Espacio interior del producto

Generalización del producto escalar; utilizado para definir espacios de Hilbert

Interpretación geométrica del ángulo entre dos vectores definido mediante un producto interno.

Los espacios de productos escalares, en cualquier campo, tienen "productos escalares" que son simétricos y lineales en el primer argumento. Los espacios de productos hermitianos están restringidos al campo de números complejos y tienen "productos hermitianos" que son simétricos conjugados y lineales en el primer argumento. Los espacios de productos internos se pueden definir sobre cualquier campo, teniendo "productos internos" que sean lineales en el primer argumento, simétricos conjugados y definidos positivos. A diferencia de los productos internos, los productos escalares y los productos hermitianos no necesitan ser definidos positivamente.

En matemáticas , un espacio producto interno (o, raramente, un espacio de Hausdorff anterior a Hilbert ^{[1] [2]} ) es un espacio vectorial real o un espacio vectorial complejo con una operación llamada producto interno . El producto interno de dos vectores en el espacio es un escalar , a menudo indicado con corchetes angulares como en . Los productos internos permiten definiciones formales de nociones geométricas intuitivas, como longitudes, ángulos y ortogonalidad (producto interno cero) de vectores. Los espacios de productos internos generalizan los espacios vectoriales euclidianos , en los que el producto interno es el producto escalar o producto escalar de coordenadas cartesianas . Los espacios de productos internos de dimensión infinita se utilizan ampliamente en el análisis funcional . Los espacios producto internos sobre el campo de números complejos a veces se denominan espacios unitarios . El primer uso del concepto de espacio vectorial con producto interno se debe a Giuseppe Peano , en 1898. ^[3] ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

Un producto interno induce naturalmente una norma asociada (indicada por y en la imagen); entonces, todo espacio producto interno es un espacio vectorial normado . Si este espacio normado también es completo (es decir, un espacio de Banach ), entonces el espacio producto interno es un espacio de Hilbert . ^[1] Si un espacio producto interno H no es un espacio de Hilbert, se puede extender completándolo a un espacio de Hilbert . Esto significa que es un subespacio lineal del producto interno de es la restricción del de y es denso para la topología definido por la norma. ^{[1] [4]} ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle |y|}$ ${\displaystyle {\overline {H}}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$

Definición

En este artículo, F denota un campo que son los números reales o los números complejos. Por tanto , un escalar es un elemento de F. Una barra sobre una expresión que representa un escalar denota el conjugado complejo de este escalar. Se denota un vector cero para distinguirlo del escalar 0 . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Un espacio producto interior es un espacio vectorial V sobre el campo F junto con un producto interior , es decir, un mapa.

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F}$

que satisface las siguientes tres propiedades para todos los vectores y todos los escalares . ^{[5] [6]} ${\displaystyle x,y,z\in V}$ ${\displaystyle a,b\in F}$

• Simetría conjugada :
  $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}$$
  Como si y sólo si fuera real, la simetría conjugada implica que siempre es un número real. Si F es , la simetría conjugada es solo simetría. ${\textstyle a={\overline {a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Linealidad en el primer argumento: ^{[Nota 1]}
  $${\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle .}$$
• Definitividad positiva : si no es cero, entonces ${\displaystyle x}$
  $${\displaystyle \langle x,x\rangle >0}$$
  (la simetría conjugada implica que es real). ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

Si la condición de definición positiva se reemplaza simplemente requiriendo eso para todos , entonces se obtiene la definición de forma hermitiana semidefinida positiva . Una forma hermitiana semidefinida positiva es un producto interno si y sólo si para todos , si entonces . ^[7] ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ ${\displaystyle x=\mathbf {0} }$

Propiedades básicas

En las siguientes propiedades, que resultan casi inmediatamente de la definición de un producto interno, x , y y z son vectores arbitrarios, y a y b son escalares arbitrarios.

