Principio de Bernoulli

Un flujo de aire a través de un medidor Venturi . La energía cinética aumenta a expensas de la presión del fluido , como lo demuestra la diferencia de altura de las dos columnas de agua.

Vídeo de un medidor Venturi utilizado en un experimento de laboratorio

El principio de Bernoulli es un concepto clave en dinámica de fluidos que relaciona la presión, la velocidad y la altura. El principio de Bernoulli establece que un aumento en la velocidad de una parcela de fluido ocurre simultáneamente con una disminución en la presión o la altura sobre un punto de referencia. ^[1]^{: Cap.3}^[2]^{: 156–164, § 3.5} El principio recibe su nombre del matemático y físico suizo Daniel Bernoulli , quien lo publicó en su libro Hydrodynamica en 1738. ^[3] Aunque Bernoulli dedujo que la presión disminuye cuando la velocidad del flujo aumenta, fue Leonhard Euler en 1752 quien derivó la ecuación de Bernoulli en su forma habitual. ^[4]^[5]

El principio de Bernoulli se puede derivar del principio de conservación de la energía . Este establece que, en un flujo constante, la suma de todas las formas de energía en un fluido es la misma en todos los puntos que están libres de fuerzas viscosas. Esto requiere que la suma de energía cinética , energía potencial y energía interna permanezca constante. ^[2]^{: § 3.5} Por lo tanto, un aumento en la velocidad del fluido, lo que implica un aumento en su energía cinética, ocurre con una disminución simultánea en (la suma de) su energía potencial (incluida la presión estática) y energía interna. Si el fluido fluye fuera de un depósito, la suma de todas las formas de energía es la misma porque en un depósito la energía por unidad de volumen (la suma de la presión y el potencial gravitatorio $ρ g h$ ) es la misma en todas partes. ^[6]^{: Ejemplo 3.5 y p.116}

El principio de Bernoulli también se puede derivar directamente de la segunda ley del movimiento de Isaac Newton . Si un pequeño volumen de fluido fluye horizontalmente desde una región de alta presión a una región de baja presión, entonces hay más presión detrás que delante. Esto da lugar a una fuerza neta sobre el volumen, que lo acelera a lo largo de la línea de corriente. ^[a]^[b]^[c]

Las partículas de un fluido están sujetas únicamente a la presión y a su propio peso. Si un fluido fluye horizontalmente y a lo largo de una sección de una línea de corriente, donde la velocidad aumenta sólo puede ser porque el fluido en esa sección se ha movido desde una región de mayor presión a una región de menor presión; y si su velocidad disminuye, sólo puede ser porque se ha movido desde una región de menor presión a una región de mayor presión. En consecuencia, dentro de un fluido que fluye horizontalmente, la velocidad más alta ocurre donde la presión es más baja, y la velocidad más baja ocurre donde la presión es más alta. ^[10]

El principio de Bernoulli sólo es aplicable a flujos isentrópicos : cuando los efectos de los procesos irreversibles (como la turbulencia ) y los procesos no adiabáticos (por ejemplo, la radiación térmica ) son pequeños y pueden despreciarse. Sin embargo, el principio se puede aplicar a varios tipos de flujo dentro de estos límites, lo que da como resultado varias formas de la ecuación de Bernoulli. La forma simple de la ecuación de Bernoulli es válida para flujos incompresibles (por ejemplo, la mayoría de los flujos de líquidos y gases que se mueven a un número de Mach bajo ). Se pueden aplicar formas más avanzadas a flujos compresibles a números de Mach más altos.

Ecuación de flujo incompresible

En la mayoría de los flujos de líquidos y de gases con un número de Mach bajo , la densidad de una parcela de fluido puede considerarse constante, independientemente de las variaciones de presión en el flujo. Por lo tanto, el fluido puede considerarse incompresible y estos flujos se denominan flujos incompresibles . Bernoulli realizó sus experimentos en líquidos, por lo que su ecuación en su forma original es válida solo para flujos incompresibles.

Una forma común de la ecuación de Bernoulli es:

dónde:

${\estilo de visualización v}$ es la velocidad del flujo del fluido en un punto,
${\estilo de visualización g}$ es la aceleración debida a la gravedad ,
${\estilo de visualización z}$ es la elevación del punto sobre un plano de referencia, con la dirección positiva apuntando hacia arriba, es decir, en la dirección opuesta a la aceleración gravitacional, ${\estilo de visualización z}$
${\estilo de visualización p}$ es la presión en el punto elegido, y
${\estilo de visualización \rho}$ es la densidad del fluido en todos los puntos del fluido.

La ecuación de Bernoulli y la constante de Bernoulli son aplicables en cualquier región de flujo donde la energía por unidad de masa sea uniforme. Debido a que la energía por unidad de masa de líquido en un yacimiento bien mezclado es uniforme en todas partes, la ecuación de Bernoulli se puede utilizar para analizar el flujo de fluido en todas partes de ese yacimiento (incluidas las tuberías o los campos de flujo que alimenta el yacimiento), excepto donde las fuerzas viscosas dominan y erosionan la energía por unidad de masa. ^[6]^{: Ejemplo 3.5 y p.116}

Para que se aplique esta ecuación de Bernoulli se deben cumplir los siguientes supuestos: ^[2]^{: 265}

El flujo debe ser constante , es decir, los parámetros del flujo (velocidad, densidad, etc.) en cualquier punto no pueden cambiar con el tiempo.
el flujo debe ser incompresible: aunque la presión varíe, la densidad debe permanecer constante a lo largo de una línea de corriente;
La fricción por fuerzas viscosas debe ser despreciable.

