. Cordero, Willis ; Retherford, Robert (1947). "Estructura fina del átomo de hidrógeno mediante un método de microondas". Revisión física . 72 (3): 241–43. Código bibliográfico : 1947PhRv...72..241L. doi : 10.1103/PhysRev.72.241 .
13. Foley, HM ; Kusch, P. (1948). "Sobre el momento intrínseco del electrón". Revisión física . 73 (3): 412. Código bibliográfico : 1948PhRv...73..412F. doi : 10.1103/PhysRev.73.412.
14. H. Bethe (1947). "El cambio electromagnético de los niveles de energía". Revisión física . 72 (4): 339–41. Código bibliográfico : 1947PhRv...72..339B. doi : 10.1103/PhysRev.72.339. S2CID  120434909.
15. Schweber, Silvan (1994). "Capítulo 5". QED y los hombres que lo hicieron: Dyson, Feynman, Schwinger y Tomonaga . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 230.ISBN _ 978-0-691-03327-3.
16. S. Tomonaga (1946). "Sobre una formulación relativista invariante de la teoría cuántica de los campos ondulatorios". Progresos de la Física Teórica . 1 (2): 27–42. Código Bib : 1946PThPh...1...27T. doi : 10.1143/PTP.1.27 .
17. J. Schwinger (1948). "Sobre la electrodinámica cuántica y el momento magnético del electrón". Revisión física . 73 (4): 416–17. Código bibliográfico : 1948PhRv...73..416S. doi : 10.1103/PhysRev.73.416 .
18. J. Schwinger (1948). "Electrodinámica cuántica. I. Una formulación covariante". Revisión física . 74 (10): 1439–61. Código bibliográfico : 1948PhRv...74.1439S. doi : 10.1103/PhysRev.74.1439.
19. RP Feynman (1949). "La teoría de los positrones". Revisión física . 76 (6): 749–59. Código bibliográfico : 1949PhRv...76..749F. doi : 10.1103/PhysRev.76.749. S2CID  120117564.
20. RP Feynman (1950). "Formulación matemática de la teoría cuántica de la interacción electromagnética" (PDF) . Revisión física . 80 (3): 440–57. Código Bib : 1950PhRv...80..440F. doi : 10.1103/PhysRev.80.440.
21. F. Dyson (1949). "Las teorías de la radiación de Tomonaga, Schwinger y Feynman". Revisión física . 75 (3): 486–502. Código bibliográfico : 1949PhRv...75..486D. doi : 10.1103/PhysRev.75.486 .
22. F. Dyson (1949). "La Matriz S en Electrodinámica Cuántica". Revisión física . 75 (11): 1736–55. Código bibliográfico : 1949PhRv...75.1736D. doi : 10.1103/PhysRev.75.1736.
23. "El Premio Nobel de Física 1965". Fundación Nobel . Consultado el 9 de octubre de 2008 .
24. La historia del positrón - Paul Dirac (1975) , consultado el 19 de julio de 2023
25. Guralnik, GS; Hagen, CR; Croquetas, TWB (1964). "Leyes de conservación global y partículas sin masa". Cartas de revisión física . 13 (20): 585–87. Código bibliográfico : 1964PhRvL..13..585G. doi : 10.1103/PhysRevLett.13.585 .
26. Guralnik, GS (2009). "La historia del desarrollo de Guralnik, Hagen y Kibble de la teoría de la ruptura espontánea de la simetría y las partículas calibre". Revista Internacional de Física Moderna A. 24 (14): 2601–27. arXiv : 0907.3466 . Código Bib : 2009IJMPA..24.2601G. doi :10.1142/S0217751X09045431. S2CID  16298371.
27. Peskin, Michael; Schroeder, Daniel (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos (Reimpresión ed.). Prensa de Westview. ISBN 978-0201503975.
28. Schwinger, Julián (1 de junio de 1951). "Sobre la invariancia del calibre y la polarización del vacío". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 82 (5): 664–679. Código bibliográfico : 1951PhRv...82..664S. doi : 10.1103/physrev.82.664. ISSN  0031-899X.
29. Kinoshita, Toichiro (5 de junio de 1997). "La electrodinámica cuántica tiene un radio de convergencia cero resumido por Toichiro Kinoshita" . Consultado el 6 de mayo de 2017 .
30. Espriu y Tarrach (30 de abril de 1996). "Ambigüedades en QED: renormalones versus trivialidad". Letras de Física B. 383 (4): 482–486. arXiv : hep-ph/9604431 . Código Bib : 1996PhLB..383..482E. doi :10.1016/0370-2693(96)00779-4. S2CID  119095192.

Otras lecturas

Libros

• Berestetskii, VB; Lifshitz, EM ; Pitaevskii, LP (1982). Curso de Física Teórica, Volumen 4: Electrodinámica Cuántica (2 ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-3371-0.
• De Broglie, L. (1925). Recherches sur la theorie des quanta [Investigación sobre la teoría cuántica] . Francia: Wiley-Interscience.
• Feynman, RP (1998). Electrodinámica cuántica (Nueva ed.). Prensa de Westview. ISBN 978-0-201-36075-2.
• Greiner, W.; Bromley, fiscal del distrito; Müller, B. (2000). Teoría del calibre de interacciones débiles . Saltador. ISBN 978-3-540-67672-0.
• Jauch, JM; Rohrlich, F. (1980). La teoría de los fotones y los electrones . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07295-1.
• Kane, GL (1993). Física de partículas elementales moderna . Prensa de Westview. ISBN 978-0-201-62460-1.
• Molinero, AI (1995). Electrodinámica cuántica temprana: un libro de consulta . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-56891-3.
• Milonni, PW (1994). El vacío cuántico: una introducción a la electrodinámica cuántica. Boston: Prensa académica. ISBN 0124980805. LCCN  93029780. OCLC  422797902.
• Schweber, SS (1994). QED y los hombres que lo crearon . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-03327-3.
• Schwinger, J. (1958). Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-60444-2.
• Tannoudji-Cohen, C .; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert (1997). Fotones y átomos: Introducción a la electrodinámica cuántica . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-18433-1.

Revistas

• Dudley, JM; Kwan, AM (1996). "Conferencias populares de Richard Feynman sobre electrodinámica cuántica: las conferencias Robb de 1979 en la Universidad de Auckland". Revista Estadounidense de Física . 64 (6): 694–98. Código bibliográfico : 1996AmJPh..64..694D. doi :10.1119/1.18234.

enlaces externos

• Conferencia del Premio Nobel de Feynman que describe la evolución de la QED y su papel en ella
• Conferencias de Feynman en Nueva Zelanda sobre QED para no físicos
• http://qed.wikina.org/ – Animaciones que demuestran QED