En matemáticas , la geometría enumerativa es la rama de la geometría algebraica que se ocupa de contar el número de soluciones a cuestiones geométricas, principalmente por medio de la teoría de intersecciones .
El problema de Apolonio es uno de los primeros ejemplos de geometría enumerativa. Este problema pide el número y la construcción de círculos que sean tangentes a tres círculos, puntos o líneas dados. En general, el problema para tres círculos dados tiene ocho soluciones, que pueden verse como 2 3 , donde cada condición de tangencia impone una condición cuadrática en el espacio de círculos. Sin embargo, para arreglos especiales de los círculos dados, el número de soluciones también puede ser cualquier número entero desde 0 (sin soluciones) hasta seis; no hay ningún arreglo para el cual haya siete soluciones al problema de Apolonio.
Una serie de herramientas, desde las más elementales hasta las más avanzadas, incluyen:
La geometría enumerativa está muy estrechamente ligada a la teoría de la intersección .
La geometría enumerativa experimentó un desarrollo espectacular hacia finales del siglo XIX, de la mano de Hermann Schubert . [1] La introdujo con el propósito del cálculo de Schubert , que ha demostrado tener un valor geométrico y topológico fundamental en áreas más amplias. Las necesidades específicas de la geometría enumerativa no se abordaron hasta que se les prestó mayor atención en las décadas de 1960 y 1970 (como señaló, por ejemplo, Steven Kleiman ). Los números de intersección habían sido rigurosamente definidos (por André Weil como parte de su programa fundacional 1942-6, [2] y nuevamente posteriormente), pero esto no agotó el dominio adecuado de las cuestiones enumerativas.
La aplicación ingenua del cálculo de dimensiones y del teorema de Bézout produce resultados incorrectos, como lo demuestra el siguiente ejemplo. En respuesta a estos problemas, los geómetras algebraicos introdujeron vagos " factores de error ", que sólo se justificaron rigurosamente décadas después.
Como ejemplo, cuente las secciones cónicas tangentes a cinco líneas dadas en el plano proyectivo . [3] Las cónicas constituyen un espacio proyectivo de dimensión 5, tomando sus seis coeficientes como coordenadas homogéneas , y cinco puntos determinan una cónica , si los puntos están en posición lineal general , ya que pasar por un punto dado impone una condición lineal. De manera similar, la tangencia a una línea dada L (la tangencia es la intersección con multiplicidad dos) es una condición cuadrática, por lo que se determina una cuádrica en P 5 . Sin embargo, el sistema lineal de divisores que consiste en todas esas cuádricas no carece de un lugar geométrico base . De hecho, cada una de esas cuádricas contiene la superficie de Veronese , que parametriza las cónicas.
Se denominan "líneas dobles". Esto se debe a que una línea doble interseca a cada línea en el plano, ya que las líneas en el plano proyectivo se intersecan, con multiplicidad dos porque es duplicada y, por lo tanto, satisface la misma condición de intersección (intersección de multiplicidad dos) que una cónica no degenerada que es tangente a la línea.
El teorema general de Bézout dice que 5 cuádricas generales en un espacio de 5 se intersectarán en 32 = 2 5 puntos. Pero las cuádricas relevantes aquí no están en posición general . A 32, se debe restar 31 y atribuirlo a la Veronese, para dejar la respuesta correcta (desde el punto de vista de la geometría), es decir, 1. Este proceso de atribuir intersecciones a casos "degenerados" es una introducción geométrica típica de un "factor de error".
El decimoquinto problema de Hilbert fue superar la naturaleza aparentemente arbitraria de estas intervenciones; este aspecto va más allá de la cuestión fundamental del propio cálculo de Schubert.
En 1984 H. Clemens estudió el recuento del número de curvas racionales en una terna quíntica y llegó a la siguiente conjetura.
Esta conjetura ha sido resuelta en el caso , pero todavía está abierta para cuestiones superiores .
En 1991, el artículo [4] sobre simetría especular en la terna quíntica desde el punto de vista de la teoría de cuerdas proporciona números de curvas racionales de grado d en para todos . Antes de esto, los geómetras algebraicos podían calcular estos números solo para .
Algunos de los ejemplos históricamente importantes de enumeraciones en geometría algebraica incluyen:
