En geometría proyectiva , una homografía es un isomorfismo de espacios proyectivos , inducido por un isomorfismo de los espacios vectoriales de los que derivan los espacios proyectivos. [1] Es una biyección que asigna líneas a líneas y, por lo tanto, una colineación . En general, algunas colineaciones no son homografías, pero el teorema fundamental de la geometría proyectiva afirma que no es así en el caso de espacios proyectivos reales de dimensión al menos dos. Los sinónimos incluyen proyectividad , transformación proyectiva y colineación proyectiva .
Históricamente, las homografías (y los espacios proyectivos) se han introducido para estudiar la perspectiva y las proyecciones en la geometría euclidiana , y el término homografía , que, etimológicamente, significa aproximadamente "dibujo similar", data de esta época. A finales del siglo XIX se introdujeron definiciones formales de espacios proyectivos, que ampliaron los espacios euclidianos y afines mediante la adición de nuevos puntos llamados puntos en el infinito . El término "transformación proyectiva" se originó en estas construcciones abstractas. Estas construcciones se dividen en dos clases que se ha demostrado que son equivalentes. Un espacio proyectivo puede construirse como el conjunto de líneas de un espacio vectorial sobre un campo determinado (la definición anterior se basa en esta versión); esta construcción facilita la definición de coordenadas proyectivas y permite utilizar las herramientas del álgebra lineal para el estudio de homografías. El enfoque alternativo consiste en definir el espacio proyectivo a través de un conjunto de axiomas, que no involucran explícitamente ningún campo ( geometría de incidencia , véase también geometría sintética ); En este contexto, las colineaciones son más fáciles de definir que las homografías, y las homografías se definen como colineaciones específicas, llamadas "colineaciones proyectivas".
En aras de la simplicidad, a menos que se indique lo contrario, se supone que los espacios proyectivos considerados en este artículo están definidos sobre un campo (conmutativo) . De manera equivalente, se supone que el teorema del hexágono de Pappus y el teorema de Desargues son verdaderos. Una gran parte de los resultados siguen siendo ciertos o pueden generalizarse a geometrías proyectivas para las cuales estos teoremas no son válidos.
Históricamente, el concepto de homografía se había introducido para comprender, explicar y estudiar la perspectiva visual y, en concreto, la diferencia de apariencia de dos objetos planos vistos desde distintos puntos de vista.
En el espacio euclidiano tridimensional, una proyección central desde un punto O (el centro) sobre un plano P que no contiene O es el mapeo que envía un punto A a la intersección (si existe) de la línea OA y el plano. PAG . La proyección no está definida si el punto A pertenece al plano que pasa por O y es paralelo a P . La noción de espacio proyectivo se introdujo originalmente extendiendo el espacio euclidiano, es decir, agregándole puntos en el infinito , para definir la proyección para cada punto excepto O.
Dado otro plano Q , que no contiene O , la restricción a Q de la proyección anterior se llama perspectiva .
Con estas definiciones, una perspectiva es sólo una función parcial , pero se convierte en una biyección si se extiende a espacios proyectivos. Por tanto, esta noción normalmente se define para espacios proyectivos. La noción también se generaliza fácilmente a espacios proyectivos de cualquier dimensión, sobre cualquier campo , de la siguiente manera:
Dados dos espacios proyectivos P y Q de dimensión n , una perspectiva es una biyección de P a Q que puede obtenerse incrustando P y Q en un espacio proyectivo R de dimensión n + 1 y restringiendo a P una proyección central sobre Q.
Si f es una perspectiva de P a Q , y g una perspectiva de Q a P , con un centro diferente, entonces g ⋅ f es una homografía de P a sí mismo, lo que se llama colineación central , cuando la dimensión de P está en menos dos. (Ver § Colineaciones centrales a continuación y Perspectividad § Colineaciones en perspectiva ).
Originalmente, una homografía se definía como la composición de un número finito de perspectivas. [2] Es parte del teorema fundamental de la geometría proyectiva (ver más abajo) que esta definición coincide con la definición más algebraica esbozada en la introducción y detallada a continuación.
Un espacio proyectivo P( V ) de dimensión n sobre un campo K puede definirse como el conjunto de líneas que pasan por el origen en un K -espacio vectorial V de dimensión n + 1 . Si se ha fijado una base de V , un punto de V puede representarse por un punto ( x 0 , ..., x n ) de K n +1 . Un punto de P( V ), al ser una recta en V , puede así representarse mediante las coordenadas de cualquier punto distinto de cero de esta recta, que se denominan así coordenadas homogéneas del punto proyectivo.
