Proceso estocástico modelado de paseo aleatorio con fricción.
En matemáticas, el proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso estocástico con aplicaciones en matemáticas financieras y ciencias físicas. Su aplicación original en física fue como modelo para la velocidad de una partícula browniana masiva bajo la influencia de la fricción. Lleva el nombre de Leonard Ornstein y George Eugene Uhlenbeck .
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso estacionario de Gauss-Markov , lo que significa que es un proceso gaussiano , un proceso de Markov , y es temporalmente homogéneo. De hecho, es el único proceso no trivial que satisface estas tres condiciones, hasta permitir transformaciones lineales de las variables espacio y tiempo. [1] Con el tiempo, el proceso tiende a derivar hacia su función media: tal proceso se llama inversión de la media .
El proceso puede considerarse como una modificación del paseo aleatorio en tiempo continuo , o proceso de Wiener , en el que las propiedades del proceso se han cambiado de modo que hay una tendencia del paseo a retroceder hacia una ubicación central, con una Mayor atracción cuando el proceso está más alejado del centro. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck también puede considerarse como el análogo en tiempo continuo del proceso AR(1) en tiempo discreto .
donde y son parámetros y denota el proceso Wiener . [2] [3] [4]
A veces se añade un término de deriva adicional:
donde es una constante. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck a veces también se escribe como una ecuación de Langevin de la forma
donde , también conocido como ruido blanco , representa el supuesto derivado del proceso de Wiener. [5] Sin embargo, no existe porque el proceso de Wiener no es diferenciable en ninguna parte, [6] por lo que la ecuación de Langevin solo tiene sentido si se interpreta en sentido distribucional. En las disciplinas de física e ingeniería, es una representación común del proceso de Ornstein-Uhlenbeck y ecuaciones diferenciales estocásticas similares al suponer tácitamente que el término de ruido es un derivado de una interpolación diferenciable (por ejemplo, de Fourier) del proceso de Wiener.
Representación de la ecuación de Fokker-Planck
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck también se puede describir en términos de una función de densidad de probabilidad, que especifica la probabilidad de encontrar el proceso en el estado en el momento . [5] Esta función satisface la ecuación de Fokker-Planck
dónde . Esta es una ecuación diferencial parcial parabólica lineal que se puede resolver mediante una variedad de técnicas. La probabilidad de transición, también conocida como función de Green , es gaussiana con media y varianza :
Esto da la probabilidad de que el estado ocurra en el momento dado el estado inicial en el momento . De manera equivalente, es la solución de la ecuación de Fokker-Planck con condición inicial .
Propiedades matemáticas
Condicionada a un valor particular de , la media es
Para el proceso estacionario (incondicionado), la media de es y la covarianza de y es .
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un ejemplo de proceso gaussiano que tiene una varianza acotada y admite una distribución de probabilidad estacionaria , en contraste con el proceso de Wiener ; la diferencia entre los dos está en su término de "deriva". Para el proceso de Wiener, el término de deriva es constante, mientras que para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck depende del valor actual del proceso: si el valor actual del proceso es menor que la media (a largo plazo), la deriva será positivo; si el valor actual del proceso es mayor que la media (a largo plazo), la deriva será negativa. En otras palabras, la media actúa como nivel de equilibrio del proceso. Esto le da al proceso su nombre informativo, "reversión de la media".
Propiedades de rutas de muestra
Un proceso de Ornstein-Uhlenbeck temporalmente homogéneo se puede representar como un proceso de Wiener escalado y transformado en el tiempo :
¿Dónde está el proceso Wiener estándar? Esto es aproximadamente el Teorema 1.2 de Doob 1942. De manera equivalente, con el cambio de variable esto se convierte en
Usando este mapeo, se pueden traducir propiedades conocidas de en declaraciones correspondientes para . Por ejemplo, la ley del logaritmo iterado para se convierte en [1]
Solución formal
La ecuación diferencial estocástica se puede resolver formalmente mediante variación de parámetros . [7] Escritura
Al utilizar datos muestreados discretamente en intervalos de tiempo de ancho , los estimadores de máxima verosimilitud para los parámetros del proceso de Ornstein-Uhlenbeck son asintóticamente normales a sus valores verdaderos. [9] Más precisamente, [ verificación fallida ]
Para simular numéricamente un proceso de OU con desviación estándar y tiempo de correlación , un método es aplicar la fórmula de diferencias finitas
[10]
Interpretación del límite de escala
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck puede interpretarse como un límite de escala de un proceso discreto, de la misma manera que el movimiento browniano es un límite de escala de paseos aleatorios . Considere una urna que contiene bolas azules y amarillas. En cada paso se elige una bola al azar y se reemplaza por una bola del color opuesto. Sea el número de bolas azules en la urna después de los pasos. Luego converge en ley a un proceso de Ornstein-Uhlenbeck cuando tiende al infinito. Esto fue obtenido por Mark Kac . [11]
Heurísticamente se puede obtener esto de la siguiente manera.
