teoremas de helmholtz

Movimiento 3D de fluido cerca de líneas de vórtice

En mecánica de fluidos , los teoremas de Helmholtz , que llevan el nombre de Hermann von Helmholtz , describen el movimiento tridimensional del fluido en las proximidades de líneas de vórtice . Estos teoremas se aplican a flujos no viscosos y a flujos donde la influencia de las fuerzas viscosas es pequeña y puede ignorarse.

Los tres teoremas de Helmholtz son los siguientes: ^[1]

El primer teorema de Helmholtz

La fuerza de una línea de vórtice es constante a lo largo de su longitud.

El segundo teorema de Helmholtz

Una línea de vórtice no puede terminar en un fluido; debe extenderse hasta los límites del fluido o formar un camino cerrado.

El tercer teorema de Helmholtz

Un elemento fluido que inicialmente es irrotacional sigue siendo irrotacional.

Los teoremas de Helmholtz se aplican a flujos no viscosos. En observaciones de vórtices en fluidos reales, la fuerza de los vórtices siempre decae gradualmente debido al efecto disipador de las fuerzas viscosas .

Las expresiones alternativas de los tres teoremas son las siguientes:

1. La fuerza de un tubo de vórtice no varía con el tiempo. ^[2]
2. Los elementos fluidos que se encuentran en una línea de vórtice en algún instante continúan estando en esa línea de vórtice. Más simplemente, las líneas de vórtice se mueven con el fluido. Además, las líneas y tubos de vórtice deben aparecer como un circuito cerrado, extenderse hasta el infinito o comenzar/finalizar en límites sólidos.
3. Los elementos fluidos inicialmente libres de vorticidad permanecen libres de vorticidad.

Los teoremas de Helmholtz tienen aplicación en la comprensión:

• Generación de sustentación en un perfil aerodinámico.
• vórtice inicial
• Vórtice de herradura
• Vórtices de punta de ala .

Los teoremas de Helmholtz ahora se demuestran generalmente con referencia al teorema de circulación de Kelvin . Sin embargo, los teoremas de Helmholtz se publicaron en 1858, ^[3] nueve años antes de la publicación en 1867 del teorema de Kelvin.

Notas

1. Kuethe y Schetzer, Fundamentos de la aerodinámica , Sección 2.14
2. La fuerza de un tubo de vórtice ( circulación ), se define como:
   $${\displaystyle \Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA=\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}}$$
   donde también está la circulación, es el vector de vorticidad , es el vector normal a una superficie A , formada tomando una sección transversal del tubo de vórtice con área elemental dA , es el vector de velocidad en la curva cerrada C , que limita la superficie A.​ La convención para definir el sentido de circulación y la normal a la superficie A viene dada por la regla del tornillo de la derecha . El tercer teorema establece que esta resistencia es la misma para todas las secciones transversales A del tubo y es independiente del tiempo. Esto equivale a decir ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$
   $${\displaystyle {\frac {D\Gamma }{Dt}}=0}$$
3. Helmholtz, H. (1858). "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 55 : 25–55. ISSN  0075-4102.

Referencias

• MJ Lighthill, Introducción informal a la mecánica de fluidos teórica , Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-853630-5 
• PG Saffman , Dinámica de vórtices , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-42058-X 
• GK Batchelor , Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press (1967, reimpreso en 2000).
• Kundu, P y Cohen, I, Mecánica de fluidos , 2.ª edición, Academic Press 2002.
• George B. Arfken y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos , cuarta edición, Academic Press: San Diego (1995) págs.
• AM Kuethe y JD Schetzer (1959), Fundamentos de la aerodinámica , 2.ª edición. John Wiley & Sons, Inc. Nueva York ISBN 0-471-50952-3