Una potencia de dos es un número de la forma 2 n donde n es un número entero , es decir, el resultado de la exponenciación con el número dos como base y el número entero n como exponente .
Las potencias de dos con exponentes no negativos son números enteros: 2 0 = 1 , 2 1 = 2 y 2 n es dos multiplicado por sí mismo n veces. [1] [2] Las primeras diez potencias de 2 para valores no negativos de n son:
En comparación, las potencias de dos con exponentes negativos son fracciones : para un entero negativo n , 2 n es la mitad multiplicado por sí mismo n veces. Así, las primeras potencias de dos donde n es negativo son 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/dieciséis , etc. A veces se les llama potencias inversas de dos porque cada una es la inversa multiplicativa de una potencia positiva de dos.
Debido a que dos es la base del sistema numérico binario , las potencias de dos son comunes en la informática . Escrito en binario, una potencia de dos siempre tiene la forma 100...000 o 0,00...001, al igual que una potencia de 10 en el sistema decimal .
Dos elevado al exponente de n , escrito como 2 n , es el número de formas en que se pueden organizar los bits en una palabra binaria de longitud n . Una palabra, interpretada como un número entero sin signo , puede representar valores desde 0 ( 000...000 2 ) hasta 2 n − 1 ( 111...111 2 ) inclusive. Los valores enteros con signo correspondientes pueden ser positivos, negativos y cero; ver representaciones de números firmados . De cualquier manera, uno menos que una potencia de dos suele ser el límite superior de un número entero en las computadoras binarias. Como consecuencia, números de este tipo aparecen con frecuencia en los programas informáticos. Por ejemplo, un videojuego que se ejecuta en un sistema de 8 bits podría limitar la puntuación o el número de elementos que el jugador puede conservar a 255 (el resultado de utilizar un byte , que tiene 8 bits de longitud , para almacenar el número, dando una valor máximo de 2 8 − 1 = 255 . Por ejemplo, en el Legend of Zelda original, el personaje principal estaba limitado a llevar 255 rupias (la moneda del juego) en un momento dado, y el videojuego Pac-Man tiene una pantalla de muerte en el nivel 256.
Las potencias de dos se utilizan a menudo para medir la memoria de la computadora. Un byte ahora se considera ocho bits (un octeto ), lo que da como resultado la posibilidad de 256 valores (2 8 ). (El término byte alguna vez significó (y en algunos casos todavía significa) una colección de bits , generalmente de 5 a 32 bits, en lugar de solo una unidad de 8 bits). El prefijo kilo , junto con byte , puede ser, y tradicionalmente se ha utilizado en el sentido de 1.024 (2 10 ). Sin embargo, en general, el término kilo se ha utilizado en el Sistema Internacional de Unidades para significar 1.000 (10 3 ). Los prefijos binarios se han estandarizado, como kibi (Ki), que significa 1.024. Casi todos los registros de procesador tienen tamaños que son potencias de dos, siendo muy común 32 o 64.
Las potencias de dos también ocurren en muchos otros lugares. Para muchas unidades de disco , al menos uno de los tamaños de sector, número de sectores por pista y número de pistas por superficie es una potencia de dos. El tamaño del bloque lógico es casi siempre una potencia de dos.
Los números que no son potencias de dos aparecen en varias situaciones, como en las resoluciones de vídeo, pero a menudo son la suma o el producto de sólo dos o tres potencias de dos, o potencias de dos menos uno. Por ejemplo, 640 = 32 × 20 y 480 = 32 × 15 . Dicho de otra manera, tienen patrones de bits bastante regulares.
Un número primo que es uno menor que una potencia de dos se llama primo de Mersenne . Por ejemplo, el número primo 31 es primo de Mersenne porque es 1 menor que 32 (2 5 ). De manera similar, un número primo (como 257 ) que es uno más que una potencia positiva de dos se llama primo de Fermat : el exponente en sí es una potencia de dos. Una fracción que tiene como denominador una potencia de dos se llama racional diádica . Los números que pueden representarse como sumas de números enteros positivos consecutivos se denominan números corteses ; son exactamente los números que no son potencias de dos.
La progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32,... (o, en el sistema numérico binario , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000,...) es importante en la teoría de números . Libro IX, Proposición 36 de Elementos demuestra que si la suma de los primeros n términos de esta progresión es un número primo (y por lo tanto es un primo de Mersenne como se mencionó anteriormente), entonces esta suma multiplicada por el enésimo término es un número perfecto . Por ejemplo, la suma de los primeros 5 términos de la serie 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, que es un número primo. La suma 31 multiplicada por 16 (el quinto término de la serie) es igual a 496, que es un número perfecto.
El Libro IX, Proposición 35, demuestra que en una serie geométrica, si el primer término se resta del segundo y último término de la sucesión, entonces, así como el exceso del segundo es al primero, también lo es el exceso del último a todos aquellos. antes de eso. (Esta es una reformulación de nuestra fórmula para series geométricas anterior). Aplicando esto a la progresión geométrica 31, 62, 124, 248, 496 (que resulta de 1, 2, 4, 8, 16 multiplicando todos los términos por 31) , vemos que 62 menos 31 es a 31 como 496 menos 31 es a la suma de 31, 62, 124, 248. Por lo tanto, los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248 suman hasta 496 y además estos son todos los números que dividen a 496. Supongamos que p divide a 496 y no está entre estos números. Supongamos que p q es igual a 16 × 31 , o 31 es a q como p es a 16. Ahora p no puede dividir 16 o estaría entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Por lo tanto, 31 no puede dividir q . Y como 31 no divide a q y q mide 496, el teorema fundamental de la aritmética implica que q debe dividir a 16 y estar entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Sea q ser 4, entonces p debe ser 124, lo cual es imposible ya que por hipótesis p no está entre los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 o 248.
(secuencia A000079 en el OEIS )
Comenzando con 2, el último dígito es periódico con período 4, con el ciclo 2–4–8–6–, y comenzando con 4, los dos últimos dígitos son periódicos con período 20. Estos patrones son generalmente ciertos para cualquier potencia, con respecto a cualquier base . El patrón continúa donde cada patrón tiene un punto inicial 2 k , y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo 5 k , que es φ (5 k ) = 4 × 5 k −1 (ver Grupo multiplicativo de números enteros módulo n ). [ cita necesaria ]
(secuencia A140300 en el OEIS )
Las primeras potencias de 2 10 son ligeramente mayores que esas mismas potencias de 1000 (10 3 ). Las potencias de 2· 10 valores que tienen menos del 27% de desviación se enumeran a continuación:
Se necesitan aproximadamente 17 potencias de 1024 para alcanzar una desviación del 50% y aproximadamente 29 potencias de 1024 para alcanzar una desviación del 100% de las mismas potencias de 1000. [3] Consulte también Prefijos binarios e IEEE 1541-2002 .
Debido a que los datos (específicamente los números enteros) y las direcciones de los datos se almacenan utilizando el mismo hardware, y los datos se almacenan en uno o más octetos ( 2 3 ), las exponenciales dobles de dos son comunes. Los primeros 20 de ellos son:
Véase también número de Fermat , tetración e hiperoperaciones inferiores .
Todos estos números terminan en 6. A partir de 16, los dos últimos dígitos son periódicos con período 4, con el ciclo 16–56–36–96–, y a partir de 16, los últimos tres dígitos son periódicos con período 20. Estos patrones son Generalmente es cierto para cualquier poder, con respecto a cualquier base . El patrón continúa donde cada patrón tiene un punto inicial 2 k , y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo 5 k , que es φ (5 k ) = 4 × 5 k −1 (ver Grupo multiplicativo de números enteros módulo n ). [ cita necesaria ]
En relación con los números , estos números a menudo se denominan 2 potencias de Fermat .
Los números forman una secuencia de irracionalidad : para cada secuencia de números enteros positivos , la serie
converge a un número irracional . A pesar del rápido crecimiento de esta secuencia, es la secuencia de irracionalidad de crecimiento más lento conocida. [4]
Dado que es común que los tipos de datos de computadora tengan un tamaño que es una potencia de dos, estos números cuentan el número de valores representables de ese tipo. Por ejemplo, una palabra de 32 bits que consta de 4 bytes puede representar 2 32 valores distintos, que pueden considerarse meros patrones de bits o interpretarse más comúnmente como números sin signo del 0 al 2 32 − 1 , o como el rango de números con signo entre −2 31 y 2 31 − 1 . Para obtener más información sobre la representación de números con signo, consulte Complemento a dos .