Para campos de fuerza conservativos (no limitados al campo gravitatorio ), la ecuación de Bernoulli se puede generalizar como: ^[2]^{: 265} donde $Ψ$ es el potencial de fuerza en el punto considerado. Por ejemplo, para la gravedad de la Tierra $Ψ =$ $gz$ . ${\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{constante}}$

Al multiplicar por la densidad del fluido $ρ$ , la ecuación ( A ) se puede reescribir como: o: donde ${\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{constante}}$ $q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{constante}}$

$q = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2ρv 2$ es $la$ presión dinámica ,
$h = z + ⁠ pag / ρg ⁠$ es la altura piezométrica o altura hidráulica (la suma de la elevación $z$ y la altura de presión )^[11]^[12] y
$p 0 = p + q$ es la presión de estancamiento (la suma de la presión estática $p$ y la presión dinámica $q$ ).^[13]

La constante de la ecuación de Bernoulli se puede normalizar. Un enfoque común es en términos de carga total o carga de energía $H$ : $H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},$

Las ecuaciones anteriores sugieren que existe una velocidad de flujo a la que la presión es cero, y a velocidades aún mayores la presión es negativa. La mayoría de las veces, los gases y líquidos no son capaces de soportar una presión absoluta negativa, o incluso una presión cero, por lo que claramente la ecuación de Bernoulli deja de ser válida antes de que se alcance la presión cero. En los líquidos, cuando la presión se vuelve demasiado baja, se produce cavitación . Las ecuaciones anteriores utilizan una relación lineal entre la velocidad de flujo al cuadrado y la presión. A velocidades de flujo más altas en los gases, o para las ondas sonoras en los líquidos, los cambios en la densidad de masa se vuelven significativos, por lo que el supuesto de densidad constante no es válido.

Forma simplificada

En muchas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, el cambio en el término $ρgz$ es tan pequeño comparado con los otros términos que puede ignorarse. Por ejemplo, en el caso de un avión en vuelo, el cambio en la altura $z$ es tan pequeño que el término $ρgz$ puede omitirse. Esto permite que la ecuación anterior se presente en la siguiente forma simplificada: donde $p$ $0$ se llama presión total y $q$ es presión dinámica . ^[14] Muchos autores se refieren a la presión $p$ como presión estática para distinguirla de la presión total $p$ $0$ y la presión dinámica $q$ . En Aerodynamics , LJ Clancy escribe: "Para distinguirla de las presiones totales y dinámicas, la presión real del fluido, que no está asociada con su movimiento sino con su estado, a menudo se denomina presión estática, pero cuando se usa solo el término presión, se refiere a esta presión estática". ^[1]^{: § 3.5} $estilo de visualización p+q=p_{0}}$

La forma simplificada de la ecuación de Bernoulli se puede resumir en la siguiente ecuación de palabras memorable: ^[1]^{: § 3.5}

presión estática + presión dinámica = presión total

Cada punto de un fluido que fluye de manera constante, independientemente de la velocidad del fluido en ese punto, tiene su propia presión estática $p$ $y$ presión dinámica $q$ . La suma de ambas $se$ $define$ como la presión total $p 0$ . La importancia del principio de Bernoulli ahora se puede resumir como "la presión total es constante en cualquier región libre de fuerzas viscosas". Si el flujo del fluido se detiene en algún punto, este punto se denomina punto de estancamiento, y en este punto la presión estática es igual a la presión de estancamiento .

Si el flujo de fluido es irrotacional , la presión total es uniforme y el principio de Bernoulli se puede resumir como "la presión total es constante en todas partes en el flujo de fluido". ^[1]^{: Ecuación 3.12} Es razonable suponer que existe flujo irrotacional en cualquier situación donde un gran cuerpo de fluido fluye más allá de un cuerpo sólido. Algunos ejemplos son los aviones en vuelo y los barcos que se mueven en cuerpos de agua abiertos. Sin embargo, el principio de Bernoulli no se aplica en la capa límite , como en el flujo a través de tuberías largas .

Flujo potencial inestable

La ecuación de Bernoulli para el flujo potencial inestable se utiliza en la teoría de las olas superficiales oceánicas y la acústica . Para un flujo irrotacional, la velocidad del flujo se puede describir como el gradiente $\nabla φ$ de un potencial de velocidad $φ$ . En ese caso, y para una densidad constante $ρ$ , las ecuaciones de momento de las ecuaciones de Euler se pueden integrar a: ^[2]^{: 383} ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),$

que es una ecuación de Bernoulli válida también para flujos inestables o dependientes del tiempo. Aquí $⁠$ $\partial φ / \partial ⁠$ denota la derivada parcial del potencial de velocidad $φ$ con respecto al tiempo $t$ , y $v = | \nabla φ |$ es la velocidad del flujo. La función $f (t)$ depende solo del tiempo y no de la posición en el fluido. Como resultado, la ecuación de Bernoulli en algún momento $t$ se aplica en todo el dominio del fluido. Esto también es cierto para el caso especial de un flujo irrotacional constante, en cuyo caso $f$ y $⁠$ $\partial φ / \partial ⁠$ son constantes, por lo que la ecuación ( A ) se puede aplicar en cada punto del dominio del fluido.^[2]^{: 383} Además, $f (t)$ se puede hacer igual a cero incorporándolo al potencial de velocidad utilizando la transformación: resultando en: $\Phi =\varphi -\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,$ ${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=0.$

Nótese que la relación entre el potencial y la velocidad del flujo no se ve afectada por esta transformación: $\nablaΦ = \nabla φ$ .

La ecuación de Bernoulli para el flujo potencial inestable también parece jugar un papel central en el principio variacional de Luke , una descripción variacional de los flujos de superficie libre que utiliza la mecánica lagrangiana .

Ecuación de flujo compresible

Bernoulli desarrolló su principio a partir de observaciones sobre líquidos, y la ecuación de Bernoulli es válida para fluidos ideales: aquellos que son incompresibles, irrotacionales, no viscosos y sujetos a fuerzas conservativas. A veces es válida para el flujo de gases: siempre que no haya transferencia de energía cinética o potencial del flujo de gas a la compresión o expansión del gas. Si tanto la presión como el volumen del gas cambian simultáneamente, entonces se realizará trabajo sobre o por el gas. En este caso, no se puede asumir que la ecuación de Bernoulli, en su forma de flujo incompresible, sea válida. Sin embargo, si el proceso del gas es completamente isobárico o isocórico , entonces no se realiza trabajo sobre o por el gas (por lo que el simple balance de energía no se altera). Según la ley de los gases, un proceso isobárico o isocórico es ordinariamente la única forma de asegurar una densidad constante en un gas. Además, la densidad del gas será proporcional a la relación entre la presión y la temperatura absoluta ; Sin embargo, esta relación variará con la compresión o expansión, sin importar qué cantidad de calor no nula se agregue o elimine. La única excepción es si la transferencia neta de calor es cero, como en un ciclo termodinámico completo o en un proceso isentrópico individual ( adiabático sin fricción ), e incluso entonces este proceso reversible debe revertirse para restaurar el gas a la presión original y al volumen específico, y por lo tanto a la densidad. Solo entonces es aplicable la ecuación de Bernoulli original, sin modificar. En este caso, la ecuación se puede utilizar si la velocidad de flujo del gas es suficientemente inferior a la velocidad del sonido , de modo que se pueda ignorar la variación en la densidad del gas (debida a este efecto) a lo largo de cada línea de corriente. El flujo adiabático a menos de Mach 0,3 generalmente se considera lo suficientemente lento. ^[15]

Es posible utilizar los principios fundamentales de la física para desarrollar ecuaciones similares aplicables a fluidos compresibles. Existen numerosas ecuaciones, cada una diseñada para una aplicación particular, pero todas son análogas a la ecuación de Bernoulli y todas se basan únicamente en los principios fundamentales de la física, como las leyes del movimiento de Newton o la primera ley de la termodinámica .