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$es real y no negativo.
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$si y solo si ${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle .}$
  Esto implica que un producto interno es una forma sesquilineal .
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$donde denota la parte real de su argumento. ${\displaystyle \operatorname {Re} }$
  

Más allá de , la simetría conjugada se reduce a simetría y la sesquilinealidad se reduce a bilinealidad. Por tanto, un producto interno en un espacio vectorial real es una forma bilineal simétrica definida positiva . El desarrollo binomial de un cuadrado se convierte en ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$

Variante de convención

Algunos autores, especialmente en física y álgebra matricial , prefieren definir productos internos y formas sesquilineales con linealidad en el segundo argumento en lugar del primero. Entonces el primer argumento se vuelve lineal conjugado, en lugar del segundo. La notación Bra-ket en mecánica cuántica también utiliza una notación ligeramente diferente, es decir , donde . ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle x|y\rangle :=\left(y,x\right)}$

Notación

Se utilizan varias notaciones para los productos internos, incluidas , y , además del producto escalar habitual. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}$

Algunos ejemplos

Números reales y complejos

Entre los ejemplos más simples de espacios de productos internos se encuentran y Los números reales son un espacio vectorial que se convierte en un espacio de productos internos con la multiplicación aritmética como su producto interno: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

Los números complejos son un espacio vectorial que se convierte en un espacio de producto interno con el producto interno. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}$$

define ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Espacio vectorial euclidiano

De manera más general, el espacio real ${\displaystyle n}$ con el producto escalar es un espacio producto interno, un ejemplo de espacio vectorial euclidiano . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$

transpuesta ${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle x.}$

Una función es un producto interno si y solo si existe una matriz simétrica definida positiva tal que para todos Si es la matriz identidad entonces es el producto escalar. Para otro ejemplo, si y es positivo-definido (lo que ocurre si y sólo si y uno o ambos elementos diagonales son positivos), entonces para cualquier ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$ ${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle ad>b^{2}}$

Espacio de coordenadas complejo

La forma general de un producto interno se conoce como forma hermitiana y está dada por ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$

hermitiana positiva definidatranspuesta conjugadaescalamientofactores de escalade suma ponderada ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y^{\dagger }}$ ${\displaystyle y.}$

Espacio de Hilbert

El artículo sobre espacios de Hilbert tiene varios ejemplos de espacios de productos internos, en los que la métrica inducida por el producto interno produce un espacio métrico completo . Un ejemplo de un espacio de producto interno que induce una métrica incompleta es el espacio de funciones continuas con valores complejos y en el intervalo El producto interno es ${\displaystyle C([a,b])}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b].}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$

[−1, 1] ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$

$${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

Esta secuencia es una secuencia de Cauchy para la norma inducida por el producto interno anterior, que no converge a una función continua .

Variables aleatorias

Para variables aleatorias reales y el valor esperado de su producto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

$${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$

^{[8] [9] [10]}casi con seguridadprobabilidadvectores aleatorios . ${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Matrices complejas

El producto interno de matrices cuadradas complejas del mismo tamaño es el producto interno de Frobenius . Dado que la traza y la transposición son lineales y la conjugación está en la segunda matriz, es un operador sesquilineal. Obtenemos además la simetría hermitiana mediante, ${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)}$

$${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$

Espacios vectoriales con formas

En un espacio producto interno, o más generalmente un espacio vectorial con una forma no degenerada (de ahí un isomorfismo ), los vectores se pueden enviar a covectores (en coordenadas, mediante transposición), de modo que se puedan tomar el producto interno y el producto externo de dos vectores. —no simplemente de un vector y un covector. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Resultados básicos, terminología y definiciones.

Propiedades de norma

Todo espacio producto interno induce una norma , llamada sunorma canónica , que se define por

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$

espacio vectorial normado

Entonces, cada propiedad general de los espacios vectoriales normados se aplica a los espacios producto internos. En particular, uno tiene las siguientes propiedades:

Homogeneidad absoluta

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$

para cada y (esto resulta de ). ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$

Desigualdad triangular

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$

Porque estas dos propiedades muestran que uno tiene efectivamente una norma. ${\displaystyle x,y\in V.}$

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$

para cada uno con igualdad si y sólo si y son linealmente dependientes . ${\displaystyle x,y\in V,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

ley del paralelogramo

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$

para cada La ley del paralelogramo es una condición necesaria y suficiente para que una norma esté definida por un producto interno. ${\displaystyle x,y\in V.}$

Identidad de polarización

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$

para cada El producto interno puede recuperarse de la norma mediante la identidad de polarización, ya que su parte imaginaria es la parte real de ${\displaystyle x,y\in V.}$ ${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