Dados dos espacios proyectivos P( V ) y P( W ) de la misma dimensión, una homografía es una aplicación de P( V ) a P( W ), que es inducida por un isomorfismo de espacios vectoriales f : V → W . Tal isomorfismo induce una biyección de P( V ) a P( W ), debido a la linealidad de f . Dos de estos isomorfismos, f y g , definen la misma homografía si y sólo si hay un elemento a distinto de cero de K tal que g = af .
Esto puede escribirse en términos de coordenadas homogéneas de la siguiente manera: Una homografía φ puede definirse mediante una matriz no singular ( n +1) × ( n +1) [ ai , j ] , llamada matriz de la homografía . Esta matriz se define hasta la multiplicación por un elemento distinto de cero de K. Las coordenadas homogéneas [ x 0 : ... : x n ] de un punto y las coordenadas [ y 0 : ... : y n ] de su imagen por φ están relacionadas por
Cuando los espacios proyectivos se definen agregando puntos en el infinito a espacios afines (completación proyectiva), las fórmulas anteriores se convierten, en coordenadas afines,
lo que generaliza la expresión de la función homográfica de la siguiente sección. Esto define sólo una función parcial entre espacios afines, que se define sólo fuera del hiperplano donde el denominador es cero.
La línea proyectiva sobre un campo K puede identificarse con la unión de K y un punto, llamado "punto en el infinito" y denotado por ∞ (ver Línea proyectiva ). Con esta representación de la línea proyectiva, las homografías son los mapeos
las cuales se llaman funciones homográficas o transformaciones fraccionarias lineales .
En el caso de la recta proyectiva compleja , que puede identificarse con la esfera de Riemann , las homografías se denominan transformaciones de Möbius . Estos se corresponden precisamente con aquellas biyecciones de la esfera de Riemann que conservan la orientación y son conformes. [3]
En el estudio de las colineaciones, el caso de las líneas proyectivas es especial por su pequeña dimensión. Cuando la línea se ve como un espacio proyectivo de forma aislada, cualquier permutación de los puntos de una línea proyectiva es una colineación, [4] ya que todo conjunto de puntos es colineal. Sin embargo, si la línea proyectiva está incrustada en un espacio proyectivo de dimensiones superiores, la estructura geométrica de ese espacio se puede utilizar para imponer una estructura geométrica a la línea. Así, en geometría sintética, las homografías y las colineaciones de la línea proyectiva que se consideran son las obtenidas por restricciones a la línea de colineaciones y homografías de espacios de dimensión superior. Esto significa que el teorema fundamental de la geometría proyectiva (ver más abajo) sigue siendo válido en el entorno unidimensional. Una homografía de una línea proyectiva también se puede definir adecuadamente insistiendo en que el mapeo conserve las relaciones cruzadas . [5]
Un marco proyectivo o base proyectiva de un espacio proyectivo de dimensión n es un conjunto ordenado de n + 2 puntos tal que ningún hiperplano contiene n + 1 de ellos. Un marco proyectivo a veces se denomina simplex , [6] aunque un simplex en un espacio de dimensión n tiene como máximo n + 1 vértices.
En esta sección se consideran espacios proyectivos sobre un campo conmutativo K , aunque la mayoría de los resultados pueden generalizarse a espacios proyectivos sobre un anillo de división .
Sea P ( V ) un espacio proyectivo de dimensión n , donde V es un K -espacio vectorial de dimensión n + 1 , y p : V ∖ {0} → P ( V ) sea la proyección canónica que asigna un vector distinto de cero a la línea vectorial que lo contiene.
Para cada marco de P ( V ) , existe una base e 0 , ..., e n de V tal que el marco es ( p ( e 0 ), ..., p ( e n ), p ( e 0 + ... + e n )) , y esta base es única hasta la multiplicación de todos sus elementos por el mismo elemento distinto de cero de K . Por el contrario, si e 0 , ..., e n es una base de V , entonces ( p ( e 0 ), ..., p ( e n ), p ( e 0 + ... + e n )) es un marco de P ( V )
De ello se deduce que, dados dos cuadros, hay exactamente una homografía que asigna el primero al segundo. En particular, la única homografía que fija los puntos de un marco es el mapa de identidad . Este resultado es mucho más difícil en geometría sintética (donde los espacios proyectivos se definen mediante axiomas). A veces se le llama el primer teorema fundamental de la geometría proyectiva . [7]
Cada cuadro ( p ( e 0 ), ..., p ( e n ), p ( e 0 + ... + e n )) permite definir coordenadas proyectivas , también conocidas como coordenadas homogéneas : cada punto puede escribirse como p ( v ) ; las coordenadas proyectivas de p ( v ) en este marco son las coordenadas de v en la base ( e 0 ,..., e n ) . No es difícil verificar que cambiar e i y v , sin cambiar el marco ni p ( v ), da como resultado multiplicar las coordenadas proyectivas por el mismo elemento distinto de cero de K.