Flujo compresible en dinámica de fluidos

Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica , y bajo la acción de fuerzas conservativas, ^[16] donde: ${\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}}{\rho \left({\tilde {p}}\right)}}+\Psi ={\text{constant (along a streamline)}}$

$p$ es la presión
$ρ$ es la densidad y $ρ (p)$ indica que es una función de la presión
$v$ es la velocidad del flujo
$Ψ$ es el potencial asociado con el campo de fuerza conservativo, a menudo el potencial gravitacional

En situaciones de ingeniería, las elevaciones son generalmente pequeñas en comparación con el tamaño de la Tierra, y las escalas de tiempo del flujo de fluido son lo suficientemente pequeñas como para considerar la ecuación de estado como adiabática. En este caso, la ecuación anterior para un gas ideal se convierte en: ^[1]^{: § 3.11} donde, además de los términos enumerados anteriormente: ${\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant (along a streamline)}}$

$γ$ es la relación de los calores específicos del fluido
$g$ es la aceleración debida a la gravedad
$z$ es la elevación del punto sobre un plano de referencia

En muchas aplicaciones de flujo compresible, los cambios de elevación son insignificantes en comparación con los otros términos, por lo que se puede omitir el término $gz . Una forma muy útil de la ecuación es entonces:$ ${\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}$

dónde:

$p 0$ es la presión total
$ρ 0$ es la densidad total

Flujo compresible en termodinámica

La forma más general de la ecuación, adecuada para su uso en termodinámica en caso de flujo (cuasi) estable, es: ^[2]^{: § 3.5}^[17]^{: § 5}^[18]^{: § 5.9}

${\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +w={\text{constant}}.$

Aquí $w$ es la entalpía por unidad de masa (también conocida como entalpía específica), que a menudo también se escribe como $h$ (que no debe confundirse con "altura" o "altura").

Nótese que donde $e$ es la energía termodinámica por unidad de masa, también conocida como energía interna específica . Por lo tanto, para una energía interna constante, la ecuación se reduce a la forma de flujo incompresible. $w=e+{\frac {p}{\rho }}~~~\left(={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}\right)$ $e$

La constante del lado derecho se suele denominar constante de Bernoulli y se denota $b$ . Para un flujo adiabático no viscoso constante sin fuentes ni sumideros de energía adicionales, $b$ es constante a lo largo de cualquier línea de corriente dada. En términos más generales, cuando $b$ puede variar a lo largo de las líneas de corriente, sigue siendo un parámetro útil, relacionado con la "altura" del fluido (véase más abajo).

Cuando se puede ignorar el cambio en $Ψ$ , una forma muy útil de esta ecuación es: donde $w$ $0$ es la entalpía total. Para un gas calóricamente perfecto, como un gas ideal, la entalpía es directamente proporcional a la temperatura, y esto conduce al concepto de temperatura total (o de estancamiento). ${\frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}$

Cuando hay ondas de choque en un sistema de referencia en el que el choque es estacionario y el flujo es constante, muchos de los parámetros de la ecuación de Bernoulli sufren cambios abruptos al pasar por el choque. El parámetro de Bernoulli permanece inalterado. Una excepción a esta regla son los choques radiativos, que violan los supuestos que dan lugar a la ecuación de Bernoulli, es decir, la falta de sumideros o fuentes de energía adicionales.

Flujo potencial inestable

Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica, la ecuación de conservación del momento inestable ${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\vec {g}}-{\frac {\nabla p}{\rho }}$

Con el supuesto irrotacional, es decir, la velocidad del flujo se puede describir como el gradiente $\nabla φ$ de un potencial de velocidad $φ$ . La ecuación de conservación del momento inestable se convierte en lo que conduce a ${\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}\right)=-\nabla \Psi -\nabla \int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}$ ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}={\text{constant}}$

En este caso, la ecuación anterior para el flujo isentrópico se convierte en: ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}$

Derivaciones

Ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles

La ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles se puede derivar integrando la segunda ley de movimiento de Newton o aplicando la ley de conservación de la energía , ignorando la viscosidad , la compresibilidad y los efectos térmicos.

Derivación mediante la integración de la segunda ley del movimiento de Newton

La derivación más simple es ignorar primero la gravedad y considerar las constricciones y expansiones en tuberías que de otro modo serían rectas, como se ve en el efecto Venturi . Deje que el eje $x$ esté dirigido hacia abajo del eje de la tubería.

Defina una parcela de fluido que se mueve a través de una tubería con área de sección transversal $A$ , la longitud de la parcela es $d x$ y el volumen de la parcela $A d x$ . Si la densidad de masa es $ρ$ , la masa de la parcela es la densidad multiplicada por su volumen $m = ρA d x$ . El cambio en la presión sobre la distancia $d x$ es $d p$ y la velocidad del flujo $v = ⁠ dx / el o ⁠$ .

Aplique la segunda ley de movimiento de Newton (fuerza = masa × aceleración) y reconozca que la fuerza efectiva sobre la parcela de fluido es $- A d p$ . Si la presión disminuye a lo largo de la tubería, $d p$ es negativo, pero la fuerza resultante del flujo es positiva a lo largo del eje $x .$

${\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=F\\\rho A\mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-A\mathrm {d} p\\\rho {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}$

En un flujo constante, el campo de velocidad es constante con respecto al tiempo, $v = v (x) = v (x (t))$ , por lo que $v$ en sí no es una función directa del tiempo $t$ . Solo cuando la parcela se mueve a través de $x$ cambia el área de la sección transversal: $v$ depende de $t$ solo a través de la posición de la sección transversal $x (t)$ . ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right).$

Con una densidad $ρ$ constante, la ecuación de movimiento se puede escribir como mediante la integración con respecto a $x$ , donde $C$ es una constante, a veces denominada constante de Bernoulli. No es una constante universal , sino más bien una constante de un sistema de fluido particular. La deducción es: donde la velocidad es grande, la presión es baja y viceversa. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0$ ${\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C$

En la derivación anterior no se invoca ningún principio externo de trabajo-energía, sino que se derivó el principio de Bernoulli mediante una simple manipulación de la segunda ley de Newton.

