Ley de Torricelli

Teorema de mecánica de fluidos

La ley de Torricelli describe la velocidad de separación de un chorro de agua, en función de la distancia por debajo de la superficie en la que comienza el chorro, suponiendo que no hay resistencia del aire, viscosidad u otro obstáculo al flujo del fluido. Este diagrama muestra varios de estos chorros, alineados verticalmente, que salen del depósito horizontalmente. En este caso, los chorros tienen una envoltura (un concepto también debido a Torricelli) que es una línea que desciende a 45° desde la superficie del agua sobre los chorros. Cada chorro llega más lejos que cualquier otro chorro en el punto donde toca la envoltura, que está al doble de la profundidad de la fuente del chorro. La profundidad a la que se cruzan dos chorros es la suma de las profundidades de sus fuentes. Cada chorro (incluso si no sale horizontalmente) sigue una trayectoria parabólica cuya directriz es la superficie del agua.

La ley de Torricelli , también conocida como teorema de Torricelli , es un teorema de dinámica de fluidos que relaciona la velocidad del fluido que fluye desde un orificio con la altura del fluido por encima del orificio. La ley establece que la velocidad de eflujo de un fluido a través de un orificio de borde afilado en la pared del tanque lleno hasta una altura por encima del orificio es la misma que la velocidad que adquiriría un cuerpo al caer libremente desde una altura . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$

donde es la aceleración debida a la gravedad . Esta expresión proviene de igualar la energía cinética ganada, , con la energía potencial perdida, , y despejar . La ley fue descubierta (aunque no en esta forma) por el científico italiano Evangelista Torricelli , en 1643. Más tarde se demostró que era un caso particular del principio de Bernoulli . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$ ${\displaystyle mgh}$ ${\displaystyle v}$

Derivación

Bajo los supuestos de un fluido incompresible con viscosidad despreciable , el principio de Bernoulli establece que la energía hidráulica es constante.

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}+{\frac {{v_{1}}^{2}}{2}}+gy_{1}={\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}+gy_{2}={\text{constant}}}$

en dos puntos cualesquiera del líquido que fluye. Aquí se muestra la velocidad del fluido, la aceleración debida a la gravedad, la altura sobre un punto de referencia, la presión y la densidad. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

Para obtener la fórmula de Torricelli, el primer punto sin índice se toma en la superficie del líquido y el segundo justo fuera de la abertura. Como se supone que el líquido es incompresible, es igual a y ; ambos pueden representarse con un símbolo . La presión y son típicamente ambas presiones atmosféricas, por lo que . Además es igual a la altura de la superficie del líquido sobre la abertura: ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{2}\Rightarrow p_{1}-p_{2}=0}$ ${\displaystyle y_{1}-y_{2}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {{v_{1}}^{2}}{2}}+gh={\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}}$

La velocidad de la superficie se puede relacionar con la velocidad de salida mediante la ecuación de continuidad , donde es la sección transversal del orificio y es la sección transversal del recipiente (cilíndrico). Al cambiar el nombre a (A como Abertura) se obtiene: ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}A=v_{2}A_{A}}$ ${\displaystyle A_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{A}}$

${\displaystyle {\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}+gh={\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \Rightarrow gh={\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}\left(1-{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}\right).}$

${\displaystyle \Rightarrow {v_{A}}={\sqrt {\frac {2gh}{1-{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}}}}.}$

La ley de Torricelli se obtiene como un caso especial cuando la abertura es muy pequeña en relación con la sección transversal horizontal del recipiente : ${\displaystyle A_{A}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

${\displaystyle v_{A}={\sqrt {2gh}}.}$^[1]

La ley de Torricelli sólo se puede aplicar cuando se pueden despreciar los efectos viscosos, lo cual es el caso del agua que fluye a través de orificios en los recipientes.

Verificación experimental: Spouting puede experimentar

Experimento para determinar la trayectoria de un chorro saliente: se ajustan las varillas verticales de modo que casi toquen el chorro. Después del experimento, se puede medir la distancia entre una línea horizontal y la ubicación del chorro mediante los ajustes de longitud de las varillas.