00
) a 255 ( FF
) inclusive. Esto da 8 bits para cada canal, o 24 bits en total; por ejemplo, el negro puro es #000000
, el blanco puro es #FFFFFF
. El espacio de todos los colores posibles, 16.777.216, se puede determinar mediante 16 6 (6 dígitos con 16 valores posibles para cada uno), 256 3 (3 canales con 256 valores posibles para cada uno) o 2 24 (24 bits con 2 valores posibles para cada).int
variable en los lenguajes de programación Java , C# y SQL .Cardinal
o Integer
en el lenguaje de programación Pascal .En notación musical , todos los valores de nota no modificados tienen una duración igual a una nota entera dividida por una potencia de dos; por ejemplo, una blanca (1/2), una negra (1/4), una corchea (1/8) y una semicorchea (1/16). Las notas con puntillo o modificadas de otro modo tienen otras duraciones. En las firmas de compás , el número inferior, la unidad de tiempo , que puede verse como el denominador de una fracción, es casi siempre una potencia de dos.
Si la relación de frecuencias de dos tonos es una potencia de dos, entonces el intervalo entre esos tonos es de octavas completas . En este caso, las notas correspondientes tienen el mismo nombre.
La coincidencia matemática , de , relaciona estrechamente el intervalo de 7 semitonos en temperamento igual con una quinta justa de entonación justa :, correcta en aproximadamente un 0,1%. La justa quinta es la base de la afinación pitagórica ; la diferencia entre doce apenas quintas y siete octavas es la coma pitagórica . [9]
La suma de todos los coeficientes binomiales n -elija es igual a 2 n . Considere el conjunto de todos los números enteros binarios de n dígitos. Su cardinalidad es 2 n . También son las sumas de las cardinalidades de ciertos subconjuntos: el subconjunto de números enteros sin unos (que consta de un solo número, escrito como n 0), el subconjunto con un solo 1, el subconjunto con dos unos, y así sucesivamente hasta el subconjunto con n 1s (que consta del número escrito como n 1s). Cada uno de estos es a su vez igual al coeficiente binomial indexado por n y el número de unos que se consideran (por ejemplo, hay números binarios de 10-elija-3 con diez dígitos que incluyen exactamente tres unos).
Actualmente, las potencias de dos son los únicos números casi perfectos que se conocen .
La cardinalidad del conjunto potencia de un conjunto a es siempre 2 | un | , donde | un | es la cardinalidad de a .
El número de vértices de un hipercubo de n dimensiones es 2 n . De manera similar, el número de ( n − 1 ) -caras de un politopo cruzado de n dimensiones también es 2 n y la fórmula para el número de x -caras que tiene un politopo cruzado de n dimensiones es
La suma de las primeras potencias de dos (a partir de ) viene dada por,
por ser cualquier número entero positivo.
Así, la suma de las potencias
se puede calcular simplemente evaluando: (que es el "número de ajedrez").
La suma de los recíprocos de las potencias de dos es 1 . La suma de los recíprocos de las potencias de dos al cuadrado (potencias de cuatro) es 1/3.
La potencia natural más pequeña de dos cuya representación decimal comienza con 7 es [10]
Cada potencia de 2 (excluyendo 1) se puede escribir como la suma de cuatro números cuadrados de 24 formas . Las potencias de 2 son los números naturales mayores que 1 que se pueden escribir como la suma de cuatro números cuadrados de la menor cantidad de formas.
Como polinomio real , an + bn es irreducible , si y sólo si n es una potencia de dos. (Si n es impar, entonces a n + b n es divisible por a + b , y si n es par pero no una potencia de 2, entonces n puede escribirse como n = mp , donde m es impar, y por lo tanto , cuál es divisible por a p + b p .) Pero en el dominio de los números complejos , el polinomio (donde n >=1) siempre se puede factorizar como , incluso si n es una potencia de dos.
Los códigos Huffman ofrecen una compresión de datos óptima sin pérdidas cuando las probabilidades de los símbolos fuente son todas potencias negativas de dos. [11]