Sea , y obtendremos la ecuación diferencial estocástica en el límite. Primero deducir
Aplicaciones
Relajación ruidosa
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un prototipo de proceso de relajación ruidoso . Un ejemplo canónico es un resorte de Hooke ( oscilador armónico ) con constante de resorte cuya dinámica está sobreamortiguada
con el coeficiente de fricción . En presencia de fluctuaciones térmicas con la temperatura , la longitud del resorte fluctúa alrededor de la longitud de reposo del resorte ; su dinámica estocástica se describe mediante un proceso de Ornstein-Uhlenbeck con
donde se deriva de la ecuación de Stokes-Einstein para la constante de difusión efectiva. [12] [13] Este modelo se ha utilizado para caracterizar el movimiento de una partícula browniana en una trampa óptica . [13] [14]
En equilibrio, el resorte almacena una energía promedio de acuerdo con el teorema de equipartición . [15]
En matemáticas financieras
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se utiliza en el modelo de Vasicek de la tasa de interés. [16] El proceso Ornstein-Uhlenbeck es uno de varios enfoques utilizados para modelar (con modificaciones) tasas de interés, tipos de cambio de divisas y precios de productos básicos de manera estocástica. El parámetro representa el equilibrio o valor medio sustentado por los fundamentos ; el grado de volatilidad a su alrededor causado por los shocks , y la velocidad a la que estos shocks se disipan y la variable revierte hacia la media. Una aplicación del proceso es una estrategia comercial conocida como comercio de pares . [17] [18] [19]
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se ha propuesto como una mejora con respecto al modelo de movimiento browniano para modelar el cambio en los fenotipos de los organismos a lo largo del tiempo. [22] Un modelo de movimiento browniano implica que el fenotipo puede moverse sin límite, mientras que para la mayoría de los fenotipos la selección natural impone un costo por moverse demasiado en cualquier dirección. Un metanálisis de 250 series temporales de fenotipos fósiles mostró que un modelo de Ornstein-Uhlenbeck era el que mejor se ajustaba a 115 (46%) de las series temporales examinadas, lo que respalda la estasis como un patrón evolutivo común. [23] Dicho esto, existen ciertos desafíos para su uso: los mecanismos de selección de modelos a menudo están sesgados hacia la preferencia de un proceso de OU sin suficiente apoyo, y la interpretación errónea es fácil para el científico de datos desprevenido. [24]
Generalizaciones
Es posible definir un proceso Ornstein-Uhlenbeck impulsado por Lévy , en el que el proceso impulsor en segundo plano es un proceso de Lévy en lugar de un proceso de Wiener: [25] [26]
Aquí, el diferencial del proceso Wiener ha sido sustituido por el diferencial de un proceso Lévy .
Además, en finanzas se utilizan procesos estocásticos donde la volatilidad aumenta para valores mayores de . En particular, el proceso CKLS (Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders) [27] con el término de volatilidad reemplazado por puede resolverse en forma cerrada para , así como para , que corresponde al proceso OU convencional. Otro caso especial es , que corresponde al modelo de Cox-Ingersoll-Ross (modelo CIR).
