problema de tres cuerpos

Problema de física relacionado con las leyes del movimiento y la gravedad.

Trayectorias aproximadas de tres cuerpos idénticos ubicados en los vértices de un triángulo escaleno y con velocidades iniciales cero. El centro de masa , de acuerdo con la ley de conservación del momento , permanece en su lugar.

En física , específicamente en mecánica clásica , el problema de los tres cuerpos implica tomar las posiciones y velocidades (o momentos ) iniciales de tres masas puntuales y calcular sus trayectorias posteriores utilizando las leyes del movimiento de Newton y la ley de gravitación universal de Newton . ^[1]

A diferencia del problema de los dos cuerpos , el problema de los tres cuerpos no tiene una solución general de forma cerrada , ^[1] y es imposible escribir una ecuación estándar que proporcione los movimientos exactos de tres cuerpos que orbitan entre sí en el espacio. Cuando tres cuerpos orbitan entre sí, el sistema dinámico resultante es caótico para la mayoría de las condiciones iniciales , y la única forma de predecir los movimientos de los cuerpos es calcularlos utilizando métodos numéricos .

El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de los n cuerpos . Históricamente, el primer problema específico de tres cuerpos que recibió un estudio extenso fue el que involucra a la Luna , la Tierra y el Sol . ^[2] En un sentido moderno ampliado, un problema de tres cuerpos es cualquier problema de la mecánica clásica o la mecánica cuántica que modela el movimiento de tres partículas.

Descripción matemática

El enunciado matemático del problema de los tres cuerpos se puede dar en términos de las ecuaciones de movimiento newtonianas para las posiciones vectoriales de tres cuerpos con masas que interactúan gravitacionalmente : ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})}$ ${\displaystyle m_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}}$$

constante gravitacional^{[3] [4] Este es un conjunto de nueve} ecuaciones diferencialesformalismo hamiltoniano ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p_{i}} }$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}$$

donde esta el hamiltoniano : ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}$$

En este caso es simplemente la energía total del sistema, gravitacional más cinética. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Problema restringido de tres cuerpos

El problema circular restringido de tres cuerpos ^{[ se necesita aclaración ]} es una aproximación válida de las órbitas elípticas que se encuentran en el Sistema Solar , ^{[ cita necesaria ]} y esto se puede visualizar como una combinación de los potenciales debidos a la gravedad de los dos cuerpos primarios junto con el efecto centrífugo de su rotación ( los efectos de Coriolis son dinámicos y no se muestran). Los puntos de Lagrange pueden verse entonces como los cinco lugares donde el gradiente en la superficie resultante es cero, lo que indica que las fuerzas están en equilibrio allí. ^{[ cita necesaria ]}

En el problema restringido de los tres cuerpos , un cuerpo de masa insignificante (el "planetoide") se mueve bajo la influencia de dos cuerpos masivos. Al tener una masa insignificante, el planetoide ejerce fuerza sobre los dos cuerpos masivos que pueden despreciarse; por lo tanto, el sistema resultante puede analizarse y describirse como un problema de movimiento de dos cuerpos. ^{[3] [5] [ verificación fallida ]} Con respecto a un sistema de referencia giratorio , los dos cuerpos en coorbitación son estacionarios, y el tercero también puede ser estacionario en los puntos lagrangianos , o moverse alrededor de ellos, por ejemplo en una herradura. orbita . Puede resultar útil considerar el potencial efectivo . Por lo general, se considera que este movimiento de dos cuerpos consiste en órbitas circulares alrededor del centro de masa , y se supone que el planetoide se mueve en el plano definido por las órbitas circulares.