El espacio proyectivo P n ( K ) = P ( K n +1 ) tiene un marco canónico que consiste en la imagen por p de la base canónica de K n +1 (que consta de elementos que tienen una sola entrada distinta de cero, que es igual a 1), y (1, 1, ..., 1) . Sobre esta base, las coordenadas homogéneas de p ( v ) son simplemente las entradas (coeficientes) de la tupla v . Dado otro espacio proyectivo P ( V ) de la misma dimensión, y un marco F del mismo, hay una y sólo una homografía h que asigna F al marco canónico de P n ( K ) . Las coordenadas proyectivas de un punto a en el marco F son las coordenadas homogéneas de h ( a ) en el marco canónico de P n ( K ) .
En las secciones anteriores, las homografías se han definido mediante álgebra lineal. En geometría sintética , se definen tradicionalmente como la composición de una o varias homografías especiales llamadas colineaciones centrales . Es parte del teorema fundamental de la geometría proyectiva que las dos definiciones son equivalentes.
En un espacio proyectivo, P , de dimensión n ≥ 2 , una colineación de P es una biyección de P sobre P que mapea líneas sobre líneas. Una colineación central (tradicionalmente se llamaban perspectivas , [8] pero este término puede resultar confuso, ya que tiene otro significado; ver Perspectividad ) es una biyección α de P a P , de modo que existe un hiperplano H (llamado eje de α ) , que está fijado puntualmente por α (es decir, α ( X ) = X para todos los puntos X en H ) y un punto O (llamado centro de α ), que está fijado linealmente por α (cualquier línea que pase por O se asigna a sí mismo por α , pero no necesariamente puntualmente). [9] Hay dos tipos de colineaciones centrales. Las elaciones son las colineaciones centrales en las que el centro incide con el eje y las homologías son aquellas en las que el centro no incide con el eje. Una colineación central está definida únicamente por su centro, su eje y la imagen α ( P ) de cualquier punto P que difiere del centro O y no pertenece al eje. (La imagen α ( Q ) de cualquier otro punto Q es la intersección de la recta definida por O y Q y la recta que pasa por α ( P ) y la intersección con el eje de la recta definida por P y Q .)
Una colineación central es una homografía definida por una matriz (n+1) × (n+1) que tiene un espacio propio de dimensión n . Es una homología, si la matriz tiene otro valor propio y por tanto es diagonalizable . Es una euforia si todos los valores propios son iguales y la matriz no es diagonalizable.
La vista geométrica de una colineación central es más fácil de ver en un plano proyectivo. Dada una colineación central α , considere una línea ℓ que no pasa por el centro O , y su imagen bajo α , ℓ ′ = α (ℓ) . Si establecemos R = ℓ ∩ ℓ ′ , el eje de α es alguna línea M que pasa por R. La imagen de cualquier punto A de ℓ bajo α es la intersección de OA con ℓ ′ . La imagen B ′ de un punto B que no pertenece a ℓ se puede construir de la siguiente manera: sea S = AB ∩ M , entonces B ′ = SA ′ ∩ OB .
La composición de dos colineaciones centrales, si bien sigue siendo una homografía en general, no es una colineación central. De hecho, toda homografía es la composición de un número finito de colineaciones centrales. En geometría sintética, esta propiedad, que forma parte de la teoría fundamental de la geometría proyectiva, se toma como definición de homografías. [10]
Hay colineaciones además de las homografías. En particular, cualquier automorfismo de campo σ de un campo F induce una colineación de cada espacio proyectivo sobre F aplicando σ a todas las coordenadas homogéneas (sobre un marco proyectivo) de un punto. Estas colineaciones se denominan colineaciones automorfas .
El teorema fundamental de la geometría proyectiva consta de los tres teoremas siguientes.