Dimensiones superiores
Una versión multidimensional del proceso de Ornstein-Uhlenbeck, denotada por el vector N -dimensional , se puede definir a partir de
donde es un proceso de Wiener N -dimensional y y son matrices N × N constantes . [28] La solución es
El proceso también se puede describir en términos de la función de densidad de probabilidad , que satisface la ecuación de Fokker-Planck [29]
donde la matriz con componentes está definida por . En cuanto al caso 1d, el proceso es una transformación lineal de variables aleatorias gaussianas y, por lo tanto, debe ser gaussiano. Debido a esto, la probabilidad de transición es gaussiana y puede escribirse explícitamente. Si las partes reales de los valores propios de son mayores que cero, además existe una solución estacionaria , dada por
^ Holmes-Cerfon, Miranda (2022). "Conferencia 12: Métodos detallados de equilibrio y función propia" (PDF) .
^ Aït-Sahalia 2002, págs. 223–262.
^ Kloeden, Platen y Schurz 1994.
^ Iglehart 1968.
^ Nørrelykke y Flyvbjerg 2011.
^ ab Goerlich et al. 2021.
^ Li y col. 2019.
^ Nelson 1967.
^ Björk 2009, págs.375, 381.
^ Leung y Li 2016.
^ Ventajas del comercio de pares: neutralidad del mercado
^ Un marco de Ornstein-Uhlenbeck para el comercio de pares
^ "Detección de abuso de mercado". Revista Riesgo. 2 de noviembre de 2004.
^ "La detección de Abuso de Mercado en los mercados financieros: un enfoque cuantitativo". Consob – Comisión Italiana de Bolsa y Valores.
^ Martins 1994, págs. 193-209.
^ Caza 2007.
^ Cornualles 2022.
^ Jespersen, Metzler y Fogedby 1999.
^ Fink y Klüppelberg 2011.
^ Chan y col. 1992.
^ Gardiner 1985, pág. 109.
^ Gardiner 1985, pág. 97.
Referencias
Aït-Sahalia, Y. (abril de 2002). "Estimación de máxima verosimilitud de difusión muestreada discretamente: un enfoque de aproximación de forma cerrada". Econométrica . 70 (1): 223–262. doi :10.1111/1468-0262.00274.
Bibbona, E.; Pánfilo, G.; Tavella, P. (2008). "El proceso de Ornstein-Uhlenbeck como modelo de ruido blanco filtrado de paso bajo". Metrología . 45 (6): S117-S126. Código Bib : 2008 Metro..45S.117B. doi :10.1088/0026-1394/45/6/S17. hdl : 2318/58227 . S2CID 56160285.
Björk, Tomas (2009). Teoría del arbitraje en tiempo continuo (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-957474-2.
Chan, KC; Karolyi, GA; Longstaff, FA; Lijadoras, AB (1992). "Una comparación empírica de modelos alternativos de tasa de interés a corto plazo". Revista de Finanzas . 47 (3): 1209-1227. doi : 10.1111/j.1540-6261.1992.tb04011.x .
Cornuault, Josselin (2022). "Análisis bayesianos de datos comparativos con el modelo de Ornstein-Uhlenbeck: posibles obstáculos". Biología Sistemática . 71 (6): 1524-1540. doi : 10.1093/sysbio/syac036. PMC 9558839 . PMID 35583306.
Doob, JL (abril de 1942). "El movimiento browniano y las ecuaciones estocásticas". Anales de Matemáticas . 43 (2): 351–369. doi :10.2307/1968873. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968873.
Fink, Holger; Klüppelberg, Claudia (1 de febrero de 2011). "Procesos fraccionales de Ornstein-Uhlenbeck impulsados por Lévy y ecuaciones diferenciales estocásticas". Bernoulli . 17 (1). arXiv : 1102.1830 . doi :10.3150/10-bej281. ISSN 1350-7265. S2CID 9269536.
Cazar, G. (14 de noviembre de 2007). "La importancia relativa del cambio de dirección, los paseos aleatorios y la estasis en la evolución de los linajes fósiles". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 104 (47): 18404–18408. doi : 10.1073/pnas.0704088104 . ISSN 0027-8424. PMC 2141789 . PMID 18003931.
Gard, Thomas C. (1988), Introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-7776-0
Gillespie, DT (1996). "Simulación numérica exacta del proceso Ornstein-Uhlenbeck y su integral". Física. Rev. E. 54 (2): 2084–2091. Código Bib : 1996PhRvE..54.2084G. doi :10.1103/PhysRevE.54.2084. PMID 9965289.