Tubo de flujo de fluido que se mueve hacia la derecha. Se indican la presión, la elevación, la velocidad del flujo, la distancia ( $s$ ) y el área de la sección transversal. Nótese que en esta figura la elevación se denota como $h$ , al contrario del texto donde se indica como $z$ .

Derivación mediante el uso de la conservación de la energía.

Otra forma de derivar el principio de Bernoulli para un flujo incompresible es aplicando la conservación de la energía. ^[19] En la forma del teorema de trabajo-energía , que establece que ^[20]

el cambio en la energía cinética

Ekin

del sistema es igual al trabajo neto

W

$realizado$ en el sistema ;

W=\Delta E_{\text{kin}}.

Por lo tanto,

El trabajo realizado por las fuerzas en el fluido es igual al aumento de la energía cinética .

El sistema está formado por el volumen de fluido, inicialmente entre las secciones transversales $A 1$ y $A 2$ . En el intervalo de tiempo $Δ t$ los elementos de fluido inicialmente en la sección transversal de entrada $A 1$ se mueven sobre una distancia $s 1 = v 1 Δ t$ , mientras que en la sección transversal de salida el fluido se aleja de la sección transversal $A 2$ sobre una distancia $s 2 = v 2 Δ t$ . Los volúmenes de fluido desplazados en la entrada y la salida son respectivamente $A 1 s 1$ y $A 2 s 2$ . Las masas de fluido desplazadas asociadas son – cuando $ρ es la$ densidad de masa del fluido – iguales a la densidad por el volumen, por lo que $ρA 1 s 1$ y $ρA 2 s 2$ . Por conservación de la masa, estas dos masas desplazadas en el intervalo de tiempo $Δ t$ tienen que ser iguales, y esta masa desplazada se denota por $Δ m$ : ${\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{aligned}}$

El trabajo realizado por las fuerzas consta de dos partes:

El trabajo realizado por la presión que actúa sobre las áreas $A 1$ y $A 2$ $W_{\text{pressure}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.$
El trabajo realizado por la gravedad : la energía potencial gravitatoria en el volumen $A 1 s 1$ se pierde, y en la salida en el volumen $A 2 s 2$ se gana. Por lo tanto, el cambio en la energía potencial gravitatoria $Δ E pot,gravedad$ en el intervalo de tiempo $Δ t$ es

$\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.$ Ahora, el trabajo de la fuerza de gravedad es opuesto al cambio en energía potencial , $W gravity = - ΔE pot,gravity$ : mientras que la fuerza de gravedad está en la dirección $z$ negativa , el trabajo (fuerza de gravedad por cambio en elevación) será negativo para un cambio de elevación positivo $Δ z = z 2 - z 1$ , mientras que el cambio de energía potencial correspondiente es positivo. ^[21]^{: 14–4, §14–3} Entonces: Y por lo tanto el trabajo total realizado en este intervalo de tiempo $Δ$ $t$ es El aumento en energía cinética es Poniendo estos juntos, el teorema de trabajo-energía cinética $W$ $= Δ$ $E$ $kin$ da: ^[19] o Después de dividir por la masa $Δ$ $m$ $=$ $ρA$ $1$ $v$ $1$ $Δ$ $t$ $=$ $ρA$ $2$ $v$ $2$ $Δ$ $t$ el resultado es: ^[19] o, como se indica en el primer párrafo: $W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.$ $W=W_{\text{pressure}}+W_{\text{gravity}}.$ $\Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.$ $\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}$ ${\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.$ ${\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}$

La siguiente división por $g$ da como resultado la siguiente ecuación. Nótese que cada término puede describirse en la dimensión de longitud (por ejemplo, metros). Esta es la ecuación principal derivada del principio de Bernoulli:

El término medio, $z$ , representa la energía potencial del fluido debido a su elevación con respecto a un plano de referencia. Ahora, $z$ se denomina carga de elevación y se le da la designación $z elevación$ .

Una masa en caída libre desde una altura $z > 0$ (en el vacío ) alcanzará una velocidad al llegar a la altura $z$ $= 0.$ O cuando se reordena como cabeza : El término $⁠$ $v={\sqrt {{2g}{z}}},$ $h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}$ $versión 2 / 2 gramos ⁠$ se denomina carga de velocidad y se expresa como una medida de longitud. Representa la energía interna del fluido debido a su movimiento.

La presión hidrostática p se define como con $p$ $0$ alguna presión de referencia, o cuando se reordena como altura : El $término$ $p=p_{0}-\rho gz,$ $\psi ={\frac {p}{\rho g}}.$ $pag / ρg ⁠$ también se denomina carga de presión y se expresa como una medida de longitud. Representa la energía interna del fluido debido a la presión ejercida sobre el recipiente. La carga debida a la velocidad del flujo y la carga debida a la presión estática combinadas con la elevación sobre un plano de referencia, obtienen una relación simple útil para fluidos incompresibles utilizando la carga de velocidad, la carga de elevación y la carga de presión.

Si la ecuación 1 se multiplica por la densidad del fluido, se obtiene una ecuación con tres términos de presión:

Nótese que la presión del sistema es constante en esta forma de la ecuación de Bernoulli. Si la presión estática del sistema (el tercer término) aumenta, y si la presión debida a la elevación (el término medio) es constante, entonces la presión dinámica (el primer término) debe haber disminuido. En otras palabras, si la velocidad de un fluido disminuye y no se debe a una diferencia de elevación, debe deberse a un aumento en la presión estática que resiste el flujo.

Las tres ecuaciones son simplemente versiones simplificadas de un balance de energía de un sistema.