La desigualdad de Ptolomeo

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$

porque toda desigualdad de Ptolomeo es una condición necesaria y suficiente para que una seminorma sea la norma definida por un producto interno. ^[11] ${\displaystyle x,y,z\in V.}$

Ortogonalidad

Ortogonalidad

Dos vectores y se dice que son ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ortogonal , a menudo escritosi su producto interno es cero, es decir, si Esto sucede si y solo sipara todos los escalares^[12]y si y solo si la función de valor realno es negativa. (Esto es una consecuencia del hecho de que, sientonces el escalarse minimizacon un valorque siempre no es positivo). Para un espacio de producto interno complejo, peronoreal^{[ se necesita aclaración ]}un operador lineales idénticosi y solo sipara cada^[12] ${\displaystyle x\perp y,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$
${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$
${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle T:V\to V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\perp Tx}$ ${\displaystyle x\in V.}$

Complemento ortogonal

El complemento ortogonal de un subconjunto es el conjunto de los vectores que son ortogonales a todos los elementos de C ; eso es, ${\displaystyle C\subseteq V}$ ${\displaystyle C^{\bot }}$

$${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$

Este conjunto es siempre un subespacio vectorial cerrado de y si el cierre de in es un subespacio vectorial entonces ${\displaystyle C^{\bot }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

Teorema de pitágoras

Si y son ortogonales, entonces ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$

Esto se puede demostrar expresando las normas al cuadrado en términos de productos internos, usando la aditividad para expandir el lado derecho de la ecuación.
El nombre teorema de Pitágoras surge de la interpretación geométrica en la geometría euclidiana .

La identidad de Parseval.

Una inducción sobre el teorema de Pitágoras produce: si son ortogonales por pares, entonces ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

Ángulo

Cuando es un número real, entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que y por tanto que ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$

$${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$

es un número real. Esto permite definir el ángulo (no orientado) de dos vectores en las definiciones modernas de geometría euclidiana en términos de álgebra lineal . Esto también se utiliza en el análisis de datos , bajo el nombre de " similitud de coseno ", para comparar dos vectores de datos.

Partes reales y complejas de productos internos.

Supongamos que es un producto interno (por lo que es antilineal en su segundo argumento). La identidad de polarización muestra que la parte real del producto interno es ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Si es un espacio vectorial real entonces ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$

parte imaginariaparte compleja ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle 0.}$

Supongamos para el resto de esta sección que es un espacio vectorial complejo. La identidad de polarización para espacios vectoriales complejos muestra que ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

El mapa definido por para todos satisface los axiomas del producto interno excepto que es antilineal en su primer argumento, en lugar de en el segundo. La parte real de ambos y son iguales pero los productos internos se diferencian en su parte compleja: ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

La última igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real.

Estas fórmulas muestran que todo producto interior complejo está completamente determinado por su parte real. Además, esta parte real define un producto interno considerado como un espacio vectorial real. Por tanto, existe una correspondencia uno a uno entre productos internos complejos en un espacio vectorial complejo y productos internos reales en ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V.}$

Por ejemplo, supongamos que para algún número entero When se considera como un espacio vectorial real de la manera habitual (lo que significa que se identifica con el espacio vectorial real dimensional con cada uno identificado con ), entonces el producto escalar define un producto interno real en este espacio. . El único producto interno complejo inducido por el producto escalar es el mapa al que se envía (porque la parte real de este mapa es igual al producto escalar). ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2n-}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$ ${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle c,d\rangle :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$

Productos internos reales versus complejos

Denotemos considerado como un espacio vectorial sobre los números reales en lugar de los números complejos. La parte real del producto interno complejo es la aplicación que necesariamente forma un producto interno real en el espacio vectorial real. Todo producto interno en un espacio vectorial real es una aplicación bilineal y simétrica . ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$

Por ejemplo, si con producto interno donde es un espacio vectorial sobre el campo entonces es un espacio vectorial sobre y es el producto escalar donde se identifica con el punto (y de manera similar para ); por lo tanto, el producto interno estándar es una "extensión" del producto escalar. Además, si se hubiera definido como el mapa simétrico (en lugar del mapa simétrico conjugado habitual ), entonces su parte real no sería el producto escalar; además, sin el conjugado complejo, si pero entonces entonces la asignación no definiría una norma. ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\cdot y,}$ ${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\not \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