Toda teoría física debe ser verificada mediante experimentos. El experimento del chorro de agua consiste en un recipiente cilíndrico lleno de agua y con varios agujeros a diferentes alturas. Está diseñado para demostrar que en un líquido con una superficie abierta, la presión aumenta con la profundidad. La velocidad de salida del fluido es mayor cuanto más abajo en el recipiente. ^[2]

El chorro que sale forma una parábola descendente, donde cada parábola se extiende más hacia afuera cuanto mayor es la distancia entre el orificio y la superficie. La forma de la parábola depende únicamente de la velocidad de salida y se puede determinar a partir del hecho de que cada molécula del líquido forma una trayectoria balística (ver movimiento de proyectiles ) donde la velocidad inicial es la velocidad de salida : ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle v_{A}}$

${\displaystyle y(x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{v_{A}^{2}}}x^{2}.}$

Los resultados confirman muy bien la exactitud de la ley de Torricelli.

Descarga y tiempo para vaciar un recipiente cilíndrico

Suponiendo que un recipiente es cilíndrico con un área de sección transversal fija , con un orificio de área en la parte inferior, entonces la tasa de cambio de la altura del nivel del agua no es constante. El volumen de agua en el recipiente cambia debido a la descarga del recipiente: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{A}}$ ${\displaystyle dh/dt}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}={\dot {V}}=A_{A}v_{A}=A_{A}{\sqrt {2gh}}\quad \Rightarrow \quad A{\frac {dh}{\sqrt {h}}}=A_{A}{\sqrt {2g}}\;dt}$

Integrando ambos lados y reordenando, obtenemos

${\displaystyle T={\frac {A}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2H}{g}}},}$

donde es la altura inicial del nivel del agua y es el tiempo total necesario para drenar toda el agua y, por tanto, vaciar el recipiente. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

Esta fórmula tiene varias implicaciones. Si un tanque con un volumen de sección transversal y altura , de modo que , está completamente lleno, entonces el tiempo para drenar toda el agua es ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V=AH}$

${\displaystyle T={\frac {V}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2}{gH}}}.}$

Esto implica que los tanques altos con el mismo volumen de llenado se drenan más rápido que los más anchos.

Por último, podemos reorganizar la ecuación anterior para determinar la altura del nivel del agua en función del tiempo como ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle h(t)=H\left(1-{\frac {t}{T}}\right)^{2},}$

donde es la altura del contenedor mientras que es el tiempo de descarga como se indica arriba. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

Experimento de descarga, coeficiente de descarga

La teoría de la descarga se puede comprobar midiendo el tiempo de vaciado o la serie temporal del nivel de agua dentro del recipiente cilíndrico. En muchos casos, estos experimentos no confirman la teoría de la descarga presentada: al comparar las predicciones teóricas del proceso de descarga con las mediciones, en estos casos se pueden encontrar diferencias muy grandes. En realidad, el tanque suele vaciarse mucho más lentamente. Observando la fórmula de descarga ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle {\dot {V}}=A_{A}v_{A}=A_{A}{\sqrt {2gh}}}$

Dos cantidades podrían ser responsables de esta discrepancia: la velocidad de salida o la sección transversal de salida efectiva.

Figura 28 de Hydrodynamica de Daniel Bernoulli (1738) que muestra la generación de una vena contracta con líneas de corriente.

En 1738, Daniel Bernoulli atribuyó la discrepancia entre el comportamiento teórico y el observado del flujo de salida a la formación de una vena contracta que reduce la sección transversal del flujo de salida desde la sección transversal del orificio a la sección transversal contraída y afirmó que la descarga es: ${\displaystyle A_{A}}$ ${\displaystyle A_{C}}$

${\displaystyle {\dot {V}}=A_{C}v_{A}=A_{C}{\sqrt {2gh}}}$

En realidad, esto se confirma mediante experimentos de última generación (véase ^[3] ) en los que se midieron el caudal, la velocidad de salida y la sección transversal de la vena contracta. En este caso, también se demostró que la velocidad de salida se predice muy bien mediante la ley de Torricelli y que no es necesario realizar ninguna corrección de velocidad (como un "coeficiente de velocidad").

El problema sigue siendo cómo determinar la sección transversal de la vena contracta. Esto se hace normalmente introduciendo un coeficiente de descarga que relaciona la descarga con la sección transversal del orificio y la ley de Torricelli:

${\displaystyle {\dot {V}}_{\text{real}}=\mu A_{A}v_{A}\quad {\text{with}}\quad \mu ={\frac {A_{C}}{A_{A}}}}$

En el caso de líquidos de baja viscosidad (como el agua) que salen de un orificio circular en un tanque, el coeficiente de descarga es del orden de 0,65. ^[4] Si se descarga a través de un tubo o manguera circular, el coeficiente de descarga puede aumentar hasta más de 0,9. En el caso de orificios rectangulares, el coeficiente de descarga puede llegar a ser de hasta 0,67, dependiendo de la relación altura-ancho.