Si los espacios proyectivos se definen mediante axiomas ( geometría sintética ), la tercera parte es simplemente una definición. Por otro lado, si los espacios proyectivos se definen mediante álgebra lineal , la primera parte es un corolario fácil de las definiciones. Por lo tanto, la prueba de la primera parte en geometría sintética y la prueba de la tercera parte en términos de álgebra lineal son pasos fundamentales de la prueba de la equivalencia de las dos formas de definir espacios proyectivos.
Como toda homografía tiene un mapeo inverso y la composición de dos homografías es otra, las homografías de un espacio proyectivo determinado forman un grupo . Por ejemplo, el grupo de Möbius es el grupo de homografía de cualquier línea proyectiva compleja.
Como todos los espacios proyectivos de la misma dimensión sobre el mismo campo son isomórficos, lo mismo ocurre con sus grupos de homografía. Por lo tanto, se consideran como un solo grupo que actúa sobre varios espacios, y en la notación sólo aparecen la dimensión y el campo, no el espacio proyectivo específico.
Los grupos de homografía , también llamados grupos lineales proyectivos, se denotan como PGL ( n + 1, F ) cuando actúan sobre un espacio proyectivo de dimensión n sobre un campo F. La definición anterior de homografías muestra que PGL( n + 1, F ) puede identificarse con el grupo cociente GL( n + 1, F ) / F × I , donde GL( n + 1, F ) es el grupo lineal general de matrices invertibles , y F × I es el grupo de los productos por un elemento distinto de cero de F de la matriz identidad de tamaño ( n + 1) × ( n + 1) .
Cuando F es un campo de Galois GF( q ), entonces el grupo de homografía se escribe PGL( n , q ) . Por ejemplo, PGL(2, 7) actúa sobre los ocho puntos de la línea proyectiva sobre el campo finito GF(7), mientras que PGL(2, 4) , que es isomorfo al grupo alterno A 5 , es el grupo homográfico de la línea proyectiva con cinco puntos. [12]
El grupo de homografía PGL( n + 1, F ) es un subgrupo del grupo de colineación PΓL( n + 1, F ) de las colineaciones de un espacio proyectivo de dimensión n . Cuando los puntos y líneas del espacio proyectivo son vistos como un diseño de bloques , cuyos bloques son los conjuntos de puntos contenidos en una línea, es común llamar al grupo de colineación grupo de automorfismos del diseño .
La relación cruzada de cuatro puntos colineales es una invariante bajo la homografía que es fundamental para el estudio de las homografías de las rectas.
Tres puntos distintos a , b y c en una línea proyectiva sobre un campo F forman un marco proyectivo de esta línea. Por lo tanto, existe una homografía única h de esta línea en F ∪ {∞} que asigna a a ∞ , b a 0 y c a 1. Dado un cuarto punto en la misma línea, la relación cruzada de los cuatro puntos a , b , cyd , denotados [ a , b ; c , d ] , es el elemento h ( d ) de F ∪ {∞} . En otras palabras, si d tiene coordenadas homogéneas [ k : 1] sobre el marco proyectivo ( a , b , c ) , entonces [ a , b ; c , re ] = k . [13]
Supongamos que A es un anillo y U es su grupo de unidades . Las homografías actúan sobre una recta proyectiva sobre A , escrita P( A ), formada por puntos U [ a,b ] con coordenadas proyectivas . Las homografías en P ( A ) se describen mediante mapeos matriciales.
Cuando A es un anillo conmutativo , la homografía puede escribirse
pero por lo demás, la transformación fraccionaria lineal se considera una equivalencia:
El grupo de homografía del anillo de números enteros Z es el grupo modular PSL(2, Z ) . Las homografías de anillos se han utilizado en el análisis de cuaterniones y con cuaterniones duales para facilitar la teoría de tornillos . El grupo conforme del espaciotiempo se puede representar con homografías donde A es el álgebra de composición de bicuaterniones . [14]
La homografía es periódica cuando el anillo es Z / n Z (los enteros módulo n ) desde entonces Arthur Cayley estaba interesado en la periodicidad cuando calculó iteraciones en 1879. [15] En su revisión de un enfoque de fuerza bruta para la periodicidad de homografías, HSM Coxeter dio este análisis:
Homografías de álgebras de composición asociativa en Wikilibros
Medios relacionados con la homografía en Wikimedia Commons
![{\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,\ zc+d].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b784aabce6dc47e30def79076c7e799542cd69)
![{\displaystyle U[za+b,\ zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),\ 1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3575d4cca0aa4c496636974d41cd598229a9647)