Ecuación de Bernoulli para fluidos compresibles

La derivación para fluidos compresibles es similar. Nuevamente, la derivación depende de (1) conservación de masa, y (2) conservación de energía. La conservación de masa implica que en la figura anterior, en el intervalo de tiempo $Δ t$ , la cantidad de masa que pasa a través del límite definido por el área $A 1$ es igual a la cantidad de masa que pasa hacia afuera a través del límite definido por el área $A 2$ : La conservación de energía se aplica de manera similar: Se supone que el cambio en energía del volumen del tubo de corriente limitado por $A$ $1$ y $A$ $2$ se debe completamente a la energía que entra o sale a través de uno u otro de estos dos límites. Claramente, en una situación más complicada como un flujo de fluido acoplado con radiación, tales condiciones no se cumplen. Sin embargo, suponiendo que este sea el caso y suponiendo que el flujo es constante de modo que el cambio neto en la energía es cero, donde $Δ$ $E$ $1$ y $Δ$ $E$ $2$ son la energía que entra a través de $A$ $1$ y sale a través de $A$ $2$ , respectivamente. La energía que entra a través de $A$ $1$ es la suma de la energía cinética que entra, la energía que entra en forma de energía gravitacional potencial del fluido, la energía termodinámica interna del fluido por unidad de masa ( $ε$ $1$ ) que entra, y la energía que entra en forma de trabajo mecánico $p$ $d$ $V$ : donde $Ψ$ $=$ $gz$ es un potencial de fuerza debido a la gravedad de la Tierra , $g$ es la aceleración debida a la gravedad y $z$ es la elevación sobre un plano de referencia. Se puede construir fácilmente una expresión similar para $Δ$ $E$ $2$ $. Así que ahora estableciendo 0 = Δ$ $E$ $1$ $- Δ$ $E$ $2$ : que se puede reescribir como: Ahora, utilizando el resultado obtenido previamente de la conservación de la masa, esto se puede simplificar para obtener que es la ecuación de Bernoulli para el flujo compresible. $0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t.$ $\Delta E_{1}-\Delta E_{2}=0$ $\Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t$ $0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\varepsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t$ $0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\varepsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\varepsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t$ ${\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\equiv b$

Una expresión equivalente se puede escribir en términos de entalpía del fluido ( $h$ ): ${\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b$

Aplicaciones

En la vida cotidiana moderna hay muchas observaciones que pueden explicarse con éxito mediante la aplicación del principio de Bernoulli, aunque ningún fluido real es completamente no viscoso, ^[22] y una pequeña viscosidad a menudo tiene un gran efecto en el flujo.

El principio de Bernoulli se puede utilizar para calcular la fuerza de sustentación en un perfil aerodinámico , si se conoce el comportamiento del flujo de fluido en las proximidades del perfil. Por ejemplo, si el aire que fluye más allá de la superficie superior del ala de un avión se mueve más rápido que el aire que fluye más allá de la superficie inferior, entonces el principio de Bernoulli implica que la presión en las superficies del ala será menor por encima que por debajo. Esta diferencia de presión da como resultado una fuerza de sustentación hacia arriba . ^[d]^[23] Siempre que se conozca la distribución de velocidad más allá de las superficies superior e inferior de un ala, las fuerzas de sustentación se pueden calcular (con una buena aproximación) utilizando las ecuaciones de Bernoulli, ^[24] que fueron establecidas por Bernoulli más de un siglo antes de que se utilizaran las primeras alas artificiales para el vuelo.
El carburador que se utiliza en muchos motores alternativos contiene un tubo Venturi para crear una región de baja presión que permite introducir el combustible en el carburador y mezclarlo completamente con el aire entrante. La baja presión en la garganta del tubo Venturi se puede explicar mediante el principio de Bernoulli: en la garganta estrecha, el aire se mueve a su velocidad más rápida y, por lo tanto, se encuentra a su presión más baja.
Un inyector en una locomotora de vapor o una caldera estática .
El tubo de Pitot y el puerto estático de un avión se utilizan para determinar la velocidad aerodinámica del avión. Estos dos dispositivos están conectados al indicador de velocidad aerodinámica , que determina la presión dinámica del flujo de aire que pasa por el avión. El principio de Bernoulli se utiliza para calibrar el indicador de velocidad aerodinámica de modo que muestre la velocidad aerodinámica indicada de acuerdo con la presión dinámica. ^[1]^{: § 3.8}
Una boquilla De Laval utiliza el principio de Bernoulli para crear una fuerza al convertir la energía de presión generada por la combustión de propulsores en velocidad. Esto genera empuje mediante la tercera ley del movimiento de Newton .
La velocidad de flujo de un fluido se puede medir utilizando un dispositivo como un medidor Venturi o una placa de orificio , que se puede colocar en una tubería para reducir el diámetro del flujo. Para un dispositivo horizontal, la ecuación de continuidad muestra que para un fluido incompresible, la reducción del diámetro provocará un aumento en la velocidad de flujo del fluido. Posteriormente, el principio de Bernoulli muestra que debe haber una disminución en la presión en la región de diámetro reducido. Este fenómeno se conoce como el efecto Venturi .
La tasa máxima de drenaje posible para un tanque con un orificio o grifo en la base se puede calcular directamente a partir de la ecuación de Bernoulli y se encuentra que es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del fluido en el tanque. Esta es la ley de Torricelli , que es compatible con el principio de Bernoulli. El aumento de la viscosidad reduce esta tasa de drenaje; esto se refleja en el coeficiente de descarga, que es una función del número de Reynolds y la forma del orificio. ^[25]
El agarre Bernoulli se basa en este principio para crear una fuerza adhesiva sin contacto entre una superficie y la pinza.
Durante un partido de críquet , los lanzadores pulen continuamente un lado de la pelota. Después de un tiempo, un lado está bastante áspero y el otro sigue siendo liso. Por lo tanto, cuando se lanza la pelota y pasa por el aire, la velocidad en un lado de la pelota es más rápida que en el otro, y esto da como resultado una diferencia de presión entre los lados; esto hace que la pelota gire ("oscile") mientras viaja por el aire, lo que da ventaja a los lanzadores.