Los siguientes ejemplos muestran que aunque los productos internos reales y complejos tienen muchas propiedades y resultados en común, no son enteramente intercambiables. Por ejemplo, si entonces , pero el siguiente ejemplo muestra que lo contrario, en general, no es cierto. Dado cualquiera al que pertenece el vector (que es el vector girado 90°) y por lo tanto también pertenece (aunque la multiplicación escalar de por no está definida en el vector en denotado por , sigue siendo también un elemento de ). Para el producto interno complejo, mientras que para el producto interno real el valor siempre es ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle ix}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ix}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$ ${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

Si es un producto interno complejo y es un operador lineal continuo que satisface para todos , entonces esta afirmación ya no es cierta si es un producto interno real, como muestra el siguiente ejemplo. Supongamos que tiene el producto interno mencionado anteriormente. Entonces el mapa definido por es un mapa lineal (lineal para ambos y ) que denota la rotación en el plano. Debido a que y son vectores perpendiculares y es solo el producto escalar, para todos los vectores , sin embargo, este mapa de rotación ciertamente no es idéntico . En contraste, al usar el producto interno complejo se obtiene que (como se esperaba) no es idénticamente cero. ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle A:V\to V}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =0}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle A=0.}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}}$ ${\displaystyle A:V\to V}$ ${\displaystyle Ax=ix}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2},}$

Secuencias ortonormales

Sea un espacio producto interno de dimensión finita. Recuerde que cada base de consta de vectores exactamente linealmente independientes. Usando el proceso de Gram-Schmidt podemos comenzar con una base arbitraria y transformarla en una base ortonormal. Es decir, en una base en la que todos los elementos son ortogonales y tienen norma unitaria. En símbolos, una base es ortonormal si para cada y para cada índice ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$ ${\displaystyle i.}$

Esta definición de base ortonormal se generaliza al caso de espacios de productos internos de dimensión infinita de la siguiente manera. Sea cualquier espacio interior del producto. Luego una colección ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle E=\left\{e_{a}\right\}_{a\in A}}$$

basebase ortonormal ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \left\langle e_{a},e_{b}\right\rangle =0}$$

${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$ ${\displaystyle a,b\in A.}$

Utilizando un análogo de dimensión infinita del proceso de Gram-Schmidt se puede demostrar:

Teorema. Cualquier espacio producto interior separable tiene una base ortonormal.

Utilizando el principio del máximo de Hausdorff y el hecho de que en un espacio producto interno completo la proyección ortogonal sobre subespacios lineales está bien definida, también se puede demostrar que

Teorema. Cualquier espacio de producto interno completo tiene una base ortonormal.

Los dos teoremas anteriores plantean la cuestión de si todos los espacios de productos internos tienen una base ortonormal. Resulta que la respuesta es negativa. Este es un resultado no trivial y se demuestra a continuación. La siguiente prueba está tomada del libro A Hilbert Space Problem Book de Halmos (ver las referencias). ^{[ cita necesaria ]}

La identidad de Parseval conduce inmediatamente al siguiente teorema:

Teorema. Sea un espacio producto interno separable y una base ortonormal de Entonces el mapa ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k}}$ ${\displaystyle V.}$

$${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}$$

${\displaystyle V\rightarrow \ell ^{2}}$

Este teorema puede considerarse como una forma abstracta de la serie de Fourier , en la que una base ortonormal arbitraria desempeña el papel de la secuencia de polinomios trigonométricos . Tenga en cuenta que el conjunto de índices subyacente puede considerarse cualquier conjunto contable (y, de hecho, cualquier conjunto, siempre que esté definido adecuadamente, como se explica en el artículo Espacio de Hilbert ). En particular, obtenemos el siguiente resultado en la teoría de series de Fourier: ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Teorema. Sea el espacio producto interno. Entonces la secuencia (indexada en el conjunto de todos los números enteros) de funciones continuas. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}$

$${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$$

${\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$$

La ortogonalidad de la secuencia se sigue inmediatamente del hecho de que si entonces ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle k\neq j,}$

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}$$

La normalidad de la secuencia es por diseño, es decir, los coeficientes se eligen de manera que la norma resulte 1. Finalmente, el hecho de que la secuencia tenga un lapso algebraico denso, en la norma del producto interno , se sigue del hecho de que la secuencia tiene un lapso algebraico denso, esta vez en el espacio de funciones periódicas continuas con la norma uniforme. Este es el contenido del teorema de Weierstrass sobre la densidad uniforme de polinomios trigonométricos. ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Operadores en espacios interiores de productos.