Aplicaciones

Distancia horizontal recorrida por el chorro de líquido

Si es la altura del orificio sobre el suelo y es la altura de la columna de líquido desde el suelo (altura de la superficie del líquido), entonces la distancia horizontal recorrida por el chorro de líquido para alcanzar el mismo nivel que la base de la columna de líquido se puede derivar fácilmente. Como es la altura vertical recorrida por una partícula de la corriente en chorro, tenemos de las leyes de la caída de cuerpos ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h={\frac {1}{2}}gt^{2}\quad \Rightarrow \quad t={\sqrt {\frac {2h}{g}}},}$

donde es el tiempo que tarda la partícula del chorro en caer desde el orificio hasta el suelo. Si la velocidad de eflujo horizontal es , entonces la distancia horizontal recorrida por la partícula del chorro durante el tiempo es ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle D=vt=v{\sqrt {\frac {2h}{g}}}.}$

Como el nivel del agua está por encima del orificio, la velocidad de eflujo horizontal está dada por la ley de Torricelli. Por lo tanto, de las dos ecuaciones tenemos ${\displaystyle H-h}$ ${\displaystyle v={\sqrt {2g(H-h)}},}$

${\displaystyle D=2{\sqrt {h(H-h)}}.}$

La ubicación del orificio que produce el alcance horizontal máximo se obtiene derivando la ecuación anterior para con respecto a , y resolviendo . Aquí tenemos ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle dD/dh=0}$

${\displaystyle {\frac {dD}{dh}}={\frac {H-2h}{\sqrt {h(H-h)}}}.}$

Resolviendo obtenemos ${\displaystyle dD/dh=0,}$

${\displaystyle h^{*}={\frac {H}{2}},}$

y el alcance máximo

${\displaystyle D_{\max }=H.}$

Problema de la clepsidra

Una clepsidra de afluencia

Una clepsidra es un reloj que mide el tiempo por el flujo de agua. Consiste en un recipiente con un pequeño orificio en el fondo por donde puede escapar el agua. La cantidad de agua que sale da la medida del tiempo. Según la ley de Torricelli, la velocidad de salida por el orificio depende de la altura del agua; y a medida que el nivel del agua disminuye, la descarga no es uniforme. Una solución sencilla es mantener constante la altura del agua. Esto se puede lograr dejando que fluya un flujo constante de agua hacia el recipiente, cuyo rebose se deja escapar por la parte superior, por otro orificio. De este modo, al tener una altura constante, el agua que sale por el fondo se puede recoger en otro recipiente cilíndrico con graduación uniforme para medir el tiempo. Esta es una clepsidra de entrada.

Alternativamente, seleccionando cuidadosamente la forma del recipiente, se puede hacer que el nivel del agua en el recipiente disminuya a una tasa constante. Al medir el nivel de agua que queda en el recipiente, se puede medir el tiempo con una graduación uniforme. Este es un ejemplo de clepsidra de salida. Dado que la tasa de salida de agua es mayor cuando el nivel del agua es más alto (debido a una mayor presión), el volumen del fluido debe ser mayor que un simple cilindro cuando el nivel del agua es alto. Es decir, el radio debe ser mayor cuando el nivel del agua es más alto. Deje que el radio aumente con la altura del nivel del agua por encima del orificio de salida del área Es decir, . Queremos encontrar el radio tal que el nivel del agua tenga una tasa constante de disminución, es decir , . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle r=f(h)}$ ${\displaystyle dh/dt=c}$

A un nivel de agua determinado , la superficie del agua es . La tasa instantánea de cambio en el volumen del agua es ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}=\pi r^{2}c.}$

De la ley de Torricelli, la tasa de salida es

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A_{A}v=A_{A}{\sqrt {2gh}},}$

De estas dos ecuaciones,

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{A}{\sqrt {2gh}}&=\pi r^{2}c\\\Rightarrow \quad h&={\frac {\pi ^{2}c^{2}}{2gA_{A}^{2}}}r^{4}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el radio del contenedor debe cambiar en proporción a la raíz cuártica de su altura, ${\displaystyle r\propto {\sqrt[{4}]{h}}.}$