Conceptos erróneos

Elevación del perfil aerodinámico

Una de las explicaciones erróneas más comunes de la sustentación aerodinámica afirma que el aire debe atravesar las superficies superior e inferior de un ala en la misma cantidad de tiempo, lo que implica que, dado que la superficie superior presenta un camino más largo, el aire debe moverse sobre la parte superior del ala más rápido que sobre la inferior. Luego se cita el principio de Bernoulli para concluir que la presión en la parte superior del ala debe ser menor que en la parte inferior. ^[26]^[27]

El tiempo de tránsito igual se aplica al flujo alrededor de un cuerpo que no genera sustentación, pero no existe ningún principio físico que requiera un tiempo de tránsito igual en los casos de cuerpos que generan sustentación. De hecho, la teoría predice –y los experimentos confirman– que el aire atraviesa la superficie superior de un cuerpo que experimenta sustentación en un tiempo más corto que el que recorre la superficie inferior; la explicación basada en el tiempo de tránsito igual es falsa. ^[28]^[29]^[30] Si bien la explicación del tiempo igual es falsa, no es el principio de Bernoulli el que es falso, porque este principio está bien establecido; la ecuación de Bernoulli se usa correctamente en los tratamientos matemáticos comunes de la sustentación aerodinámica. ^[31]^[32]

Demostraciones habituales en el aula

Existen varias demostraciones comunes en el aula que a veces se explican incorrectamente utilizando el principio de Bernoulli. ^[33] Una de ellas consiste en sostener un trozo de papel horizontalmente de modo que se incline hacia abajo y luego soplar sobre él. A medida que el demostrador sopla sobre el papel, este se eleva. Se afirma entonces que esto se debe a que "el aire que se mueve más rápido tiene menor presión". ^[34]^[35]^[36]

Un problema con esta explicación se puede ver al soplar a lo largo de la parte inferior del papel: si la desviación fue causada por aire que se mueve más rápido, entonces el papel debería desviarse hacia abajo; pero el papel se desvía hacia arriba independientemente de si el aire que se mueve más rápido está en la parte superior o inferior. ^[37] Otro problema es que cuando el aire sale de la boca del demostrador tiene la misma presión que el aire circundante; ^[38] el aire no tiene una presión menor solo porque se esté moviendo; en la demostración, la presión estática del aire que sale de la boca del demostrador es igual a la presión del aire circundante. ^[39]^[40] Un tercer problema es que es falso hacer una conexión entre el flujo en los dos lados del papel usando la ecuación de Bernoulli ya que el aire de arriba y de abajo son campos de flujo diferentes y el principio de Bernoulli solo se aplica dentro de un campo de flujo. ^[41]^[42]^[43]^[44]

Como la redacción del principio puede cambiar sus implicaciones, es importante enunciar el principio correctamente. ^[45] Lo que el principio de Bernoulli dice en realidad es que dentro de un flujo de energía constante, cuando el fluido fluye a través de una región de menor presión, aumenta su velocidad y viceversa. ^[46] Por lo tanto, el principio de Bernoulli se ocupa de los cambios de velocidad y de presión dentro de un campo de flujo. No se puede utilizar para comparar diferentes campos de flujo.

Una explicación correcta de por qué el papel se eleva sería observar que la columna sigue la curva del papel y que una línea de corriente curva desarrollará un gradiente de presión perpendicular a la dirección del flujo, con la presión más baja en el interior de la curva. ^[47]^[48]^[49]^[50] El principio de Bernoulli predice que la disminución de la presión está asociada con un aumento de la velocidad; en otras palabras, a medida que el aire pasa sobre el papel, se acelera y se mueve más rápido de lo que se movía cuando salió de la boca del demostrador. Pero esto no es evidente en la demostración. ^[51]^[52]^[53]

Otras demostraciones habituales en el aula, como soplar entre dos esferas suspendidas, inflar una bolsa grande o suspender una pelota en una corriente de aire, a veces se explican de una manera igualmente engañosa diciendo que "el aire que se mueve más rápido tiene una presión menor". ^[54]^[55]^[56]^[57]^[58]^[59]^[60]^[61]

Véase también

Ley de Torricelli
Efecto Coanda
Ecuaciones de Euler : para el flujo de un fluido no viscoso
Hidráulica : mecánica de fluidos aplicada a líquidos
Ecuaciones de Navier-Stokes : para el flujo de un fluido viscoso
Efecto tetera
Terminología en dinámica de fluidos

Notas

^ Si la partícula está en una región de presión variable (un gradiente de presión que no desaparece en la dirección $x$ ) y si la partícula tiene un tamaño finito $l$ , entonces la parte delantera de la partícula estará "viendo" una presión diferente a la trasera. Más precisamente, si la presión cae en la dirección $x ($ $⁠$ $dp / dx ⁠ < 0$ ) la presión en la parte trasera es mayor que en la delantera y la partícula experimenta una fuerza neta (positiva). Según la segunda ley de Newton, esta fuerza provoca una aceleración y la velocidad de la partícula aumenta a medida que se mueve a lo largo de la línea de corriente... La ecuación de Bernoulli describe esto matemáticamente (ver la derivación completa en el apéndice).^[7]
^ La aceleración del aire se produce por gradientes de presión. El aire se acelera en la dirección de la velocidad si la presión disminuye. Por lo tanto, la disminución de la presión es la causa de una mayor velocidad. ^[8]
^ La idea es que, a medida que la parcela se mueve siguiendo una línea de corriente, al entrar en una zona de mayor presión habrá una mayor presión por delante (mayor que la presión detrás) y esto ejercerá una fuerza sobre la parcela, ralentizándola. Por el contrario, si la parcela se mueve hacia una región de menor presión, habrá una mayor presión detrás de ella (mayor que la presión delante), acelerándola. Como siempre, cualquier fuerza desequilibrada provocará un cambio en el momento (y la velocidad), como lo exigen las leyes del movimiento de Newton. ^[9]
^ "Cuando una corriente de aire fluye a través de un perfil aerodinámico, se producen cambios locales en la velocidad alrededor del perfil aerodinámico y, en consecuencia, cambios en la presión estática, de acuerdo con el teorema de Bernoulli. La distribución de la presión determina la sustentación, el momento de cabeceo y la resistencia de forma del perfil aerodinámico, y la posición de su centro de presión". ^[1]^{: § 5.5}