Varios tipos de mapas lineales entre espacios de productos internos son relevantes: ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

• Mapas lineales continuos :es lineal y continuo con respecto a la métrica definida anteriormente, o de manera equivalente,es lineal y el conjunto de reales no negativosdondelos rangos sobre la bola unitaria cerrada deestán acotados. ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V,}$
• Operadores lineales simétricos : es lineal y para todos ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V.}$
• Isometrías :satisfacepara todosUna isometría lineal (resp. una isometría antilineal ) es una isometría que también es un mapa lineal (resp. un mapa antilineal ). Para espacios de productos internos, la identidad de polarización se puede usar para mostrar quees una isometría si y solo sipara todos Todas las isometrías son inyectivas . El teorema de Mazur-Ulam establece que toda isometría sobreyectiva entre dos espacios normados reales es una transformación afín . En consecuencia, una isometríaentre espacios de productos internos reales es un mapa lineal si y solo silas isometrías son morfismos entre espacios de productos internos reales, y los morfismos de espacios de productos internos reales son transformaciones ortogonales (compárese con la matriz ortogonal ). ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \|Ax\|=\|x\|}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(0)=0.}$
• Isomorfismos isométricos : es una isometría que es sobreyectiva (y por tanto biyectiva ). Los isomorfismos isométricos también se conocen como operadores unitarios (compárese con la matriz unitaria ). ${\displaystyle A:V\to W}$

Desde el punto de vista de la teoría del espacio del producto interno, no es necesario distinguir entre dos espacios que son isométricamente isomórficos. El teorema espectral proporciona una forma canónica para operadores simétricos, unitarios y, más generalmente, normales en espacios de productos internos de dimensión finita. Una generalización del teorema espectral es válida para operadores normales continuos en espacios de Hilbert. ^[13]

Generalizaciones

Cualquiera de los axiomas de un producto interno puede debilitarse, dando lugar a nociones generalizadas. Las generalizaciones más cercanas a los productos internos ocurren cuando se conservan la bilinealidad y la simetría conjugada, pero se debilita la definición positiva.

Productos internos degenerados.

Si es un espacio vectorial y una forma sesquilineal semidefinida, entonces la función: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$

semi-norma ${\displaystyle \|x\|=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle W.}$

Esta construcción se utiliza en numerosos contextos. La construcción Gelfand-Naimark-Segal es un ejemplo particularmente importante del uso de esta técnica. Otro ejemplo es la representación de núcleos semidefinidos en conjuntos arbitrarios.

Formas simétricas conjugadas no degeneradas

Alternativamente, se puede requerir que el emparejamiento sea una forma no degenerada , lo que significa que para todos los distintos de cero existe algo que, aunque no necesariamente es igual ; en otras palabras, la aplicación inducida al espacio dual es inyectiva. Esta generalización es importante en geometría diferencial : una variedad cuyos espacios tangentes tienen un producto interno es una variedad riemanniana , mientras que si ésta está relacionada con una forma simétrica conjugada no degenerada, la variedad es una variedad pseudo-riemanniana . Según la ley de inercia de Sylvester , así como todo producto interno es similar al producto escalar con pesos positivos en un conjunto de vectores, cada forma simétrica conjugada no degenerada es similar al producto escalar con pesos distintos de cero en un conjunto de vectores, y el número de Las ponderaciones positivas y negativas se denominan respectivamente índice positivo e índice negativo. El producto de vectores en el espacio de Minkowski es un ejemplo de producto interno indefinido, aunque, técnicamente hablando, no es un producto interno según la definición estándar anterior. El espacio de Minkowski tiene cuatro dimensiones e índices 3 y 1 (la asignación de "+" y "-" difiere según las convenciones ). ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Los enunciados puramente algebraicos (los que no utilizan la positividad) generalmente solo se basan en la no degeneración (el homomorfismo inyectivo ) y, por lo tanto, son válidos de manera más general. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Productos relacionados