El problema restringido de los tres cuerpos es más fácil de analizar teóricamente que el problema completo. También tiene interés práctico, ya que describe con precisión muchos problemas del mundo real, siendo el ejemplo más importante el sistema Tierra-Luna-Sol. Por estas razones, ha ocupado un papel importante en el desarrollo histórico del problema de los tres cuerpos. ^[6]

Matemáticamente, el problema se plantea de la siguiente manera. Sean las masas de los dos cuerpos masivos, con coordenadas (planas) y , y sean las coordenadas del planetoide. Para simplificar, elija unidades tales que la distancia entre los dos cuerpos masivos, así como la constante gravitacional, sean iguales a . Entonces, el movimiento del planetoide está dado por ${\displaystyle m_{1,2}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}}$$

dónde . De esta forma, las ecuaciones de movimiento conllevan una dependencia temporal explícita a través de las coordenadas . Sin embargo, esta dependencia del tiempo se puede eliminar mediante una transformación a un sistema de referencia giratorio, lo que simplifica cualquier análisis posterior. ^[7] ${\displaystyle r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}$ ${\displaystyle x_{i}(t),y_{i}(t)}$

Soluciones

solución general

Mientras que un sistema de 3 cuerpos que interactúan gravitacionalmente es caótico , un sistema de 3 cuerpos que interactúan elásticamente no lo es. ^{[ se necesita aclaración ]}

No existe una solución general de forma cerrada para el problema de los tres cuerpos. ^[1] En otras palabras, no tiene una solución general que pueda expresarse en términos de un número finito de operaciones matemáticas estándar. Además, el movimiento de tres cuerpos generalmente no se repite, salvo casos especiales. ^[8]

Sin embargo, en 1912 el matemático finlandés Karl Fritiof Sundman demostró que existe una solución analítica al problema de los tres cuerpos en forma de serie de Puiseux , específicamente una serie de potencias en términos de potencias de t ^1/3 . ^[9] Esta serie converge para todos los t reales , excepto para las condiciones iniciales correspondientes a momento angular cero . En la práctica, esta última restricción es insignificante ya que las condiciones iniciales con momento angular cero son raras, ya que Lebesgue mide cero.

Una cuestión importante a la hora de probar este resultado es el hecho de que el radio de convergencia de esta serie está determinado por la distancia a la singularidad más cercana. Por tanto, es necesario estudiar las posibles singularidades de los problemas de los tres cuerpos. Como se analiza brevemente a continuación, las únicas singularidades en el problema de los tres cuerpos son las colisiones binarias (colisiones entre dos partículas en un instante) y las colisiones triples (colisiones entre tres partículas en un instante).

Las colisiones de cualquier número son algo improbables, ya que se ha demostrado que corresponden a un conjunto de condiciones iniciales de medida cero. Pero no se conoce ningún criterio que se pueda aplicar al estado inicial para evitar colisiones en la solución correspondiente. Entonces la estrategia de Sundman consistió en los siguientes pasos:

1. Utilizando un cambio apropiado de variables para continuar analizando la solución más allá de la colisión binaria, en un proceso conocido como regularización .
2. Demostrando que las colisiones triples sólo ocurren cuando el momento angular L desaparece. Al restringir los datos iniciales a L ≠ 0 , eliminó todas las singularidades reales de las ecuaciones transformadas para el problema de los tres cuerpos.
3. Mostrando que si L ≠ 0 , entonces no sólo no puede haber triple colisión, sino que el sistema está estrictamente acotado para evitar una triple colisión. Esto implica, según el teorema de existencia de Cauchy para ecuaciones diferenciales, que no hay singularidades complejas en una franja (dependiendo del valor de L ) en el plano complejo centrado alrededor del eje real (relacionado con el teorema de Cauchy-Kovalevskaya ).
4. Encuentre una transformación conforme que asigne esta tira al disco unitario. Por ejemplo, si s = t ^1/3 (la nueva variable después de la regularización) y si | en s | ≤ β , ^{[ se necesita aclaración ]} entonces este mapa viene dado por
   $${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}$$

Esto finaliza la demostración del teorema de Sundman.

La serie correspondiente converge extremadamente lentamente. Es decir, obtener un valor de precisión significativa requiere tantos términos que esta solución tiene poca utilidad práctica. De hecho, en 1930, David Beloriszky calculó que si la serie de Sundman se utilizara para observaciones astronómicas, los cálculos implicarían al menos 10^{8.000.000 términos} .^{​ [10]}

Soluciones para casos especiales

En 1767, Leonhard Euler encontró tres familias de soluciones periódicas en las que las tres masas son colineales en cada instante.