De la misma manera, si la forma del recipiente de la clepsidra de descarga no se puede modificar de acuerdo con la especificación anterior, entonces necesitamos utilizar una graduación no uniforme para medir el tiempo. La fórmula del tiempo de vaciado anterior nos indica que el tiempo debe calibrarse como la raíz cuadrada de la altura del agua descargada. Más precisamente, ${\displaystyle T\propto {\sqrt {h}}.}$

${\displaystyle \Delta t={\frac {A}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2}{g}}}({\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}})}$

¿Dónde está el tiempo que tarda el nivel del agua en caer desde la altura de hasta la altura de ? ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$

Derivación original de Torricelli

Figuras de la Opera Geometrica (1644) de Evangelista Torricelli que describen la derivación de su famosa fórmula de salida: (a) Un tubo se llena con agua desde A hasta B. (b) En dos tubos conectados el agua sube hasta la misma altura. (c) Cuando se quita el tubo C, el agua debería subir hasta la altura D. Debido a los efectos de fricción, el agua solo sube hasta el punto C.

La derivación original de Evangelista Torricelli se puede encontrar en el segundo libro 'De motu aquarum' de su 'Opera Geometrica'. ^[5] Comienza con un tubo AB (Figura (a)) lleno de agua hasta el nivel A. Luego se perfora una abertura estrecha a nivel de B y se conecta a un segundo tubo vertical BC. Debido al principio hidrostático de los vasos comunicantes, el agua se eleva hasta el mismo nivel de llenado AC en ambos tubos (Figura (b)). Cuando finalmente se retira el tubo BC (Figura (c)) el agua debería volver a elevarse hasta esta altura, que se llama AD en la Figura (c). La razón de ese comportamiento es el hecho de que la velocidad de caída de una gota desde una altura A a B es igual a la velocidad inicial que se necesita para elevar una gota de B a A.

Al realizar un experimento de este tipo, sólo se alcanzará la altura C (en lugar de la D en la figura (c)), lo que contradice la teoría propuesta. Torricelli atribuye este defecto a la resistencia del aire y al hecho de que las gotas que descienden chocan con las que ascienden.

La argumentación de Torricelli es, en realidad, errónea, porque la presión en un chorro libre es la presión atmosférica circundante, mientras que la presión en un vaso comunicante es la presión hidrostática. En aquella época, el concepto de presión era desconocido.

Véase también

• Ley de Darcy
• Presión dinámica
• Estática de fluidos
• Ecuación de Hagen-Poiseuille
• Teoremas de Helmholtz
• Ecuaciones de Kirchhoff
• Ecuación de Knudsen
• Ecuación de Manning
• Ecuación de pendiente suave
• Ecuación de Morison
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Flujo de Oseen
• Ley de Pascal
• Ley de Poiseuille
• Flujo potencial
• Presión
• Presión estática
• Cabezal de presión
• Ecuaciones relativistas de Euler
• Descomposición de Reynolds
• Flujo de Stokes
• Función de flujo de Stokes
• Función de transmisión
• Líneas de corriente, líneas de corriente y líneas de trayectoria

Referencias

1. Resnick y Halliday (1966) Física , Edición combinada, Capítulo 18, Problema 9. Wiley Toppan
2. Cilindro de salida de flujo de fluido.
3. JH Lienhard (V) y JH Lienhard (IV): Coeficientes de velocidad para chorros libres de orificios de bordes afilados, Journal of Fluids Engineering 106,13-17,1984, https://doi.org/10.1115/1.3242391
4. tec-science (2019-11-21). «Descarga de líquidos (Ley de Torricelli)». tec-science . Consultado el 2019-12-08 .
5. A. Malcherek: Historia del principio de Torricelli y una nueva teoría de flujo de salida, Journal of Hydraulic Engineering 142(11),1-7,2016, https://doi.org/10.1061/(ASCE)HY.1943-7900.0001232)

Lectura adicional

• TE Faber (1995). Dinámica de fluidos para físicos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42969-6.
• Stanley Middleman, Introducción a la dinámica de fluidos: principios de análisis y diseño ( John Wiley & Sons , 1997) ISBN 978-0-471-18209-2 
• Dennis G. Zill (14 de mayo de 2008). Un primer curso sobre ecuaciones diferenciales. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.