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^ Babinsky, Holger (2003). "¿Cómo funcionan las alas?" (PDF) . Educación en Física . 38 (6): 497–503. Bibcode :2003PhyEd..38..497B. doi :10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID 1657792. ...a menudo se pregunta por qué las partículas de fluido deberían encontrarse de nuevo en el borde de salida. O, en otras palabras, ¿por qué dos partículas a cada lado del ala deberían tardar el mismo tiempo en viajar de S a T? No hay una explicación obvia y las observaciones de la vida real demuestran que esto es incorrecto.
^ "La velocidad real sobre la parte superior de un perfil aerodinámico es mucho más rápida que la predicha por la teoría del "camino más largo" y las partículas que se mueven sobre la parte superior llegan al borde de salida antes que las partículas que se mueven debajo del perfil aerodinámico". Glenn Research Center (16 de agosto de 2000). "Teoría de sustentación incorrecta n.° 1". NASA. Archivado desde el original el 27 de abril de 2014. Consultado el 27 de junio de 2021 .
^ Anderson, John (2005). Introducción al vuelo . Boston: McGraw-Hill Higher Education. pág. 355. ISBN. 978-0072825695. Se supone entonces que estos dos elementos deben encontrarse en el borde de salida y, como la distancia recorrida sobre la superficie superior del perfil aerodinámico es mayor que la de la superficie inferior, el elemento que se encuentra sobre la superficie superior debe moverse más rápido. Esto simplemente no es cierto. Los resultados experimentales y los cálculos de dinámica de fluidos computacional muestran claramente que un elemento de fluido que se mueve sobre la superficie superior de un perfil aerodinámico abandona el borde de salida mucho antes de que su elemento acompañante que se mueve sobre la superficie inferior llegue al borde de salida.
^ Anderson, David; Eberhardt, Scott. "Cómo vuelan los aviones". Cómo vuelan los aviones: una descripción física de la sustentación . Archivado desde el original el 26 de enero de 2016. Consultado el 26 de enero de 2016. No hay nada malo con el principio de Bernoulli, o con la afirmación de que el aire va más rápido sobre la parte superior del ala. Pero, como sugiere la discusión anterior, nuestra comprensión no está completa con esta explicación. El problema es que nos falta una pieza vital cuando aplicamos el principio de Bernoulli. Podemos calcular las presiones alrededor del ala si conocemos la velocidad del aire sobre y debajo del ala, pero ¿cómo determinamos la velocidad?
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^ Raskin, Jef (febrero de 2003). "Efecto Coanda: Entender por qué funcionan las alas". karmak.org . Haz una tira de papel de escribir de unos 5 cm × 25 cm. Sostenla delante de tus labios de forma que cuelgue hacia fuera y hacia abajo formando una superficie convexa hacia arriba. Cuando soplas sobre la parte superior del papel, se eleva. Muchos libros atribuyen esto a la disminución de la presión del aire en la parte superior únicamente al efecto Bernoulli. Ahora usa tus dedos para formar una curva con el papel que sea ligeramente cóncava hacia arriba a lo largo de toda su longitud y vuelve a soplar a lo largo de la parte superior de esta tira. El papel ahora se dobla hacia abajo... un experimento que se cita a menudo, que generalmente se toma como una demostración de la explicación común de la sustentación, no lo hace...
^ Babinsky, Holger (2003). "How Do Wings Work" (PDF) . Educación en Física . 38 (6). IOP Publishing: 497. Bibcode :2003PhyEd..38..497B. doi :10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID 1657792 . Consultado el 7 de abril de 2022 – vía iopscience.iop.org. Soplar sobre un trozo de papel no demuestra la ecuación de Bernoulli. Si bien es cierto que un papel curvado se levanta cuando se aplica flujo en un lado, esto no se debe a que el aire se mueva a diferentes velocidades en los dos lados... Es falso hacer una conexión entre el flujo en los dos lados del papel utilizando la ecuación de Bernoulli.
^ Eastwell, Peter (2007). "¿Bernoulli? Quizás, pero ¿qué pasa con la viscosidad?" (PDF) . The Science Education Review . 6 (1). Archivado desde el original (PDF) el 2018-03-18 . Consultado el 2018-03-18 . Una explicación basada en el principio de Bernoulli no es aplicable a esta situación, porque este principio no dice nada sobre la interacción de masas de aire que tienen diferentes velocidades... Además, mientras que el principio de Bernoulli nos permite comparar velocidades y presiones de fluidos a lo largo de una sola línea de corriente y... a lo largo de dos líneas de corriente diferentes que se originan bajo condiciones de fluido idénticas, usar el principio de Bernoulli para comparar el aire por encima y por debajo del papel curvado en la Figura 1 no tiene sentido; en este caso, ¡no hay ninguna línea de corriente debajo del papel!
^ Auerbach, David. "Why Aircraft Fly" (PDF) . European Journal of Physics . 21 : 295 – via iopscience.iop.org. La conocida demostración del fenómeno de la sustentación mediante el levantamiento de una página voladiza en la mano soplando horizontalmente a lo largo de ella es probablemente más una demostración de las fuerzas inherentes al efecto Coanda que una demostración de la ley de Bernoulli; pues, aquí, un chorro de aire sale de la boca y se adhiere a una superficie curva (y, en este caso, flexible). El borde superior es una complicada capa de mezcla cargada de vórtices y el flujo distante está en reposo, de modo que la ley de Bernoulli es difícilmente aplicable.
^ Smith, Norman F. (noviembre de 1972). "Bernoulli y Newton en la mecánica de fluidos". The Physics Teacher . A millones de niños en clases de ciencias se les pide que soplen sobre trozos de papel curvados y observen que el papel se "eleva"... Luego se les pide que crean que el teorema de Bernoulli es responsable... Desafortunadamente, la "elevación dinámica" involucrada... no se explica adecuadamente con el teorema de Bernoulli.
^ Denker, John S. "El principio de Bernoulli". Vea cómo funciona – vía av8n.com. El principio de Bernoulli es muy fácil de entender siempre que se lo formule correctamente. Sin embargo, debemos tener cuidado, porque cambios aparentemente pequeños en la redacción pueden llevar a conclusiones completamente erróneas.
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^ Anderson, David F. ; Eberhardt, Scott. "La descripción newtoniana de la sustentación de un ala" (PDF) . p. 12. Archivado desde el original (PDF) el 2016-03-11 – vía integener.com. La viscosidad hace que el aliento siga la superficie curva, la primera ley de Newton dice que hay una fuerza sobre el aire y la tercera ley de Newton dice que hay una fuerza igual y opuesta sobre el papel. La transferencia de momento levanta la tira. La reducción de la presión que actúa sobre la superficie superior del trozo de papel hace que este se eleve.
^ Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. Entender el vuelo . p. 229 – vía Google Books.Las "demostraciones" del principio de Bernoulli se presentan a menudo como demostraciones de la física de la sustentación. Son verdaderas demostraciones de la sustentación, pero ciertamente no del principio de Bernoulli.