El término "producto interior" se opone a producto exterior , que es un opuesto un poco más general. Simplemente, en coordenadas, el producto interno es el producto de un covector con un vector, lo que produce una matriz (un escalar), mientras que el producto externo es el producto de un vector con un covector, lo que produce una matriz. El producto exterior se define para diferentes dimensiones, mientras que el producto interior requiere la misma dimensión. Si las dimensiones son las mismas, entonces el producto interior es la traza del producto exterior (la traza sólo está definida correctamente para matrices cuadradas). En un resumen informal: "el interior es horizontal multiplicado por vertical y se contrae, el exterior es vertical multiplicado por horizontal y se expande". ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle m\times n}$

De manera más abstracta, el producto externo es el mapa bilineal que envía un vector y un covector a una transformación lineal de rango 1 ( tensor simple de tipo (1, 1)), mientras que el producto interno es el mapa de evaluación bilineal dado al evaluar un covector en un vector; el orden de los espacios vectoriales de dominio aquí refleja la distinción covector/vector. ${\displaystyle W\times V^{*}\to \hom(V,W)}$ ${\displaystyle V^{*}\times V\to F}$

El producto interior y el producto exterior no deben confundirse con el producto interior y el producto exterior , que son en cambio operaciones en campos vectoriales y formas diferenciales , o más generalmente en el álgebra exterior .

Como complicación adicional, en álgebra geométrica el producto interior y el producto exterior (Grassmann) se combinan en el producto geométrico (el producto de Clifford en un álgebra de Clifford ): el producto interior envía dos vectores (vectores 1) a un escalar (un 0-vector), mientras que el producto exterior envía dos vectores a un bivector (2-vector) – y en este contexto el producto exterior suele denominarse producto exterior (alternativamente, producto de cuña ). El producto interno se llama más correctamente producto escalar en este contexto, ya que la forma cuadrática no degenerada en cuestión no necesita ser definida positiva (no necesita ser un producto interno).

Ver también

• Forma bilineal  : función bilineal con valores escalares
• Sistema biortogonal
• Espacio dual  : en matemáticas, espacio vectorial de formas lineales.
• Espacio energético  : subespacio de un espacio de Hilbert real dado equipado con un nuevo producto interior "energético"Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto L-semi-interior  : generalización de productos interiores que se aplica a todos los espacios normados.
• Distancia de Minkowski  : métrica matemática en el espacio vectorial normado
• Base ortogonal
• Complemento ortogonal  – Concepto en álgebra lineal
• Base ortonormal  – Base lineal específica (matemáticas)
• variedad de riemann

Notas

1. Al combinar la propiedad lineal en el primer argumento con la propiedad de simetría conjugada , se obtiene lineal conjugado en el segundo argumento : . Así es como se definió originalmente el producto interno y se utiliza en la mayoría de los contextos matemáticos. Se ha adoptado una convención diferente en física teórica y mecánica cuántica, originada en la notación de soporte de Paul Dirac , donde el producto interno se considera lineal en el segundo argumento y lineal conjugado en el primer argumento ; Esta convención se utiliza en muchos otros dominios, como la ingeniería y la informática. ${\textstyle \langle x,by\rangle =\langle x,y\rangle {\overline {b}}}$

Referencias

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2. Schaefer y Wolff 1999, págs. 40–45.
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5. Jainista, PK; Ahmad, Khalil (1995). "5.1 Definiciones y propiedades básicas de los espacios de productos internos y espacios de Hilbert". Análisis funcional (2ª ed.). Nueva Era Internacional. pag. 203.ISBN _ 81-224-0801-X.
6. Prugovečki, Eduard (1981). "Definición 2.1". Mecánica cuántica en el espacio de Hilbert (2ª ed.). Prensa académica. págs. 18 y siguientes. ISBN 0-12-566060-X.
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9. Siegrist, Kyle (1997). "Espacios vectoriales de variables aleatorias". Aleatorio: Probabilidad, Estadística Matemática, Procesos Estocásticos . Consultado el 5 de septiembre de 2017 .
10. Bigoni, Daniele (2015). "Apéndice B: Teoría de la probabilidad y espacios funcionales" (PDF) . Cuantificación de la incertidumbre con aplicaciones a problemas de ingeniería (Doctor). Universidad Técnica de Dinamarca . Consultado el 5 de septiembre de 2017 .
11. Apóstol, Tom M. (1967). "La desigualdad de Ptolomeo y la métrica cordal". Revista Matemáticas . 40 (5): 233–235. doi :10.2307/2688275. JSTOR  2688275.
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Bibliografía

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