En 1772, Lagrange encontró una familia de soluciones en las que las tres masas forman un triángulo equilátero en cada instante. Junto con las soluciones colineales de Euler, estas soluciones forman las configuraciones centrales del problema de los tres cuerpos. Estas soluciones son válidas para cualquier relación de masas y las masas se mueven en elipses keplerianas . Estas cuatro familias son las únicas soluciones conocidas para las que existen fórmulas analíticas explícitas. En el caso especial del problema circular restringido de tres cuerpos , estas soluciones, vistas en un marco que gira con los primarios, se convierten en puntos llamados puntos lagrangianos y etiquetados como L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ y L ₅ , con L ₄ y L ₅ son casos simétricos de la solución de Lagrange.

En un trabajo resumido en 1892-1899, Henri Poincaré estableció la existencia de un número infinito de soluciones periódicas al problema restringido de los tres cuerpos, junto con técnicas para continuar estas soluciones en el problema general de los tres cuerpos.

En 1893, Meissel planteó lo que ahora se llama el problema pitagórico de los tres cuerpos: tres masas en la proporción 3:4:5 se colocan en reposo en los vértices de un triángulo rectángulo de 3:4:5 , con el cuerpo más pesado a la derecha. ángulo y el más ligero en el ángulo agudo más pequeño. Burrau ^[11] investigó más a fondo este problema en 1913. En 1967 Victor Szebehely y C. Frederick Peters establecieron el escape eventual del cuerpo más ligero para este problema utilizando integración numérica, mientras que al mismo tiempo encontraron una solución periódica cercana. ^[12]

Una animación de la solución en forma de 8 al problema de los tres cuerpos durante un solo período T ≃ 6,3259 ^[13]

20 ejemplos de soluciones periódicas al problema de los tres cuerpos

En la década de 1970, Michel Hénon y Roger A. Broucke encontraron cada uno un conjunto de soluciones que forman parte de la misma familia de soluciones: la familia Broucke-Hénon-Hadjidemetriou. En esta familia, los tres objetos tienen todos la misma masa y pueden exhibir formas tanto retrógradas como directas. En algunas de las soluciones de Broucke, dos de los cuerpos siguen el mismo camino. ^[14]

En 1993, el físico Cris Moore del Instituto Santa Fe encontró una solución de momento angular cero con tres masas iguales moviéndose alrededor de una forma de ocho. ^[15] En 2000, los matemáticos Alain Chenciner y Richard Montgomery demostraron su existencia formal. ^{[16] [17]} Se ha demostrado numéricamente que la solución es estable para pequeñas perturbaciones de la masa y los parámetros orbitales, lo que hace posible observar tales órbitas en el universo físico. Pero se ha argumentado que esto es poco probable ya que el ámbito de estabilidad es pequeño. Por ejemplo, se ha estimado que la probabilidad de que un evento de dispersión binario-binario ^{[ se necesita aclaración ]} resulte en una órbita en forma de 8 es una pequeña fracción de un porcentaje. ^[18]

En 2013, los físicos Milovan Šuvakov y Veljko Dmitrašinović del Instituto de Física de Belgrado descubrieron 13 nuevas familias de soluciones para el problema de tres cuerpos de igual masa y momento angular cero. ^{[8] [14]}

En 2015, la física Ana Hudomal descubrió 14 nuevas familias de soluciones para el problema de tres cuerpos de igual masa y momento angular cero. ^[19]

En 2017, los investigadores Xiaoming Li y Shijun Liao encontraron 669 nuevas órbitas periódicas del problema de los tres cuerpos de igual masa y momento angular cero. ^[20] A esto le siguieron en 2018 1223 nuevas soluciones adicionales para un sistema de momento angular cero de masas desiguales. ^[21]

En 2018, Li y Liao informaron 234 soluciones al problema de los tres cuerpos en "caída libre" de masa desigual. ^[22] La formulación de caída libre comienza con los tres cuerpos en reposo. Debido a esto, las masas en una configuración de caída libre no orbitan en un "bucle" cerrado, sino que viajan hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una "pista" abierta.

