El problema de Sitnikov es una versión restringida del problema de los tres cuerpos, que debe su nombre al matemático ruso Kirill Alexandrovitch Sitnikov y que intenta describir el movimiento de tres cuerpos celestes debido a su atracción gravitatoria mutua. Un caso especial del problema de Sitnikov fue descubierto por primera vez por el científico estadounidense William Duncan MacMillan en 1911, pero el problema tal como se plantea actualmente no fue descubierto hasta 1961 por Sitnikov.
El sistema consta de dos cuerpos primarios con la misma masa , que se mueven en órbitas circulares o elípticas de Kepler alrededor de su centro de masas . El tercer cuerpo, que es sustancialmente más pequeño que los cuerpos primarios y cuya masa se puede establecer en cero , se mueve bajo la influencia de los cuerpos primarios en un plano que es perpendicular al plano orbital de los cuerpos primarios (ver Figura 1). El origen del sistema está en el foco de los cuerpos primarios. Para este sistema se utilizan una masa combinada de los cuerpos primarios , un período orbital de los cuerpos y un radio de la órbita de los cuerpos . Además, la constante gravitacional es 1. En un sistema en el que el tercer cuerpo solo se mueve en una dimensión, se mueve solo a lo largo del eje z.
Para derivar la ecuación de movimiento en el caso de órbitas circulares para los cuerpos primarios, se supone que la energía total es:
Después de diferenciar con respecto al tiempo, la ecuación queda:
Esto, según la Figura 1, también es cierto:
Así pues, la ecuación de movimiento es la siguiente:
que describe un sistema integrable ya que tiene un grado de libertad.
Si por el contrario los cuerpos primarios se mueven en órbitas elípticas entonces las ecuaciones de movimiento son
donde es la distancia de cada primario desde su centro de masa común. Ahora el sistema tiene un grado y medio de libertad y se sabe que es caótico.
Aunque es casi imposible en el mundo real encontrar u ordenar tres cuerpos celestes exactamente como en el problema de Sitnikov, el problema todavía se estudia amplia e intensivamente desde hace décadas: aunque es un caso simple del problema más general de los tres cuerpos, todas las características de un sistema caótico se pueden encontrar dentro del problema, lo que hace que el problema de Sitnikov sea ideal para estudios generales sobre los efectos en sistemas dinámicos caóticos.