Iglehart, Donald L. (junio de 1968). "Teoremas de límite para el modelo de Ehrenfest de múltiples urnas". Los anales de la estadística matemática . 39 (3): 864–876. doi : 10.1214/aoms/1177698318 . ISSN 0003-4851.
Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991), Movimiento browniano y cálculo estocástico (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97655-6
Goerlich, Rémi; Li, Minghao; Alberto, Samuel; Manfredi, Giovanni; Hervieux, Paul-Antoine; Genet, Cyriaque (19 de marzo de 2021). "Ruido y propiedades ergódicas del movimiento browniano en una pinza óptica: análisis de cruces de regímenes en un proceso de Ornstein-Uhlenbeck". Revisión física E. 103 (3): 032132. arXiv : 2007.12246 . Código bibliográfico : 2021PhRvE.103c2132G. doi :10.1103/physreve.103.032132. ISSN 2470-0045. PMID 33862817. S2CID 220768666.
Jespersen, Sune; Metzler, Ralf; Fogedby, Hans C. (1 de marzo de 1999). "Vuelos de Lévy en campos de fuerza externos: ecuaciones de Langevin y fraccionarias de Fokker-Planck y sus soluciones". Revisión física E. 59 (3): 2736–2745. arXiv : cond-mat/9810176 . Código bibliográfico : 1999PhRvE..59.2736J. doi :10.1103/physreve.59.2736. ISSN 1063-651X. S2CID 51944991.
Kloeden, Peter E.; Platina, Eckhard; Schurz, Henri (1994). Solución numérica de SDE mediante experimentos informáticos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57074-8. OCLC 29788831.
Leung, Tim; Li, Xin (2015). "Negociación de reversión a la media óptima con costos de transacción y salida de stop-loss". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 18 (3): 1550020. arXiv : 1411.5062 . doi :10.1142/S021902491550020X.
Li, Minghao; Sentissi, Oussama; Azzini, Stefano; Schnoering, Gabriel; Canaguier-Durand, Antoine; Genet, Cyriaque (10 de diciembre de 2019). "Campos de fuerza subfemtonewton medidos con conjuntos brownianos ergódicos". Revisión física A. 100 (6): 063816. arXiv : 1908.00610 . Código Bib : 2019PhRvA.100f3816L. doi :10.1103/physreva.100.063816. ISSN 2469-9926. S2CID 199405409.
Martíns, Emilia P. (1994). "Estimación de la tasa de evolución fenotípica a partir de datos comparativos". El naturalista americano . 144 (2): 193–209. doi :10.1086/285670. ISSN 0003-0147. S2CID 85300707.
Nørrelykke, Simon F.; Flyvbjerg, Henrik (4 de abril de 2011). "Oscilador armónico en baño térmico: simulación exacta de datos registrados en lapso de tiempo y estadísticas analíticas exactas de referencia". Revisión física E. 83 (4): 041103. arXiv : 1102.0524 . Código bibliográfico : 2011PhRvE..83d1103N. doi :10.1103/physreve.83.041103. ISSN 1539-3755. PMID 21599111. S2CID 18518657.
Arriesgado, H. (1989). La ecuación de Fokker-Planck: métodos de solución y aplicaciones . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387504988.
Nelson, Eduardo (1967). Teorías dinámicas del movimiento browniano (PDF) . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-07950-1. OCLC 769464.
Uhlenbeck, GE; Ornstein, LS (1930). "Sobre la teoría del movimiento browniano". Física. Rdo . 36 (5): 823–841. Código bibliográfico : 1930PhRv...36..823U. doi : 10.1103/PhysRev.36.823.
enlaces externos
Un conjunto de herramientas de procesos estocásticos para la gestión de riesgos, Damiano Brigo, Antonio Dalessandro, Matthias Neugebauer y Fares Triki
Simulación y calibración del proceso Ornstein-Uhlenbeck, MA van den Berg
Estimación de máxima verosimilitud de procesos de reversión media, José Carlos García Franco
"Aplicación web interactiva: procesos estocásticos utilizados en finanzas cuantitativas". Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2015 . Consultado el 3 de julio de 2015 .