En 2023, Ivan Hristov, Radoslava Hristova, Dmitrašinović y Kiyotaka Tanikawa publicaron una búsqueda del problema de tres cuerpos de "órbitas periódicas de caída libre", limitada al caso de igual masa, y encontraron 12.409 soluciones distintas. ^[23]

Enfoques numéricos

Utilizando una computadora, el problema se puede resolver con una precisión arbitrariamente alta mediante integración numérica, aunque la alta precisión requiere una gran cantidad de tiempo de CPU. Ha habido intentos de crear programas de computadora que resuelvan numéricamente el problema de los tres cuerpos (y, por extensión, el problema de los n cuerpos) que involucren interacciones electromagnéticas y gravitacionales, e incorporen teorías modernas de la física como la relatividad especial. ^[24] Además, utilizando la teoría de los paseos aleatorios , se puede calcular una probabilidad aproximada de diferentes resultados. ^{[25] [26]}

Historia

El problema gravitacional de tres cuerpos en su sentido tradicional data esencialmente de 1687, cuando Isaac Newton publicó su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , cuando Newton intentaba descubrir si es posible alguna estabilidad a largo plazo, especialmente el sistema de nuestra Tierra , la Luna. y el sol. Los principales astrónomos del Renacimiento, Nicolás Copérnico , Tycho Brahe y Johannes Kepler lo guiaron hasta el comienzo del problema gravitacional de los tres cuerpos. ^[27] En la Proposición 66 del Libro 1 de los Principia , y sus 22 Corolarios, Newton dio los primeros pasos en la definición y estudio del problema de los movimientos de tres cuerpos masivos sujetos a sus atracciones gravitacionales mutuamente perturbadoras. En las Proposiciones 25 a 35 del Libro 3, Newton también dio los primeros pasos al aplicar sus resultados de la Proposición 66 a la teoría lunar , el movimiento de la Luna bajo la influencia gravitacional de la Tierra y el Sol. ^[28] Más tarde, este problema también se aplicó a las interacciones de otros planetas con la Tierra y el Sol. ^[27]

El problema físico fue abordado primero por Amerigo Vespucci y posteriormente por Galileo Galilei , así como por Simon Stevin , pero no se dieron cuenta de lo que aportaban. Aunque Galileo determinó que la velocidad de caída de todos los cuerpos cambia uniformemente y de la misma manera, no lo aplicó a los movimientos planetarios. ^[27] Mientras que en 1499, Vespucci utilizó el conocimiento de la posición de la Luna para determinar su posición en Brasil. ^[29] Adquirió importancia técnica en la década de 1720, ya que una solución precisa sería aplicable a la navegación, específicamente para la determinación de la longitud en el mar , resuelta en la práctica con la invención del cronómetro marino de John Harrison . Sin embargo, la precisión de la teoría lunar era baja debido al efecto perturbador del Sol y los planetas sobre el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.

Jean le Rond d'Alembert y Alexis Clairaut , que desarrollaron una rivalidad de larga data, intentaron analizar el problema con cierto grado de generalidad; presentaron sus primeros análisis competitivos a la Académie Royale des Sciences en 1747. ^[30] Fue en conexión con su investigación, en París durante la década de 1740, que comenzó el nombre "problema de los tres cuerpos" ( francés : Problème des trois Corps ). para ser de uso común. Un relato publicado en 1761 por Jean le Rond d'Alembert indica que el nombre se utilizó por primera vez en 1747. ^[31]

