Ecuaciones de Kirchhoff

En dinámica de fluidos , las ecuaciones de Kirchhoff , llamadas así en honor a Gustav Kirchhoff , describen el movimiento de un cuerpo rígido en un fluido ideal .

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial T} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}\times {\boldsymbol {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial \mathbf {v} }}\times \mathbf {v} +\mathbf {Q} _{h}+\mathbf {Q} ,\\[10pt]{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial T} \over {\partial \mathbf {v} }}&={{\partial T} \over {\partial \mathbf {v} }}\times {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {F} _{h}+\mathbf {F} ,\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\boldsymbol {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\boldsymbol {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]\mathbf {Q} _{h}&=-\int p\mathbf {x} \times {\hat {\mathbf {n} }}\,d\sigma ,\\[10pt]\mathbf {F} _{h}&=-\int p{\hat {\mathbf {n} }}\,d\sigma \end{aligned}}}$$

donde y son los vectores de velocidad angular y lineal en el punto , respectivamente; es el tensor del momento de inercia, es la masa del cuerpo; es un vector normal unitario a la superficie del cuerpo en el punto ; es una presión en este punto; y son el par hidrodinámico y la fuerza que actúan sobre el cuerpo, respectivamente; y denotan asimismo todos los demás pares y fuerzas que actúan sobre el cuerpo. La integración se realiza sobre la parte de la superficie del cuerpo expuesta al fluido. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\tilde {I}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{h}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{h}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Si el cuerpo está completamente sumergido en un volumen infinitamente grande de fluido irrotacional, incompresible y no viscoso, que está en reposo en el infinito, entonces los vectores y se pueden encontrar mediante integración explícita, y la dinámica del cuerpo se describe mediante las ecuaciones de Kirchhoff - Clebsch : ${\displaystyle \mathbf {Q} _{h}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{h}}$

$${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}\times {\boldsymbol {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\times \mathbf {v} ,\quad {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}={{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\times {\boldsymbol {\omega }},}$$

$${\displaystyle L({\boldsymbol {\omega }},\mathbf {v} )={1 \over 2}(A{\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\omega }})+(B{\boldsymbol {\omega }},\mathbf {v} )+{1 \over 2}(C\mathbf {v} ,\mathbf {v} )+(\mathbf {k} ,{\boldsymbol {\omega }})+(\mathbf {l} ,\mathbf {v} ).}$$

Sus primeras integrales leídas $${\displaystyle J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}},{\boldsymbol {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }},\mathbf {v} \right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }},{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\right).}$$

Una mayor integración produce expresiones explícitas para la posición y las velocidades.

Referencias

• Kirchhoff GR Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik . Conferencia 19. Leipzig: Teubner. 1877.
• Lamb, H., Hidrodinámica . Sexta edición. Cambridge (Reino Unido): Cambridge University Press. 1932.