^ Feil, Max. The Aeronautics File. Archivado desde el original el 17 de mayo de 2015. Como ejemplo, tomemos el experimento engañoso que se utiliza con más frecuencia para "demostrar" el principio de Bernoulli. Sostenga un trozo de papel de manera que se curve sobre su dedo y luego sople por la parte superior. El papel se elevará. Sin embargo, la mayoría de las personas no se dan cuenta de que el papel no se elevará si fuera plano, aunque esté soplando aire por la parte superior a una velocidad frenética. El principio de Bernoulli no se aplica directamente en este caso. Esto se debe a que el aire en los dos lados del papel no comenzó desde la misma fuente. El aire en la parte inferior es aire ambiente de la habitación, pero el aire en la parte superior proviene de su boca, donde en realidad aumentó su velocidad sin disminuir su presión al forzarlo a salir de su boca. Como resultado, el aire en ambos lados del papel plano en realidad tiene la misma presión, aunque el aire en la parte superior se mueve más rápido. La razón por la que un trozo de papel curvado se eleva es que el aire de la boca se acelera aún más a medida que sigue la curva del papel, lo que a su vez reduce la presión según Bernoulli.
^ Geurts, Pim. "Algunos experimentos sencillos". sailtheory.com . Archivado desde el original el 3 de marzo de 2016. Consultado el 7 de abril de 2022. Algunas personas soplan sobre una hoja de papel para demostrar que el aire acelerado sobre la hoja da como resultado una presión más baja. Se equivocan con su explicación. La hoja de papel sube porque desvía el aire, por el efecto Coanda, y esa desviación es la causa de la fuerza que levanta la hoja. Para demostrar que están equivocados, utilizo el siguiente experimento: si la hoja de papel se dobla previamente en el otro sentido enrollándola primero, y si soplas sobre ella, baja. Esto se debe a que el aire se desvía en el otro sentido. La velocidad del aire sigue siendo mayor por encima de la hoja, por lo que eso no está causando la presión más baja.
^ Bobrowsky, Matt. "P: ¿Es realmente causado por el efecto Bernoulli?". Science 101 . National Science Teaching Association. El efecto Bernoulli se invoca comúnmente (e incorrectamente) para explicar: :por qué dos globos suspendidos o pelotas de tenis de mesa se mueven uno hacia el otro cuando soplas aire entre ellos; :por qué el papel se eleva cuando soplas aire sobre él; :por qué una pelota de béisbol lanzada se curva; :por qué una cuchara es atraída hacia un chorro de agua; :por qué una pelota permanece suspendida en un chorro de aire. Estas son las noticias: Ninguno de estos fenómenos es el resultado del efecto Bernoulli.
^ Kamela, Martin (septiembre de 2007). "Pensando en Bernoulli". El profesor de física . 45 (6). Asociación Estadounidense de Profesores de Física: 379–381. Bibcode :2007PhTea..45..379K. doi :10.1119/1.2768700. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2013. Por último, volvamos al ejemplo inicial de una pelota que levita en un chorro de aire. La explicación ingenua de la estabilidad de la pelota en la corriente de aire, "porque la presión en el chorro es menor que la presión en la atmósfera circundante", es claramente incorrecta. La presión estática en el chorro de aire libre es la misma que la presión en la atmósfera circundante...
^ Smith, Norman F. (noviembre de 1972). "Bernoulli y Newton en mecánica de fluidos". The Physics Teacher . 10 (8): 455. Bibcode :1972PhTea..10..451S. doi :10.1119/1.2352317. El flujo asimétrico (no el teorema de Bernoulli) también explica la sustentación de la pelota de ping-pong o de playa que flota tan misteriosamente en el tubo de escape inclinado de la aspiradora...
^ Bauman, Robert P. "El enigma de Bernoulli" (PDF) . inphysics.info . Departamento de Física, Universidad de Alabama en Birmingham. Archivado desde el original (PDF) el 25 de febrero de 2012 . Consultado el 25 de junio de 2012 . El teorema de Bernoulli a menudo se ve oscurecido por demostraciones que involucran fuerzas no Bernoulli. Por ejemplo, una pelota puede estar sostenida por un chorro ascendente de aire o agua, porque cualquier fluido (el aire y el agua) tiene viscosidad, que retarda el deslizamiento de una parte del fluido que se mueve más allá de otra parte del fluido.
^ Craig, Gale M. "Principios físicos del vuelo alado" . Consultado el 31 de marzo de 2016. En una demostración que a veces se describe erróneamente como una demostración de sustentación debido a la reducción de presión en el aire en movimiento o una reducción de presión debido a la restricción de la trayectoria del flujo, una pelota o globo está suspendido por un chorro de aire.
^ Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. "La descripción newtoniana de la sustentación de un ala" (PDF) . p. 12. Archivado desde el original (PDF) el 2016-03-11 – vía integener.com. Un segundo ejemplo es el confinamiento de una pelota de ping-pong en el escape vertical de un secador de pelo . Se nos dice que esto es una demostración del principio de Bernoulli. Pero ahora sabemos que el escape no tiene un valor menor de ps. Nuevamente, es la transferencia de momento lo que mantiene la pelota en el flujo de aire. Cuando la pelota se acerca al borde del escape hay un flujo asimétrico alrededor de la pelota, que la empuja lejos del borde del flujo. Lo mismo sucede cuando uno sopla entre dos pelotas de ping-pong colgadas de cuerdas.
^ "Láminas metálicas delgadas: efecto Coanda". physics.umd.edu . Centro de demostración y conferencias de física, Universidad de Maryland. Archivado desde el original el 23 de junio de 2012 . Consultado el 23 de octubre de 2012 . Esta demostración se suele explicar incorrectamente utilizando el principio de Bernoulli. Según la explicación INCORRECTA, el flujo de aire es más rápido en la región entre las láminas, lo que crea una presión menor en comparación con el aire tranquilo en el exterior de las láminas.
^ "Respuesta n.° 256". physics.umd.edu . Centro de demostración y conferencias de física, Universidad de Maryland. Archivado desde el original el 13 de diciembre de 2014 . Consultado el 9 de diciembre de 2014 . Aunque el efecto Bernoulli se utiliza a menudo para explicar esta demostración, y un fabricante vende el material para esta demostración como "bolsas Bernoulli", no se puede explicar por el efecto Bernoulli, sino por el proceso de arrastre.

Enlaces externos

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El flujo del agua seca - Las conferencias Feynman sobre física
Ciencia 101 P: ¿Es realmente causado por el efecto Bernoulli?
Calculadora de la ecuación de Bernoulli
Universidad de Millersville – Aplicaciones de la ecuación de Euler
NASA – Guía para principiantes sobre aerodinámica Archivado el 15 de julio de 2012 en Wayback Machine
Interpretaciones erróneas de la ecuación de Bernoulli – Weltner e Ingelman-Sundberg Archivado el 8 de febrero de 2012 en Wayback Machine.