Desde finales del siglo XIX hasta principios del siglo XX, los científicos desarrollaron el método para resolver el problema de los tres cuerpos mediante el uso de fuerzas atractivas de dos cuerpos de corto alcance, que ofrecieron a PF Bedaque, H.-W. Hammer y U. van Kolck idearon una idea para renormalizar el problema de los tres cuerpos de corto alcance, lo que proporcionó a los científicos un raro ejemplo de un ciclo límite de grupo de renormalización a principios del siglo XXI. ^[32] George William Hill trabajó en el problema restringido a finales del siglo XIX con una aplicación del movimiento de Venus y Mercurio . ^[33]

A principios del siglo XX, Karl Sundman abordó el problema de forma matemática y sistemática proporcionando una prueba teórica funcional del problema válida para todos los valores del tiempo. Fue la primera vez que los científicos resolvieron teóricamente el problema de los tres cuerpos. Sin embargo, debido a que no había una solución suficientemente cualitativa para este sistema y los científicos tardaron demasiado en aplicarlo en la práctica, esta solución aún dejó algunos problemas sin resolver. ^{[34] En la década de 1970,} V. Efimov descubrió la implicación de las fuerzas de tres cuerpos a partir de dos cuerpos , lo que se denominó efecto Efimov . ^[35]

En 2017, Shijun Liao y Xiaoming Li aplicaron una nueva estrategia de simulación numérica para sistemas caóticos llamada simulación numérica limpia (CNS), con el uso de una supercomputadora nacional, para obtener con éxito 695 familias de soluciones periódicas del sistema de tres cuerpos con masa igual. ^[36]

En 2019, Breen et al. anunció un solucionador rápido de redes neuronales para el problema de los tres cuerpos, entrenado utilizando un integrador numérico. ^[37]

Según los informes, en septiembre de 2023 se encontraron varias soluciones posibles al problema. ^{[38] [39]}

Otros problemas que involucran tres cuerpos.

El término "problema de los tres cuerpos" se utiliza a veces en un sentido más general para referirse a cualquier problema físico que implique la interacción de tres cuerpos.

Un análogo mecánico-cuántico del problema gravitacional de los tres cuerpos en la mecánica clásica es el átomo de helio , en el que un núcleo de helio y dos electrones interactúan según la interacción de Coulomb en el cuadrado inverso . Al igual que el problema gravitacional de los tres cuerpos, el átomo de helio no puede resolverse exactamente. ^[40]

Sin embargo, tanto en la mecánica clásica como en la cuántica, existen leyes de interacción no triviales además de la fuerza del cuadrado inverso que conducen a soluciones analíticas exactas de tres cuerpos. Uno de esos modelos consiste en una combinación de atracción armónica y una fuerza repulsiva de cubo inverso. ^[41] Este modelo se considera no trivial ya que está asociado con un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales que contienen singularidades (en comparación, por ejemplo, con interacciones armónicas solas, que conducen a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de fácil solución). En estos dos aspectos, es análogo a los modelos (insolubles) que tienen interacciones de Coulomb y, como resultado, se ha sugerido como una herramienta para comprender intuitivamente sistemas físicos como el átomo de helio. ^{[41] [42]}

Dentro del modelo de vórtice puntual , el movimiento de los vórtices en un fluido ideal bidimensional se describe mediante ecuaciones de movimiento que contienen sólo derivadas temporales de primer orden. Es decir, a diferencia de la mecánica newtoniana, es la velocidad y no la aceleración la que está determinada por sus posiciones relativas. Como consecuencia, el problema de los tres vórtices sigue siendo integrable , ^[43] mientras que se requieren al menos cuatro vórtices para obtener un comportamiento caótico. ^[44] Se pueden establecer paralelos entre el movimiento de una partícula trazadora pasiva en el campo de velocidades de tres vórtices y el problema restringido de los tres cuerpos de la mecánica newtoniana. ^[45]

El problema gravitacional de los tres cuerpos también se ha estudiado utilizando la relatividad general . Físicamente, un tratamiento relativista se hace necesario en sistemas con campos gravitacionales muy fuertes, como cerca del horizonte de sucesos de un agujero negro . Sin embargo, el problema relativista es considerablemente más difícil que en la mecánica newtoniana y se requieren técnicas numéricas sofisticadas . Incluso el problema completo de dos cuerpos (es decir, de una relación arbitraria de masas) no tiene una solución analítica rigurosa en la relatividad general. ^[46]

problema n -cuerpo

El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de los n cuerpos , que describe cómo n objetos se mueven bajo una de las fuerzas físicas, como la gravedad . Estos problemas tienen una solución analítica global en forma de una serie de potencias convergentes, como lo demostró Karl F. Sundman para n = 3 y Qiudong Wang para n > 3 (ver problema de n -cuerpos para más detalles). Sin embargo, las series de Sundman y Wang convergen tan lentamente que resultan inútiles para fines prácticos; ^[47] por lo tanto, actualmente es necesario aproximar soluciones mediante análisis numérico en forma de integración numérica o, para algunos casos, aproximaciones de series trigonométricas clásicas (ver simulación de n cuerpos ). Los sistemas atómicos, por ejemplo átomos, iones y moléculas, pueden tratarse en términos del problema cuántico de los n cuerpos. Entre los sistemas físicos clásicos, el problema de los n cuerpos suele referirse a una galaxia o a un cúmulo de galaxias ; Los sistemas planetarios, como las estrellas, los planetas y sus satélites, también pueden tratarse como sistemas de n cuerpos. Algunas aplicaciones se tratan convenientemente mediante la teoría de la perturbación , en la que el sistema se considera como un problema de dos cuerpos más fuerzas adicionales que causan desviaciones de una trayectoria hipotética de dos cuerpos no perturbados.

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Sistemas de pocos cuerpos
• Formación y evolución de galaxias.
• asistencia por gravedad
• punto de lagrange
• Transferencia de baja energía
• Michael Minovitch
• simulación de n cuerpos
• Integrador simpléctico
• Problema de Sitnikov
• problema de dos cuerpos
• Marco de referencia sinódico
• sistema estelar triple
• El problema de los tres cuerpos (novela)
• 3 Problema corporal (serie de televisión)

Referencias

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13. Aquí la constante gravitacional G se ha establecido en 1 y las condiciones iniciales son r ₁ (0) = - r ₃ (0) = (-0,97000436, 0,24308753); r2 ( ₀ ) = (0,0); v ₁ (0) = v ₃ (0) = (0,4662036850, 0,4323657300); v2 ( ₀ ) = (-0,93240737, -0,86473146). Los valores se obtienen de Chenciner y Montgomery (2000).
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    Clairaut: "Sobre el sistema del mundo, según los principios de la gravitación universal" (págs. 329-364); y

    d'Alembert: "Método general para determinar las órbitas y los movimientos de todos los planetas, teniendo en cuenta sus acciones mutuas" (en págs. 365-390). La peculiar datación se explica mediante una nota impresa en la página 390 del " Sección "Memorias": "Aunque las memorias anteriores, de los señores Clairaut y d'Alembert, sólo fueron leídas durante el año 1747, se consideró apropiado publicarlas en el volumen de este año" (es decir, el volumen dedicado a las actas de 1745, pero publicadas en 1749).

31. Jean le Rond d'Alembert , en un artículo de 1761 que revisa la historia matemática del problema, menciona que Euler había dado un método para integrar una determinada ecuación diferencial "en 1740 (siete años antes de que se planteara el problema de los tres cuerpos). )": véase d'Alembert, "Opuscules Mathématiques", vol. 2, París 1761, Quatorzième Mémoire ("Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune ...") págs. 329-312, en sec. VIP. 245.
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Otras lecturas

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enlaces externos

• Chenciner, Alain (2007). "Problema de los tres cuerpos". Scholarpedia . 2 (10): 2111. Código bibliográfico : 2007SchpJ...2.2111C. doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
• Los físicos descubren la friolera de 13 nuevas soluciones al problema de los tres cuerpos ( Ciencia )
• Simulador de 3 cuerpos: un ejemplo de un programa informático que resuelve numéricamente el problema de los tres cuerpos